第04讲_二次函数与一元二次方程(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第04讲_二次函数与一元二次方程知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数与一元二次方程知识精讲一二次函数与轴交点1抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.2平行于轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.3抛物线与轴两交点之间的距离若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故：.二二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以为例）：判别式:二次函数的图象一元二次方程:的根有两相异实根有两相等实根没有实根三点剖析一考点：二次函数与轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题二重难点：1二次函数与轴交点问题即当时，转化为一元二次方程；2在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析三易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况题模精讲题模一：二次函数与x轴交点例1.1.1抛物线y=x2+2x+m1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）Am2Bm2C0m2Dm2【答案】A【解析】抛物线y=x2+2x+m1与x轴有两个交点，=b24ac0，即44m+40，解得m2，例1.1.2已知关于x的方程（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根（2）若关于x的二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式【答案】（1）见解析；（2）函数解析式为或【解析】（1）当时，原方程可化为，解得；当时，方程为一元二次方程，故方程有两个实数根；故无论m为何值，方程恒有实数根（2）设，分别为抛物线与x轴两交点的横坐标，令，则，由求根公式得，抛物线不论m为任何不为0的实数时，恒过定点，或，即或，解得，则函数解析式为或题模二：一元二次方程根的分布问题例1.2.1“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且ab，则a、b、m、n的大小关系是（）AmabnBamnbCambnDmanb【答案】A【解析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算依题意画出函数y=（x-a）（x-b）图象草图，根据二次函数的增减性求解依题意，画出函数y=（x-a）（x-b）的图象，如图所示函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（ab）方程1-（x-a）（x-b）=0转化为（x-a）（x-b）=1，方程的两根是抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=1的两个交点由mn，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有ma；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有bn综上所述，可知mabn故选：A例1.2.2求实数的取值范围，使关于的方程（1）有两个实根，且满足；（2）至少有一个正根【答案】（1）（2）【解析】（1）设；则有:解得：（2）可以利用韦达定理来解决此题由图1、图2，可得：；解得：由图，可得：；解得：；由图，可得：；解得：综上可得随堂练习随练1.1若二次函数与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】该题考查的是一元二次方程根的判别式对于一元二次方程 ，判别式：，二次函数与x轴有两个交点，二次函数与x轴有一个交点，二次函数与x轴没有交点，本题中，二次函数与x轴有两个交点，故，解得：且，故答案是D随练1.2如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A0或2B0或1C1或2D0，1或2【答案】D【解析】考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2故选：D随练1.3实数在什么范围内取值时，关于的方程的一个根大于而小于，另一个根大于而小于【答案】【解析】设；则有: 解得随练1.4已知关于x的方程（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值【答案】（1）见解析（2）1；3（3）0；【解析】该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题（1）当时，方程=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；当时，方程=0是一元二次方程，即， k为除外的任意实数时，此方程总有两个实数根 2分综上，无论k取任意实数，方程总有实数根（2），= 方程的两个根是整数根，且k为正整数， 当时，方程的两根为，0；当时，方程的两根为， ，3 4分（3） 抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3，或当时，；当时，综上，-3 6分自我总结 课后作业作业1已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ，则二次函数中，当时，的取值范围是（ ）ABCD或【答案】C【解析】该题考察二次函数图像特点开口方向向上的两个实数根分别为，二次函数与x轴的交点为和当时，即函数图像在x轴的下方x的取值介于两个交点之间，即故选C作业2已知关于x的一元二次方程.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，且时，求m的整数值【答案】（1）和（2）或3【解析】该题考查二次函数与一元二次方程综合问题（1）由题意， 1分方程有两个不相等的实数根， 2分即得 3分 m的取值范围为和；（2）设，则， 5分当是整数时，可得或或 6分， m的值为或3 7分作业3已知的图象如图，方程的两个实根是，则两实根满足（ ）yxO213ABCD【答案】D【解析】该题考查的是二次函数综合由图象可知，二次函数过、三点设二次函数的交点式为，将代入解析式，可得故方程即记，则，结合的图象可知，故答案选D作业4设二次方程有一根比大，另一根比小，试确定实数的范围【答案】【解析】设；则有，即，解得9