初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含规范标准答案解析).doc

初三数学九上压轴题难题提高题培优题一解答题（共8小题）1如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y轴于点M（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，AOB=120（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标3如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作D与x轴相切，D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由5已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标6如图1，已知抛物线的方程C1：y=（x+2）（xm）（m0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由7如图，已知抛物线y=x2（b+1）x+（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由8如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一解答题（共8小题）1如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y轴于点M（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：由题意可知解得抛物线的表达式为y=（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1点M的坐标为（0，1）设直线MA的表达式为y=kx+b，则解得直线MA的表达式为y=x+1设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）DF=当时，DF的最大值为此时，即点D的坐标为（）（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似设P（m，）在RtMAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限设点P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3AN，即m2+11m+24=0解得m=3（舍去）或m=8又3m0，故此时满足条件的点不存在当点P在第三象限时，点P不可能在直线MA上，只能PN=3AN，即m2+11m+24=0解得m=3或m=8此时点P的坐标为（8，15）当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则3，即m2+m6=0解得m=3（舍去）或m=2当m=2时，此时点P的坐标为（2，）若PN=3NA，则，即m27m30=0解得m=3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，39）综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，15）、（2，）、（10，39）2如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，AOB=120（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标【解答】解：（1）如图，过点A作ADy轴于点D，AO=OB=4，B（4，0）AOB=120，AOD=30，AD=OA=2，OD=OA=2A（2，2）将A（2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，这条抛物线的表达式为y=x2x；（2）过点M作MEx轴于点E，y=x2x=（x2）2，M（2，），即OE=2，EM=tanEOM=EOM=30AOM=AOB+EOM=150（3）过点A作AHx轴于点H，AH=2，HB=HO+OB=6，tanABH=ABH=30，AOM=150，OAM30，OMA30，点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧ABC=180ABH=150，AOM=150，AOM=ABCABC与AOM相似，有如下两种可能：BAC与OAM，BAC与OMAOD=2，ME=，OM=，AH=2，BH=6，AB=4当BAC与OAM时，由=得，解得BC=4C1（8，0）当BAC与OMA时，由=得，解得BC=12C2（16，0）综上所述，如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，则点C的坐标为（8，0）或（16，0）3如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作D与x轴相切，D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；，解得；抛物线的解析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，点D的坐标为（4，8）；D与x轴相切，D的半径为8；连接DE、DF，作DMy轴，垂足为点M；在RtMFD中，FD=8，MD=4，cosMDF=；MDF=60，EDF=120；劣弧EF的长为：；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；直线AC经过点，解得；直线AC的解析式为：；设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为，SPNA：SGNA=PN：GN；若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=3，m2=2（舍去）；当m=3时，=；此时点P的坐标为；若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=12，m2=2（舍去）；当m=12时，=；此时点P的坐标为；综上所述，当点P坐标为或时，PGA的面积被直线AC分成1：2两部分4如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（2，4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得解得：抛物线的函数表达式为答：抛物线的函数表达式为（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作ACx轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，AB=MO+MA的最小值为答：MO+MA的最小值为（3）若OBAP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（2，4），得P（4，4），则得梯形OAPB若OABP，设直线OA的表达式为y=kx，由A（2，4）得，y=2x设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=4，直线BP的表达式为y=2x4由，解得x1=4，x2=2（不合题意，舍去）当x=4时，y=12，点P（4，12），则得梯形OAPB若ABOP，设直线AB的表达式为y=kx+m，则，解得，AB的表达式为y=x2ABOP，直线OP的表达式为y=x由，得 x2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P不存在综上所述，存在两点P（4，4）或P（4，12）使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，4）或（4，12）5已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），解得，所以，抛物线的函数解析式为y=x2+x+1；（2）如图，过点B作BCx轴于C，过点A作ADOB于D，A（0，1），B （4，3），OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB=5，OAD+AOD=90，AOD+BOC=90，OAD=BOC，又ADO=OCB=90，AODOBC，=，即=，解得OD=，AD=，BD=OBOD=5=，tanABO=；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0，k、b是常数），则，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+1，设点M（a，a2+a+1），N（a，a+1），则MN=a2+a+1a1=a2+4a，四边形MNCB为平行四边形，MN=BC，a2+4a=3，整理得，a24a+3=0，解得a1=1，a2=3，MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=，a=1，12+1+1=，点M的坐标为（1，）6如图1，已知抛物线的方程C1：y=（x+2）（xm）（m0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：4（2m）=2，解得：m=4，经检验：m=4是分式方程的解m的值为4（2）y=0得：0=（x+2）（xm），解得x=2或x=m，B（2，0），C（m，0）由（1）得：m=4，C（4，0）将x=0代入得：y=2（m）=2，E（0，2）BC=6，OE=2SBCE=BCOE=62=6（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x轴的交点为Px=，抛物线的对称轴是直线x=1CP=3点B与点C关于x=1对称，BH=CHBH+EH=EH+HC当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小HPOE，PHCEOC，即解得HP=点H的坐标为（1，）（4）如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于FBFEC，BCE=FBC当，即BC2=CEBF时，BCEFBC设点F的坐标为（x，（x+2）（xm），由，得解得x=m+2F（m+2，0）BCE=FBC，得，解得：又BC2=CEBF，整理得：0=16此方程无解如图3，作CBF=45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，OE=OB，EOB=90，EBO=45CBF=45，EBC=CBF，当，即BC2=BEBF时，BCEBFC在RtBFF中，由FF=BF，得（x+2）（xm）=x+2，解得x=2mF（2m，0）BF=2m+2，BF=2m+2由BC2=BEBF，得（m+2）2=2（2m+2）解得m0，m=2+2综上所述，点m的值为2+27如图，已知抛物线y=x2（b+1）x+（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解得：x=1或b，b是实数且b2，点A位于点B的左侧，点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形设点P的坐标为（x，y），连接OP则S四边形PCOB=SPCO+SPOB=x+by=2b，x+4y=16过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，PEO=EOD=ODP=90四边形PEOD是矩形EPD=90EPC=DPBPECPDB，PE=PD，即x=y由解得由PECPDB得EC=DB，即=b，解得b=2符合题意P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO要使QOA与QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx轴b2，ABOA，Q0AABQ只能AOQ=AQB此时OQB=90，由QAx轴知QAy轴COQ=OQA要使QOA与OQC相似，只能QCO=90或OQC=90（I）当OCQ=90时，CQOQOAAQ=CO=由AQ2=OAAB得：（）2=b1解得：b=84b2，b=8+4点Q的坐标是（1，2+）（II）当OQC=90时，OCQQOA，=，即OQ2=OCAQ又OQ2=OAOB，OCAQ=OAOB即AQ=1b解得：AQ=4，此时b=172符合题意，点Q的坐标是（1，4）综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似8如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值【解答】解：（1）A（1，4）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x1）2+4抛物线过点C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1，抛物线的解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3（2）A（1，4），C（3，0），可求直线AC的解析式为y=2x+6点P（1，4t）将y=4t代入y=2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4GE=（4）（4t）=t又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2，即SACG=SAEG+SCEG=EG+EG（2）=2（t）=（t2）2+1当t=2时，SACG的最大值为1（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据APEABC，知=，即=，解得t=208；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2t，MQ=42t则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2t）2+（42t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）综上所述，t=208或t=