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1. 序列的概念序列的概念 如可用渐近的方法求圆的面积？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积： 1r四边形2r八边形3r十六边形 一个实际问题2sin221rA 4sin422rA 8sin823rA nnrAn2sin22序列极限的几何意义： 对于任意给定的正数e，总存在正整数N ，使得对于n N时的一切xn，不等式 |xn-a |N 时，所有的点xn都落在区间(a- e , a+e)内，而只有有限(至多只有N个)在区间(a e , a+e)以外. xOaaea+e()x 1x NxN + 1xN + 2xN + 3xN + 5xN + 4x 2对于任意给定的正数e0， 例 1 证明数列 2，21，34， ，nnn 1(-1)-，的极限是 1.1) 1() 1(1) 1(| 1|111nnnnnnnxnnnn-要使,1| 1|e-nxn,1en只需故取.1eN注意，当 时， 1eNn.1en有3. 用定义证明极限举例用定义证明极限举例 分析： 证明：因为对于任意给定的e0， 存在N=1/e， 使当nN时，有 所以,1| 1|e-nxn. 1) 1(lim1-nnnn 例 1 证明数列 2，21，34， ，nnn 1(-1)-，的极限是 13. 用定义证明极限举例用定义证明极限举例0,1,NnNee 则当时,1| 1|e-nxn也可写成:所以. 1) 1(lim1-nnnn对于任意给定的e 0，要使只需故取 分析： 例2 已知xn21)(n) 1(-n，证明数列xn的极限是022) 1(10) 1() 1(|0|-nnxnn,) 1(1|0|2e-nxn, 11-en.11-eN注意：当n-11eN时，. 11-en所以， 证明：因为对任意给定的正数e0， 存在使当nN时， 有 例2 已知xn21)(n) 1(-n，证明数列xn的极限是0,11-eN,) 1(10) 1() 1(|0|22e-nnxnn. 0) 1() 1(lim2-nnn10,1 ,NnNee -则当时也可写成:所以,) 1(10) 1() 1(|0|22e-nnxnn. 0) 1() 1(lim2-nnn 例 3 设|q |0，分析：11|0|0|-nnnqqx要使,|0|1e-nnqx,|lnln1qne只需故取. |lnln1qNe注意，当 时，|lnln1qNne有.|lnln1qne11,1.nqeee-如果自然成立 故不妨设,(1)lnln ,nqe-两边取对数 得于是 例 3 设|q |N时，有 |qn-1-0| = |q|n-10， 存在, |lnln1qNe也可写成:ln0,1,lnNnNqee 令则当时 |qn-1-0| = |q|n-11是给定的实数,求证lim1.nna分析: 对110,1,1,nnaaeee-要证即1两边取对数,得11log (1),log (1).aannee-即证 对0,e令1log (1)1,aNe-则当n N 时,即有11,nae-lim1.nna于是证毕.小结:证明序列an极限是l的一般步骤: 求差;nal- 对任给的0,;nnalee-解关于 的不等式由不等式的解确定N,使得当nN时,;nale-成 立 最后完成证明.二、夹逼定理二、夹逼定理定理定理 0,nnnabcN设为三个序列 并且存在一个自然数,nnncab使得 0nN ,nncbl若与极限都存在并都等于 .nal则的极限存在,且也等于证 12limlim,0,nnnnbclNNe 因为故和使得1,nblnNe-只要2,nclnNe-只要1,nlblnNee- 只要2,nlclnNee- 只要即012max,NNN NnN取则当时，,nnnlcablee- 也即,nalnNe-只要此即lim.nnal证毕.51,1,2,?!nnaaann例设常数记问此序列是否有极限解 1,na设则 ,nanaaaa-故 0 ! 1 2naanaaaaaaaan- 个 , !aaaan 0 !anaaaan也即显然 lim0,lim00, !annaaan由定理1,即得lim0.!nnan例 设k为大于1的正整数,证明1lim0.(1)(2)()knnnnnk-证明 1,().,(1)(2)()kknnanknnnnk-令分子分母度除以得()()()10,1 11 21nnannk n-(),2, 11 2,knki n-这里 为固定的常数 当时故()()()1102(2 ),1 1121knnanknnk nn-1lim20,knn而由夹逼定理即得1lim0.(1)(2)()knnnnnk-例 1,a 设常数求证lim0.nnna1,0,hah-证明令则且2(1)(1)12nnn nahnhh- 1(1)().(1)!knn nnkhhk-2(1),1 ,2nn nnah-因此 当时于是22220.(1)(1)nnnan nhnh-22lim0,(1)nnh-而由夹逼定理,即得lim0.nnna类似可证,对任意k 1,lim0.knnna三、收敛序列的性质三、收敛序列的性质定理1(极限的唯一性) 序列xn不能收敛于两个不同的极限存在正整数N2 ，这是不可能的这矛盾证明了本定理的断言nlimnlim 证证 用反证法假设同时有 xn =a及 xn=b， aN1时，有不等式|xn-a| ，从而xnN2时，有不等式|xn-b| 2ab-2ba2ba 取N=maxN1， N2， 则当nN时，同时有xn ，序列的有界性的定义： 对于序列xn，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式 |xn|M，则称序列xn是有界的；如果这样的正数M不存在，就说序列xn是无界的序列xn=2n(n=1，2， )是无界的 定理2(收敛序列的有界性) 如果序列xn收敛，那么序列xn一定有界 例如，数列 xn= (n=1，2， )是有界的 ： 1nn11nn 证明：设序列xn收敛，且收敛于a根据序列极限的定义，对于，存在正整数N，使对于nN时的一切xn， 不等式 | xn- a |N时， | xn |=| ( xn- a ) + a | | xn- a |+| a |N,就有 .nnab证 120,NNe 及使得1122,;,;nnalnNblnNee-只要只要12max,NN NnN取则当时1122;.nnlallbleeee-1212,() 2.nnablllleee-要使只要即即可证毕.