高等数学(东北大学出版社)第5章和第8-10章习题集和复习资料题标准参考答案.doc

-*第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章 函数、极限与连续习题1.1下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1） 是同一函数 （2）是同一函数 （3）不是同一函数 （4）不是同一函数 指出下列函数的定义域.（1）的定义域是 （2）的定义域是（3）的定义域是 （4）的定义域是（5）若的定义域是，则的定义域是（6）若的定义域是，则的定义域是3.判别下列函数的奇偶性.（1）是奇函数 （2）是奇函数（3）是非奇非偶函数 （4）是奇函数（5）是偶函数 （6）是偶函数 （7）是奇函数 （8）是偶函数下列函数哪些在其定义域内是单调的.（1）在其定义域内不是单调的 （2）在其定义域内是单调递增的 （3）在其定义域内不是单调的 （4）时，在其定义域内是单调的，其中 时，在其定义域内是单调递减的， 时，在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界.（1）上有界 （2）上有界（3）上有界（4）上分别有界6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.（1）是周期函数，最小正周期是 （2）是周期函数，最小正周期是 （3）是周期函数，最小正周期是 （4）是周期函数，最小正周期是7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）不可以构成复合函数（2）不可以构成复合函数（3）不可以构成复合函数（4）可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解.（1）对复合函数的分解结果是：（2）对复合函数的分解结果是：（3）对复合函数的分解结果是： （4）对复合函数的分解结果是：9.求函数值或表达式.（1）已知函数.（2）已知函数.（3）已知函数.（4）已知函数，则习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限.（1） 没有极限 （2）有极限，（3）没有极限 （4）有极限，2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1） （2）（3） （4）3.图略，不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）时，是无穷小量 （2）时，是无穷大量（3）时，是无穷小量 （4）时，是无穷大量（5）时，是无穷大量 （6）时，是无穷小量（7）时，是无穷小量 （8）时，是无穷小量5.已知函数，则在或或的过程中是无穷小量，在或或的过程中是无穷大量？6. 当时，无穷小与下列无穷小是否同阶？是否等价？（）当时，无穷小与无穷小同阶，但不等价 （）当时，无穷小与无穷小同阶，而且等价习题1.31.设函数，则2.设函数，则.3.求下列各式的极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）4.已知，则.5.，则.6.求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）7.求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6） 8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1） （2）（3） （4）习题1.41.设函数，则在处不连续2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数的间断点有点和点，它们都是第二类间断点中的无穷间断点 （2）函数的间断点有点，它是第二类间断点（3）函数的间断点有点和点，其中点是第二类间断点中的无穷间断点，点是第一类间断点 （4）函数的间断点有点，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数的间断点有点，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数的间断点有点，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数，当时，函数在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）5.（略） 6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C）是初等函数.