2022年直线与方程知识点总结例题习题精讲详细答案提高训练 2.pdf

课程星级：【知识点一：倾斜角与斜率】（ 1）直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与 x 轴相交； 2、x 轴正向； 3、直线向上方向。直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00倾斜角的范围000180（ 2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tank0(90 )当直线l与x轴平行或重合时, 00,0tan00k当直线l与x轴垂直时 , 090,k不存在 . 经过两点1112212(,),(,)P x yP xyxx（）的直线的斜率公式是2121yykxx每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （ 3）求斜率的一般方法：已知直线上两点，根据斜率公式212121()yykxxxx求斜率；已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据tank来求斜率；（ 4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x yB xyC xy，若123ABBCxxxkk或，则有 A、B、C 三点共线。【知识点二：直线平行与垂直】（ 1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,ll，其斜率分别为12,k k，则有2121 / kkll特别地， 当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行（ 2）两条直线垂直：如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,k k，则有1-2121kkll知能梳理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页注： 两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来， 两直线垂直， 斜率之积不一定为-1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时，12ll与互相垂直 . 【知识点三：直线的方程】（ 1）直线方程的几种形式需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹【学习资料网】名称方程的形式已知条件局限性点斜式11()yyk xx11(,)x y为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式ykxbk为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式112121yyxxyyxx11221212(,),(,)x yxyxxyy经过两点且(,)不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式1xyaba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式0AxByC22(0)AB, ,A B C为系数无限制，可表示任何位置的直线问题：过两点111222(,),(,)P xyP xy的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】(1)若1212xxyy且，直线垂直于x轴,方程为1xx；(2)若1212xxyy且，直线垂直于y轴,方程为12yy；(3)若1212xxyy且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. 用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0ab，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度. 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。截距式方程的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b|+22ab；直线与坐标轴围成的三角形面积为: S=1|2ab；直线在两坐标轴上的截距相等，则1k或直线过原点，常设此方程为xyaykx或（ 2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P Px yxy若点的坐标分别是，1212122( , )2xxxPPM x yyyy且线段的中点的坐标为【知识点四直线的交点坐标与距离】（ 1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0lAxB yC, 2222:0lA xB yC两条直线的交点坐标就是方程组11122200AxB yCA xB yC的解。若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （ 2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x yP xy间的距离公式22122121|()()PPxxyy特别地，原点(0,0)O与任一点( ,)P x y的距离22|OPxy点到直线的距离：点00(,)oP xy到直线0AxByC的距离0022|AxByCdAB两条平行线间的距离：两条平行线1200AxByCAxByC与间的距离1222|CCdAB注 :1 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。需要更多的高考数学复习资料精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹【学习资料网】【例】 已知，直线l过原点 O 且与线段AB 有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A B C D 答案： B 分析：由于直线l与线段 AB 有公共点，故直线l的斜率应介于OA ，OB 斜率之间解：由题意，由于直线l与线段 AB 有公共点，所以直线l的斜率的取值范围是考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线l与线段 AB 有公共点，应注意结合图象理解【例】 在坐标平面内，与点A（1，2）距离为 1，且与点B（3，1）距离为 2 的直线共有（）A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条答案： B 分析：由题意，A、 B 到直线距离是1 和 2，则以 A、 B 为圆心，以1、2 为半径作圆，两圆的公切线的条数即可解：分别以A、B 为圆心，以1、2 为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想【例】 将直线 l1：y=2x 绕原点逆时针旋转60 得直线 l2，则直线l2到直线 l3：x+2y3=0 的角为（）A 30B 60 C 120 D 150 答案： A 分析：结合图象，由题意知直线l1l3互相垂直，不难推出l2到直线 l3：x+2y3=0 的角解：记直线l1的斜率为k1，直线 l3的斜率为k3，注意到k1k3=1，l1 l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线 l3的角是 30需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹【学习资料网】精讲精练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页考点：本题考查直线与直线所成的角，涉及到角公式【例】 方程1yx所表示的图形的面积为_。