高等数学公式定理资料汇总.doc

,.第七章 考点1. 向量的运算：1）设求解：考点2.旋转曲面方程：绕y轴旋转一周得：，其它旋转类似2）曲线绕x轴（或者y轴）旋转一周的方程解：绕x得到：。绕y轴得到：考点3 平面方程：点法式方程，截距式：3）一个平面过点p(1,-3,2), 且垂直于点A(0,0,3)和点B(1,-3,-4)的连线，求该平面方程解：法向量平面方程为总复习：p40页 习题A全做。考点4. 求直线方程：点向式直线方程为4）求通过点(1,2,-4)垂直于平面的直线方程解：直线方程为5）求通过A(1,-1,1)和B（2，3，2）两点的直线方程解：直线方程第八章 考点5、二元函数的极限：1）（2010级）2。2）43）考点6、二元复合函数的一阶偏导数：4）求偏导数解：，考点7、隐函数求微分：5）（2004级）（2010级）2）求函数z=，其中具有一阶连续偏导数，求解：， ，dz=。,.6）设函数，且是由方程确定的隐函数，求du解：du=，而补）6-1）求 解：考点8、多元函数条件极值（两个考点）：（2010级）7）在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。解：椭圆上点到直线的距离为故设拉格朗日函数：解 得驻点；，故点为所求。考点9、多元函数无条件极值（两个考点）：设(1)当，在取得极值，且当时取得极大值，时取得极小值。（2）当，在没有极值。（3）当时，不能确定。（2009级）8）、求函数的极值。解：由又第九章 二重积分：考点10、交换积分次序：直角坐标系：X型积分，两竖线夹区域定，另一竖线定y的值。类似Y型区域。（2005级）9）、交换二次积分次序，则.10)交换积分次序 =考点11、极坐标计算二重积分：极坐标系：两射线夹区域，另一射线定大小，。11）计算积分解：D=12) ，其中D是由 围成的区域。解：D=三重积分：直角坐标系：区域投影在xoy面定，另一投影线定z的范围。考点12、柱面坐标系：区域投影在xoy面定,将化为极坐标,另一投影线定z的范围（只考柱面坐标计算）（2009级）13）求由球面与圆锥面所围成的立体的体积。其中立体满足：解：由，消去得，故立体在面的投影域为，用柱面坐标（2004级）14）求由曲面及所围成的立体的体积.解：,由交线,由极面坐标公式考点13 球面坐标系： 区域投影定，再求与z正半轴的夹角，射线交定。，。注释：当为柱体或球体时，采用柱面坐标积分。（2010级）15）在球面坐标下将化为三次积分，其中是由曲面所围成的闭区域，则（2008级）16）计算三重积分。解： 第十章考点14、对弧长的曲线积分：（1）直角坐标系：将直角坐标代入积分=（2006级）17）设有曲线：的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分： 。(2013级)18) 求，其中L是x+y=1与x轴及y轴所围成的整个边界。（2）参数方程：将参数坐标代入积分=（2004级） 19）设L为圆弧：，则曲线积分=（3）极坐标方程：将参数坐标代入积分=考点15、对面积的曲面积分：口诀：曲面投影定，替换ds=和z。（2008级）20）计算，其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.解：，ds=，化极坐标 （2010级）21）计算其中是上介于的部分。解：曲面在的投影为记，则：考点16、格林公式计算：（对坐标的曲线积分：直角坐标系，参数方程，极坐标方程直接代入积分，若L是封闭曲线，则用格林公式=。）（2006级）22）利用格林公式，计算曲线积分：为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向边界.解： 由格林公式，得解法2: (2010级) 23)计算曲线积分其中L为逆时针方向的上半圆周解：补直线从点到点则由格林公式考点17、积分与路径无关：全微分函数求法（折线法）。积分与路径无关（），则=+。（2007）24）当 2 时，曲线积分 与路径无关.(2010)2)证明曲线积分在xoy面内与路径无关，并计算的值。解：，故曲线积分与路径无关，取路径则(2013级）25)求对坐标的曲线积分解：原式=50考点18、全微分函数求法（折线法）： 若积分与路径无关（），则u(x,y)是某个的全微分， ,+.。26)证明是u(x,y)的全微分，并计算u(x,y)的值。解：，故曲线积分与路径无关，是u(x,y)的全微分，取路径则27）判别下列方程是不是全微分方程，并求其通解u(x,y)证明：P=，Q=显然，则通解u(x,y)考点19、高斯公式计算三重积分：（非封闭区域，请补全成一个封闭区域，一般补一个z=a的面）注意：高斯积分的是区域外侧.。（2007级）1）利用高斯公式计算曲面积分：，其中是曲面的上侧.解：补：取下侧 =2）利用高斯公式计算曲面积分其中是曲面（）的下侧.为常数）.解： 补取上侧=。考点是必考！