第06讲_勾股定理的应用(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第06讲_勾股定理的应用知识图谱错题回顾顾题回顾勾股定理的应用知识精讲一求线段长常用的方法有：1直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；2通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；3通过特殊三角形的比例关系来计算（仅限于选择、填空题中的快速计算）；如图1，；如图2，4面积法：当所求的线段为三角形的高时，利用面积相等可求得对应高的长度；如上图，5挖掘题目中的隐含条件，通过全等三角形、等腰三角形等来求线段长；6做辅助线：根据题目中的条件，添加适当的辅助线，如垂直等进而解三角形二勾股定理与最短距离在立体图形中，往往会涉及到求某两点之间的最短路程问题，这就需要我们画出立体图形的展开图，然后利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离三两点间距离公式在平面直角坐标系中，任意给定两点，过点A、B分别向坐标轴作垂线，则，由勾股定理可得，（初中阶段解答题中不能直接应用，如果需要，应提前说明“由勾股定理得”）三点剖析一考点：1求线段长；2最短路径问题；3两点之间距离公式二重难点：根据已知条件，分析相应图形，并选取合适的方法，求线段长三易错点：1在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算；2所对的直角边是斜边的一半，注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”题模精讲题模一：求线段长例1.1.1在RtABC中，C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）ABCD【答案】A【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：在RtABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=15，过C作CDAB，交AB于点D，又S ABC=ACBC=ABCD，CD=，则点C到AB的距离是故选A例1.1.2如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A2cmB3cmC4cmD5cm【答案】B【解析】该题考查的是勾股定理的计算，设，则在RtDEB中，故，故选B题模二：最短路径问题例1.2.1如图，圆柱形玻璃杯，高为6cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm蚂蚁A蜂蜜C【答案】10【解析】该题考查的是最值问题圆柱的侧面展开图如下：LDEBKJCA166FGHI以DG为对称轴做点A的对称点L，连结CL则蚂蚁从A到C处的最短距离为LC，根据轴对称性质可得LJKAJK，又由题意得，RtLBC中，即蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离为题模三：两点之间距离公式例1.3.1在一次“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A（2，3），B（4，1），A，B两点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是（）A（1，0）B（5，4）C（1，0）或（5，4）D（0，1）或（4，5）【答案】C【解析】本题考查了坐标的确定及利用两点的坐标确定两点之间的距离公式，是一道中难度题根据两点之间的距离公式，d=，将四个选项代入公式中，观察哪一个等于，再作答设宝藏的坐标点为C（x，y），根据坐标系中两点间距离公式可知，AC=BC，则（x-2）2+（y-3）2=（x-4）2+（y-1）2，化简得x-y=1；又因为标志点到“宝藏”点的距离是，所以（x-2）2+（y-3）2=10；把x=1+y代入方程得，y=0或y=4，即x=1或5，所以“宝藏”C点的坐标是（1，0）或（5，4）故选C随堂练习随练1.1已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为cm【答案】4.8【解析】直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm随练1.2ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，则BC=_【答案】14或4【解析】该题考查勾股定理如图，锐角ABC中，BC边上高，在RtABD中，由勾股定理得：，在RtACD中，由勾股定理得：，BC的长为钝角ABC中，BC边上高，在RtABD中，由勾股定理得：，在RtACD中：，由勾股定理得：，BC的长为综上可知答案为：14或4随练1.3如图所示，在RtABC中，A=90°，BD平分ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A3B4C5D6【答案】A【解析】过D点作DEBC于EA=90°，AB=4，BD=5，AD=3，BD平分ABC，A=90°，点D到BC的距离=AD=3故选A勾股定理与实际问题知识精讲一勾股定理与实际问题利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1认真审题，读懂题目，理解题意；2根据题意，画出相应的几何图形，并在图中标出相应的数量关系；3根据几何图形和数量关系，解三角形，求出答案；4作答三点剖析一考点：勾股定理与实际问题二重难点：利用勾股定理解决实际问题三易错点：把实际问题转化成几何模型，注意已知条件和图形的对应关系题模精讲题模一：勾股定理与实际问题例2.1.1如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行_米【答案】10【解析】如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，EB=6m，EC=8m，AE=AB-EB=12-6=6（m），在RtAEC中，AC=10（m）故小鸟至少飞行10m故答案为：10例2.1.2如图，点A处有一所中学，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？