答案：2解：方程1yx所表示的图形是一个正方形，其边长为2【例】 设), 0(为常数kkkba，则直线1byax恒过定点答案：1 1(,)k k解：1byax变化为()1, ()10,axka ya xyky对于任何aR都成立，则010 xyky【例】 一直线过点( 3,4)M，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_答案：4160 xy，或390 xy解：设444(3),0,3;0,34;33412yk xyxxykkkk2413110,31140,4,3kkkkkk或【例】 已知 A（1，2）， B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0 和 l3：x+3y1=0、设 Pi是 li（i=1，2， 3）上与 A、B 两点距离平方和最小的点，则P1P2P3的面积是 _ 答案：分析：设出P1，P2，P3，求出 P1到 A，B 两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2，P3的坐标，然后再解三角形的面积即可解：设 P1（0，b）， P2（a，0）， P3（x0，y0）由题设点P1到 A，B 两点的距离和为显然当 b=3 即 P1（0，3）时，点P1到 A，B 两点的距离和最小，同理P2（2，0）， P3（1，0），所以考点：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页【例】 已知直线（ a 2）y=（ 3a1） x1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是 _ _ 答案： 2，+）分析：由已知中直线（a2）y=（3a1）x1 不经过第二象限，我们分别讨论a2=0（斜率不存在），a20 （斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a 的取值，进而综合讨论结果，得到答案解：若 a2=0，即 a=2 时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件；若 a20 ，直线方程可化为y=x，此时若直线不经过第二象限，则0 ，0 ，解得 a0 综上满足条件的实数a 的范围是 2，+）考点：本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k0 且 b0 时，直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a 2=0 （斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+）。【例】 过点( 5, 4)A作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。解：设直线为4(5),yk x交x轴于点4(5,0)k，交y轴于点(0,54)k，14165545, 4025102Skkkk得22530160kk，或22550160kk解得2,5k或85k251 00 xy，或85200 xy为所求。【例】 直线313yx和x轴，y轴分别交于点,A B，在线段AB为边在第一象限内作等边ABC，如果在第一象限内有一点1(,)2P m使得ABP和ABC的面积相等，求m的值。解：由已知可得直线/CPAB，设CP的方程为3,(1)3yxcc则133,32113cABc，333yx过1(,)2P m得135 33,232mm【例】 已知点(1,1)A，(2, 2)B，点P在直线xy21上，求22PBPA取得最小值时P点的坐标。解：设(2 , )Pt t，则2222222(21)(1)(22)(2)101410PAPBtttttt当710t时，22PBPA取得最小值，即77(,)5 10P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页【例】 求函数22( )2248f xxxxx的最小值。解：2222( )(1)(01)(2)(02)f xxx可看作点( ,0)x到点(1,1)和点(2,2)的距离之和， 作点(1,1)关于x轴对称的点(1, 1)22min( )1310f x【例】 在 ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A 的平分线所在直线的方程为y=0若点 B 的坐标为（ 1，2），求点C 的坐标分析：根据三角形的性质解A 点，再解出AC 的方程，进而求出BC 方程，解出C 点坐标逐步解答解：点 A 为 y=0 与 x2y+1=0 两直线的交点，点 A 的坐标为（ 1，0） kAB=1又 A 的平分线所在直线的方程是y=0，kAC=1 直线 AC 的方程是 y=x1而 BC 与 x2y+1=0 垂直，kBC=2 直线 BC 的方程是y2= 2（x1）由 y=x1，y=2x+4，解得 C（5， 6）考点：直线的点斜式方程。本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解【例】 直线 l 过点 P（2，1），且分别与x ，y 轴的正半轴于A，B 两点， O 为原点（1）求 AOB 面积最小值时l 的方程；（2）|PA|?|PB| 取最小值时l 的方程分析：（ 1）设 AB 方程为，点 P（ 2，1）代入后应用基本不等式求出ab 的最小值，即得三角形OAB 面积面积的最小值（2）设直线 l 的点斜式方程，求出A，B 两点的坐标，代入|PA|?|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件解：（ 1）设 A（a，0）、 B（0，b ）， a0，b0， AB 方程为，点 P（2，1）代入得2，ab 8 （当且仅当a=4，b=2 时，等号成立），故三角形 OAB 面积 S=ab4 ，此时直线方程为：，即 x+2y 4=0（2）设直线l：y1=k（x2），分别令y=0， x=0，得 A（2，0）， B（0，12k）则|PA|?|PB|=4 ，当且仅当k2=1，即 k= 1 时， |PA|?|PB| 取最小值，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页又k0，k=1，这时 l 的方程为x+y3=0考点：本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及基本不等式的应用【例】 求倾斜角是直线y3x1 的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点 (3， 1)；(2)在 y轴上的截距是5. 解：直线的方程为y3x1， k3，倾斜角 120 ，由题知所求直线的倾斜角为30 ，即斜率为33. (1)直线经过点(3， 1)，所求直线方程为y133(x3)，即3x3y60. (2)直线在y 轴上的截距为5，由斜截式知所求直线方程为y33x 5，即3x 3y150. 需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹【学习资料网】【例】 已知直线l：kx y12k0 (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线 l 交 x 负半轴于A，交 y 正半轴于B， AOB 的面积为 S，试求 S的最小值并求出此时直线l的方程。解： (1) 证明：由已知得k(x2)(1y)0， 无论 k 取何值，直线过定点( 2,1)。(2) 令 y0 得 A 点坐标为 (21k，0)，令 x0 得 B 点坐标为 (0,2k1)(k0)，SAOB12|21k|2k1| 12(21k)(2k 1) 12(4k1k4) 12(44)4 当且仅当4k1k，即 k12时取等号。即 AOB 的面积的最小值为4，此时直线l 的方程为12xy1 10 ， 即 x2y 40 【例】 已知函数，g（x）=x+a（a0）（1）求 a 的值，使点M（f（x）， g（x） ）到直线x+y1=0 的最短距离为；（2）若不等式在 x1，4恒成立，求a 的取值范围。分析：（ 1）先用点到直线的距离公式表示距离，利用换元法，进而利用二次函数的配方法即可求解；（ 2）将绝对值符号化去，从而转化为上恒成立，进而利用换元法转化为at22t+a20 在 t1，2上恒成立，从而得解解：（ 1）由题意得M 到直线的距离，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页令则t 0 a1时，即 t=0 时，a =30a1 时， dmin=0，不合题意综上 a=3（2）由即上恒成立，也就是在1，4上恒成立令，且 x=t2， t1，2 ，由题意 at22t+a20 在 t1，2上恒成立设 ?（t）=at22t+a2，则要使上述条件成立，只需即满足条件的a 的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页