推论推论 设序列 有极限 l 0,则存在自然数N,使得当nN时,na2.0.nnala有特别地有,证 在上面的定理中,取2,1,2,.nbln 即可,lim0,20.nnnalNnNal 同样 当则有当时 有定理4 120,nnabllN设序列及各有极限 及并且存在使得 012.nnabnNll 只要 , 则 证 用反证法.若12,ll 则由上一定理,可推出:存在一个自然数N, 当n N时,nnab这和假定矛盾.故必有12.ll注: 在定理结论中的等号不能去掉,既使是 严格大于na,nb仍然只能得出 的结论.这里等号是可能发生的.如limlimnnnnab2421,nnnnabnn,nnab显然但lim2lim.nnnnab此定理可简称为”极限的保序性”定理5 (收敛序列与其子序列间的关系) 如果序列xn收敛于a ，那么它的任一子序列 也收敛，且极限也是a 子序列： 在序列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原序列中的先后次序，这样得到的一个序列称为原序列xn的子序列 例如，序列 xn ： 1，-1，1，-1， (-1)n+1， 的一子序列为x2n：-1，-1，-1，(-1)2n+1， 1 nnxx一般说来，我们在中先挑出作为子序列的第一项，然12nnxx后再在后面再挑一项作为子序列的第二项， ，如此下去， :knnxx我们得到序列的一个子序列12,knnnxxxknx 证明：设序列 是序列xn的任一子序列knx定理5(收敛序列与其子序列间的关系) 如果序列xn收敛于a ,那么它的任一子序列 也收敛，且极限也是a 由于 ，故对于任意给定的正数e，存在正整数N，当nN时，有|xn- a|K时，nk nK = nN N 于是 这就证明了 证毕e-|axknaxknklimknx注： 子序列的足标不是n ,也不是nk ,而是k .且不难看出1212;,.kkknkkknn且如果则,:0,0,.knKkKxaee-要证定理 即要证当有 2如果序列xn收敛，那么序列xn一定有界发散的数列是否一定无界? 有界的序列是否收敛? 3序列的子序列如果发散， 原序列是否发散? 序列的两个子序列收敛，但其极限不同， 原序列的收敛性如何? 发散的序列的子序列都发散吗？ 4如何判断序列 1，-1，1，-1， ，(-1)n+1， 是发散的？ 1对某一正e0， 如果存在正整数N， 使当nN时，有|xn- a| e0 是否有 ?axnnlim讨论：323332101210limlim331nnnnnnnn-四、极限的四则运算四、极限的四则运算12lim,lim,nnnnalbl定理设则12lim()limlim,nnnnnnnabllab12lim()limlim,nnnnnnnabl lab()122limlim,lim0 .limnnnnnnnnnaalblblb证明从略。例 求极限33210lim.3nnnn-解233210lim 11.3lim1nnnnn-例 求极限()lim.nnnn-nnnnnnn-解1.111n()1limlim.111nnnnnn-1111lim 111lim1nnnn1.2于是作业 习题1.3 4(1)(3)(5),5,6五、一个重要极限五、一个重要极限极限存在的一个准则:单调有界序列必有极限单调有界序列必有极限.11110., .12nnxxnnnn例设证明序列有极限111112111nnxxnnnnnn- 证11122211nnn-110,2122nn-11111111nnxnnnn又,lim.nnnxx即序列单调增加且有上界 由是存在单调增加有上界单调增加有上界(或单调减少有下界或单调减少有下界)的序列必有极限的序列必有极限.更确切地:注 本例中构成xn的每一项都趋于零,由于和式中的项数随着n增大而无限增多,因此 不能用极限的加法性质.注:本定理只说明极限存在,而不具体指出极限是什么.现在我们介绍一个重要的极限1lim 1.nnen定理证 先证序列 有界.事实上,由牛顿二项式定理,11nn11nn211(1)12!n nnnn- 31(1)(2)1!3!nn nnnnnn-1111 12!3!n 1111 11 22 3(1)n n -111111 112231nn -13n-3.21112111 1111,!nnkknknnn- -再证此序列是递增的,为此,把 分别展开,111111nnnn与111111nnnn与121112111 11111!111nnkknknnn- -111nn比较两个式子右端的对应项,显然前者较小,又110,1nn11111.1nnnn于是由单调有界定理,此序列有极限.证毕.记此极限为 e (Euler名字的第一个字母).即1lim 1.nnen.2.7182818.ee 其中 为无理数例11 求21lim 1.nnn2222111lim 1lim1lim 1.nnnnnnennn解112.lim 1.nnn-例求111nnnnn-因得11111lim 11 lim 11.11nnnnennn-作业 习题1.3 8(1)(2)7(1)(2)(4)(习题1.3,7(5)11nnn-111,1nn-解21lim 1.nnn-求补充题:35 结束语结束语