MNA【答案】会受到影响，影响时间为【解析】会受到影响因为当拖拉机距离中学100以外时，不受影响，故MN上距离A点100m处为受到影响的临界点B，作AHMN于H，有，这样的点有两个，故影响的距离为120m，影响时间为例2.1.3如图，一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A距离墙根4米，点P为竹篙的中点（1）若竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了多少米？（2）若竹篙AB沿墙下滑，则在下滑过程中，点P到墙根端点C的距离是否发生变化？试说明理由【答案】（1）竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了1米；（2）竹篙在下滑过程中，点P到墙根端点C的距离保持2.5m不变【解析】（1）设竹篙顶端下滑1米到点，底端向外滑行到点由题意得m，m，在Rt中：在RtACB中：m即竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了1米（2）竹篙在下滑过程中，点P到墙根点C的距离不变理由：连接CP，在ACB中，m所以竹篙在下滑过程中，点P到墙根端点C的距离保持2.5m不变随堂练习随练2.1如图，受台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是_m【答案】16【解析】由题意得m，m，在直角ABC中，根据勾股定理得：米所以大树的高度是米随练2.2如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米某人在河岸b上的点P处测得APC=75°，BPD=30°，则河流的宽度约为_米【答案】100【解析】过点P作PEAB于点E，APC=75°，BPD=30°，APB=75°，BAP=APC=75°，APB=BAP，AB=PB=200m，ABP=30°，PE=PB=100m故答案为：100随练2.3如图，OAOB与点O，cm，cm，小猫在点B处发现有一只老鼠自点A出发正沿着AO方向匀速跑向点O，小猫立即从B处出发，并以相同的速度匀速直线前进去拦截老鼠，在点C处截住小老鼠，求小猫跑过的路程BC的长度【答案】小猫跑过的路程BC的长度为25cm【解析】由题意知，设cm，则cm，又cm，且OBC为直角三角形，整理得，解得，则cm，cm自我总结 课后作业作业1如图，D为外一点，BD平分的一个外角，若，则BD的长为（ ）ABCDA1B1.5C2D3【答案】D【解析】本题考查勾股定理及等腰三角形的判定与性质如图，设CB与AD延长线交于E点，又BD平分ABE，BDAD，在RTABD中，由勾股定理得到作业2如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A13B26C47D94【答案】C【解析】根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=9+25+4+9=47故选C作业3如图，长方体的高cm，一只小蚂蚁从A点爬到BC上某一点P，再爬到D点去吃糖，如果小蚂蚁走的最短路程是13cm，则_cm【答案】12【解析】如图展开，连接AD交BC于P，此时小蚂蚁走的路程最短，cm，cm，在RtAED中，由勾股定理得：，即cm，作业4如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）AB4CD5【答案】C【解析】如图，过点C作CMAB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQAC于点Q，AD是BAC的平分线PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，AC=6，BC=8，ACB=90°，AB=10S ABC=ABCM=ACBC，CM=，即PC+PQ的最小值为故选：C作业5如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为【答案】30cm【解析】把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，A点为点A展开后的对应点，作BHMN于H，BH=×48=24，MH=1，AN=1，AH=2011=18，在RtABH中，AB=30（cm）作业6已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【答案】7200（元）【解析】该题考查的是勾股定理的应用如图，连接BD，在RtABD中，在CBD中，而，即，所以需费用（元）作业7如图所示，已知B.C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B.C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明【答案】不会穿过【解析】该题考查的是解三角形由题得，在ABC中，由于，设BC边上的高为h，解得，这条公路不会穿过自然保护区16