2022年直线与方程知识点总结2 .pdf
直线与方程知识点总结一、直线基本知识1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点：. 与 x 轴相交 ; .x 轴正向 ; . 直线向上方向 . 直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为00. 倾斜角的范围000180. 0,900k；0,18090k（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。经过两点),(),(222111yxPyxP（21xx）的直线的斜率公式是1212xxyyk（21xx）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l，其斜率分别为12,k k，则有1212/ /llkk。特别地，当直线12,l l的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l斜率存在，设为12,k k，则12121llk kg注：两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1 ，这句话不正确；由两直线的斜率之积为 -1，可以得出两直线垂直， 反过来，两直线垂直， 斜率之积不一定为 -1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时，12ll与互相垂直。二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式)(11xxkyy),(11yx为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于 x 轴的直线斜截式bkxyk 为斜率， b 是直线在y轴上的截距不包括垂直于 x 轴的直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页两点式121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中),(),(2211yxyx是 直 线 上两定点不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线截距式1byaxa是直线在 x 轴上的非零截距， b是直线在 y 轴上的非零截距不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线一般式0CByAx）不同时为其中0,(BAA， B ， C 为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点),(),(222111yxPyxP的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若2121yyxx且，直线垂直于 x 轴，方程为1xx；（2）若2121yyxx且，直线垂直于 y 轴，方程为1yy；（3）（3）若2121yyxx且，直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式若两点),(),(222111yxPyxP，且线段21,PP的中点 M 的坐标为),(yx，则222121yyyxxx 3. 过定点的直线系斜率为 k 且过定点),(00yx的直线系方程为)(00 xxkyy； 过 两 条 直 线0:1111CyBxAl, 0:2222CyBxAl的 交 点 的 直 线 系 方 程 为0)(222111CyBxACyBxA（为参数） ，其中直线 l2不在直线系中 . 三、直线的交点坐标与距离公式1. 两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111CyBxAl, 0:2222CyBxAl两条直线的交点坐标就是方程组00222111CyBxACyBxA的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2. 几种距离（1）两点间的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页平面上的两点),(),(222111yxPyxP间的距离公式21221221)()(yyxxPP特别地，原点)0 ,0(O与任一点),(yxP的距离22yxOP（2）点到直线的距离点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离2200BACByAxd（3）两条平行线间的距离两条平行线0:11CByAxl, 0:22CByAxl间的距离2212BACCd（注意：求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）补充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角（2）已知斜率 k 的范围，求倾斜角的范围时，若 k 为正数，则的范围为(0,)2的子集，且 k=tan为增函数； 若 k 为负数，则的范围为(,)2的子集，且 k=tan为增函数。若 k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于0 或小于 0 分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 2 、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A xyB xyC xy若123ABACxxxkk或，则有 A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。3. 两条直线位置关系的判定：已知0:11CByAxl, 0:22CByAxl，则：（1）0212121BBAAll（2）;0,0-/1221122121CACABABAll（3）;0,0-1221122121CACABABAll重合与（4）1l与2l相交01221BABA如果2220A B C时，则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页(1)1221121?BABAll(2)21/ ll）不为0,(222212121CBACCBBAA；(3)1l与2l重合）不为 0,(222212121CBACCBBAA(4)1l与2l相交）不为 0,(222121BABBAA4. 有关对称问题常见的对称问题：（1）中心对称若点),(11yxM及),(22yxN关于),(baP对称，则由中点坐标公式得1122ybyxax直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21/ ll，由点斜式得到所求直线方程。（2）轴对称点关于直线的对称若两点),(111yxP与),(222yxP关于直线0:CByAxl对称，则线段21PP的中点在对称轴 l 上，而且连接21PP的直线垂直于对称轴l 上，由方程组?1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA22yx可得到点1P关于 l 对称的点2P的坐标),(22yx（其中21,0 xxA）直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。注： 曲线、 直线关于一直线bxy对称的解法：y 换x，x换 y .例： 曲线0),(yxf关于直线2xy对称曲线方程是0)2,2(xyf曲线0),(:yxfC关于点),(ba的对称曲线方程是0)2,2(ybxaf5. 两条直线的交角直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk. 两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2, 0，当90，则有21121tankkkk. 6. 直线 l 上一动点 P到两个定点 A、B的距离“最值问题”：(1) 在直线 l 上求一点 P，使PBPA取得最小值，若点BA、位于直线 l 的同侧时，作点A （或点 B ）关于 l 的对称点/A 或/B , .)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA若点BA、位于直线的异侧时，连接AB 交于 l 点 P，则 P为所求点。可简记为“同侧对称异侧连”. 即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可. （2）在直线 l 上求一点 P使PBPA取得最大值，方法与（ 1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”若点BA、位于直线 l 的同侧时，连接AB交于 l 点 P ，则 P 为所求点。若点BA、位于直线的异侧时，作点A （或点 B ）关于 l 的对称点/A 或/B , .)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA(3) 22PBPA的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。7. 直线过定点问题：含有一个未知参数，12)1(axay1)2(xxay（1）令202xx，将3)1(2yx式，得代入，从而该直线过定点)3,2(含有两个未知参数0)2()3(nynmxnm0)12()3(yxnyxm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页令1203yxyx7371yx从而该直线必过定点)73,71(8. 点到几种特殊直线的距离（1）点00(,)P xy到 x 轴的距离0|dy。（2）点00(,)P xy到 y 轴的距离0|dx. （3）点00(,)P xy到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离0|dya。（4）点00(,)P xy到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离0|dxa. 9. 与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线)(00/CCCByAxCByAx的直线可表示为（2）平行于直线)(/bbbkxybkxy的所有直线为10. 易错辨析：（1） 讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）（3） 直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。）（4）过点),(00yxA，平行于x轴的直线方程为0yy过点),(00yxA，平行于 y 轴的直线方程为0 xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