（A） （B） （C） （D）2.下列极限存在的是（B）. （A） （B） （C） （D）3.当时，与下列（D）不是等价无穷小.（A） （B） （C） （D）4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B）.（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件5.已知,则常数（C）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）46.闭区间上的连续函数在上一定是（C）.（A）单调函数 （B）奇函数或偶函数（C）有界函数 （D）周期函数二、填空题1.设， 则 4 .2.函数是由简单函数 复合而成的.3.点是函数 的第一类间断点中的跳跃 间断点.4.当 时，函数是无穷小.5.极限 = .6.函数的连续区间为 .三、计算下列极限1.=0 2.不存在3. 4.5. 6. 不存在7. 8.=09. 10. 11. 12.13. 14. 15. 16. 四、综合题1.函数在点处不连续，在点处连续，函数的图像略。2.设函数则=1,在点处连续。3.设函数，当时，在处连续。4.（略）第2章 导数与微分习题2.11. 已知质点作直线运动方程为，则该质点在时的瞬时速度为10.2.用函数在的导数表示下列极限:（1） （2）（3）（4）3.利用基本公式，求下列函数的导数:（1） （2） （3）则 （4），则4.求下列曲线在指定点处的切线方程和法线方程：（1）在点处的切线方程，法线方程为（2）在点处的切线方程，法线方程为（3）在点处的切线方程，法线方程为5.在曲线上点（6，36）处的切线平行于直线，处的法线垂直于直线6.函数在点处不可导，因为不存在习题2.21.求下列函数的导数:（1）的导数 （2）的导数（3）的导数 （4）的导数（5）的导数 （6）的导数 （7）的导数 （8）的导数2.求下列函数在指定点的导数：（1），则，.（2），求，.，则，.3.曲线在横坐标处的切线方程为，法线方程为。习题2.31.求下列函数的导数：（1）的导数（2）的导数（3）的导数 （4）的导数（5）的导数 （6）的导数 （7）的导数 （8）的导数2.求下列函数在指定点的导数： （1），在点处的导数是（2），在处的导数是（3），在处的导数是3.设函数可导，求下列函数的导数:（1）的导数 （2）的导数 习题2.41.求由下列方程所确定的隐函数的导数. （1）所确定的隐函数的导数 （2） 所确定的隐函数的导数（3）所确定的隐函数的导数 （4）所确定的隐函数的导数2.用对数求导法求下列函数的导数:（1）所确定的隐函数的导数 （2）的导数（3）的导数 （4）的导数3.（略）4.曲线在点处的切线方程为习题2.5 1.求下列函数的二阶导数:（1）的二阶导数 （2）的二阶导数（3）的二阶导数的二阶导数 （4）的二阶导数2.求下列函数在指定点处的导数： （1），则 （2），则3.求下列函数的阶导数:（1）的阶导数， （2）的阶导数，4.已知函数的阶导数，则的阶导数5. （略）习题2.61.求下列函数的微分：（1）的微分 （2）的微分 （3）的微分 （4）的微分（5）的微分 （6）的微分（7）的微分 （8）的微分（9）所确定的隐函数的微分 （10）所确定的隐函数的微分2.下列各括号中填入一个函数，使各等式成立.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）3.求下列近似值：（1） （2） （3） （4）4. 一正方体的棱长米，如果棱长增长0.1米，则此正方体体积增加的精确值为30.3立方米，近似值为30立方米.复习题2一、单项选择题1.函数在点处可导是它在处可微的（C）. （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件2.设，则的值为（D）. （A）1 （B）2 （C）0 （D）43.下列各式中（为常数）正确的是（D）.（A） （B）（C） （D）4.设函数 ，则在点x=1处（B）.（A）连续但不可导 （B）连续且（C）连续且 （D）不连续5.过曲线上点的切线平行直线，则切点的坐标是（D）.（A）（1，0） （B） （C） （D）6.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则=（D）.（A）0 （B）-1 （C）3 （D）-67.已知 ，则=（B）.（A） （B） （C） （D）8.设函数可微，则当时，与相比是（C）.（A）等价无穷小 （B）同阶无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小二、填空题1.若函数，则= 0 .2.设函数，则 不存在 .3.变速直线运动的运动方程为，则其加速度为 2 .4.曲线在点（4, 2）处的切线方程是 .5. =.6.设，且，则= .三、计算题1.求下列函数的导数：（1）的导数 （2）的导数（3）的导数 （4）的导数（5）的导数 （6）的导数（7）的导数 （8）的导数 2.求由下列方程所确定的隐函数的导数：（1）所确定的隐函数的导数 （2）所确定的隐函数的导数（3）所确定的隐函数的导数 （4），则3.求下列函数的二阶导数：（1）的二阶导数 （2）的二阶导数（3）的二阶导数 （4）的二阶导数4.求下列函数的微分：（1）的微分 （2）的微分（3）的微分 （4）的微分四、应用题1.有一批半径为的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为，则每只球大约需要用铜0.28克2. 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部售出，收入函数为其中为公司一天的产量，如果公司每天的产量从250增加到260，则估计公司每天收入的增加量大约是110.第3章 微分中值定理与导数的应用习题3.11.函数在上满足罗尔中值定理，满足罗尔定理结论中的2.函数在0，1上，验证满足拉格朗日中值定理的条件（略），满足拉格朗日中值定理结论中的3在区间-1，2上满足柯西中值定理结论中的4.已知与是曲线 上的两点，则该曲线上点（2，0）处的切线平行于弦.5.（略）6.（略）习题3.21.求下列极限：(1) (2)(3) (4) (5) (6)(7) (8)(9) (10)2下列极限可否用洛必塔法则去求，为什么？并用常规方法求出它们的极限.（1）不可用洛必塔法则去求，否则会总是出现的情形，用常规方法求得 （2）不可用洛必塔法则去求，否则会出现等式右端无极限的情形，但并不能得出极限不存在的结论，用常规方法求得 3.当时,极限4.当时,极限习题3.31.求下列函数的单调区间：（1）在区间内单调递减，在区间内单调递增 （2）在区间与区间内单调递增，在区间内单调递减（3）在区间内单调递增，在区间内单调递减 (4) 在区间与区间内单调递增，在区间与区间内单调递减 （5）在区间内单调递减，在区间内单调递增 (6)在区间内单调递减，在区间内单调递增（7）在区间内单调递减 (8)在区间内单调递减，在区间内单调递增（9）在区间内单调递减，在区间内单调递增（10）在区间与区间内单调递减，在区间内单调递增2.（略）3.（略）4.求下列函数的极值：（1）的极小值有，极大值有 （2）的极大值有，无极小值（3）的极小值有，无极大值 （4）非零常数时，的极大值有，无极小值 非零常数时，的极小值有，无极大值（5）的极大值有，无极小值 （6）的极小值有，极大值有 （7）的极大值有，无极小值 （8）无极小值，也无极大值（9）的极大值有，无极小值 （10）的极小值有与，极大值有图3.95要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500立方米.底面为正方形，设底面与四壁的单位造价相同，则底取10米高取5米时，才能使所用材料最省.6将边长为的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形（如图3.9所示），然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子.则当图中的取时，该盒子容积最大，求出的最大容积为.7.某厂生产某种产品，其固定成本为100元，每多生产一件产品成本增加6元，又知该产品的需求函数为.则产量为200件时可使利润最大，最大利润是300元8某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为则该个体户将销售价定为每条30元时，才能获得最大利润 a b xo y习题3.41.根据函数的图像（1）在点、点与点处改变符号图3.14（2）在点处有极大值，在点处有极小值（3）（略）2.讨论下列曲线的凹凸性，并求出曲线的拐点：（1）曲线在区间内是凹的，无拐点 （2）曲线在区间内是凸的，在区间内是凹的，点是曲线的拐点（3）曲线在区间内是凸的，在区间内是凹的，点是曲线的拐点（4）曲线在区间内是凸的，在区间内是凹的，点是曲线的拐点（5）曲线在区间内是凹的，在区间内是凸的，点是曲线的拐点（6）曲线在区间与区间内是凸的，在区间内是凹的，点与点都是曲线的拐点（7）曲线在区间内是凸的，在区间内是凹的，点是曲线的拐点（8）曲线在区间内是凹的，在区间内是凸的，点是曲线的拐点（9）曲线在区间与区间内都是凹的，在区间内是凸的，点与点都是曲线的拐点（10）曲线在区间内是凸的，在区间内是凹的，点是曲线的拐点3.已知曲线的一个拐点，则的值为，的值为4.求下列曲线的渐近线：（1）曲线没有水平渐近线，也没有铅直渐近线 （2）曲线有水平渐近线，有铅直渐近线（3）曲线有水平渐近线，有铅直渐近线与 （4）曲线有水平渐近线，有铅直渐近线（5）曲线有水平渐近线，有铅直渐近线 (6) 曲线有水平渐近线，有铅直渐近线（7）曲线有水平渐近线，有铅直渐近线 (8) 曲线没有水平渐近线，也没有铅直渐近线5.（略） 习题3.51.设某产品生产个单位的总收入为，则生产第100个单位产品时的总收入的变化率为1982.某产品的函数(单位：千元)，则：（1）当产量为400台增加到484台时，总成本的平均变化率约为2.12千元/台；（2）当产量为400台的边际成本约为2.13千元/台。3.某产品的销售量与价格之间的关系式为.则需求弹性为.假如销售价格为，则的值为.4.设某商品的需求量对价格的弹性为.则销售收入对价格的弹性为.5.求下列曲线的弧微分（1）曲线 的弧微分 （2）曲线的弧微分（3）曲线 的弧微分 （4）曲线的弧微分6.求下列各曲线在给定点处的曲率K和曲率半径：（1）在点（1,1）处的曲率， 曲率半径 （2）在点处的曲率， 曲率半径（3）在点（2，4）处的曲率， 曲率半径 （4）在（0，2）处的曲率， 曲率半径复习题3一、单项选择题1.，是函数在点处取得极值的（B）.（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）无关条件2.设函数，则点是的（D）.（A）间断点 （B）可导点 （C）驻点 （D）极值点 3.函数在定义域内（A）.（A）无极值 （B）极大值为（C）极小值为 （D）为单调减函数4.函数在区间内单调增加，则应满足（B）.（A） （B）（C） （D）无法说清的规律5.下列曲线在其定义域内为上凹的是（D）. （A） （B）（C） （D）6.设函数在上,则的大小顺序是（B）.（A） （B）（C） （D）二、填空题 1.函数在上满足拉格朗日中值定理的 . 2.极限 0 .3.函数的单调增加区间是 .4.设在点处可导，且有极值，则曲线在（，）处的切线方程为 .5.已知为常数，则 6 .6.曲线的拐点是 （1，0） .三、计算下列极限1.=0 2. 3.=2. 4.5. 6.7. 8.9. 10.四、综合题1. ，则方程有3个实根，它们依次在区间、区间及区间内.2.函数 在区间与区间内单调递增，在区间内单调递减.3. 函数在区间与区间内单调递增，在区间内单调递减，该函数有极大值，有极小值.4. 函数在区间上的最大值，最小值.5.求函数的凹向区间和拐点. 曲线在区间内是凸的，在区间内是凸的，点该曲线的拐点.6.已知点为曲线的拐点,则的值为-3，的值为-9.第4章 不定积分习题4.11.（略）2.已知,且曲线过点,则函数的表达式为.3.函数通过点的积分曲线方程为.4.设曲线过点（1，2），并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，则此曲线的方程为.习题4.21.求下列不定积分： 2.写出下列各式的结果： 3.用直接积分法求下列不定积分：(1) (2) (3) (4)(5) (6)(7) (8) （9） (10)习题4.31.用第一类换元法求下列积分：(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14) 2.用第二类换元法求下列不定积分：（1） (2)(3) (4)(5) (6) 习题4.41.用分部积分法求下列积分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)2.选用适当的方法求下列不定积分：(1) (2)(3) (4)复习题4一、单项选择题1.若函数在上满足条件（C），则其原函数一定存在.（A）单调 （B）有界 （C）连续 （D）有有限个间断点2.若，则下列各式中正确的是（B）. （A） （B） （C） （D）3.函数的一个原函数是 （B）.(A) (B) (C) (D) 4.下列各式正确的是（D）.（A） （B）(C) (D) 5.若的一个原函数为，则（D）.（A） （B） （C） （D）6.已知且，则（A）.（A） (B ) (C ) (D )7.积分 （D）.（A） （B） （C）（D） 8.若，则（C）.（A） (B ) (C ) （D）二、填空题1.函数的所有_原函数_，称为的不定积分.2.若，则= .3. 4.设，则= .5.在求积分时，为了化去被积函数中的根式，可作代换 .6.积分 .7.积分 .8.已知是的一个原函数，则 .三、计算下列不定积分 1. 2. 3. 4.5. 6.7. 8. 9. 10.11. 12.13. 14. 15. 16. 四、应用题1.若曲线通过点，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,则该曲线的方程为2.设作直线运动的某一物体的速度为 ，则求该物体的位移与时间的函数关系式为 ，其中 第五章 定积分及其应用习题5.11.用定积分表示的由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积.2.（略）3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小.(1) (2) (3) (4)4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围.(1) (2)习题5.21.求下列函数的导数：(1）的导数 (2)的导数(3)的导数 (4)的导数2.求下列函数的极限：(1) (2)(3) (4)3.函数在区间上的最大值为0，最小值为.4.由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积为.5.已知物体作变速直线运动的速度为,则该物体在前5秒内经过的路程为(m).6.求下列定积分的值：(1) (2)(3) (4)(5) (6) 习题5.31.用换元积分法计算下列定积分：(1)= (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)2. 利用函数的奇偶性求得下列定积分：(1) (2) 3.用分部积分法计算出下列积分(1) (2)(3) (4)(5) (6)习题5.41.求下列曲线围成平面图形的面积.(1) 曲线 围成平面图形的面积为 (2) 曲线围成平面图形的面积为(3) 曲线围成平面图形的面积为 (4) 曲线围成平面图形的面积为(5) 曲线围成平面图形的面积为 （6）曲线围成平面图形的面积为2.由直线与曲线及它在点处的法线所围成图形的面积.3.求下列平面图形分别绕轴,轴旋转所产生的立体的体积.(1) 曲线及所围平面图形绕轴旋转所产生的立体的体积为，绕轴旋转所产生的立体的体积为 (2) 曲线及所围平面图形绕轴旋转所产生的立体的体积为，绕轴旋转所产生的立体的体积为 4.曲线所围成图形的面积为. 5.已知某产品的的固定成本为1万元，边际收益和边际成本分别为（单位：万元/百台） .(1)则产量由1百台增加到5百台时，总收益增加了20万元(2)则产量由2百台增加到5百台时，总成本增加了14.625万元？(3)则产量为3.2台时，总利润最大；(4)则总利润最大时的总收益为20.48元、总成本15.08元为和总利润为5.4万元.习题5.51.求下列广义积分：(1) (2)发散 (3) 发散 (4) 发散(5) (6) 2.由曲线,直线及轴所围成图形的面积为1.复习题5一、单项选择题1.（A）.(A) (B) (C) (D)2.函数在闭区间上连续是存在的（B）.（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）无关条件3.设在上连续，则在上有（A）.(A)是的一个原函数 (B)是的一个原函数(C)是惟一的原函数 (D)是惟一的原函数4.定积分 （D）.（A）-1 （B）0 （C） （D）25.设在上连续，则下列各式中不成立的是（D）.(A) （B）（C） （D）若，则6.设为连续函数，则（A）.(A) (B)(C) (D)二、填空题1.函数在上连续且其平均值为，则 .2. 3.已知，则= .4.若，则 1 .5.设，则6.曲线与直线，,所围成平面图形面积等于 2_.三、计算下列定积分1. 2. 3. 4.5. 6.7. 8. 9. 10.11. 12.13. 14. 15. 已知，则. 四、应用题1.三次抛物线与直线所围成图形的面积为2.2.由曲线，及直线所围成封闭图形的面积为.3.由曲线与及所围图形的面积为. 4.由曲线与所围成图形的面积为.5.由曲线，直线，轴所围成的平面图形绕轴旋转所形成旋转体的体积为.6. 由曲线及轴所围成图形，绕轴旋转所成立体的体积为，绕轴旋转所成立体的体积为7.抛物线及其在点(0,-3)各点(3,0)处的切线所围成图形，面积为，该图形绕y轴旋转所得的旋转体体积为. 8.生产某产品的边际成本为（万元百台），边际收入为（万元百台），其中为产量。若固定成本为10万元，则：（1）产量为10百台时，利润最大（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元第8章 常微分方程习题8.11.写出以下方程的阶数:(1) 常微分方程的阶数为3.(2) 常微分方程的阶数为1.(3) 常微分方程的阶数为1.2.下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是微分方程？(1) 方程是微分方程 (2) 方程 不是微分方程 (3) 方程 不是微分方程 (4) 方程是微分方程 (5) 方程是微分方程 (6) 方程是微分方程3.（略）4.函数关系式在或时，满足初始条件习题8.21.用分离变量法求解下列微分方程：（1）微分方程的通解为 （2）微分方程的通解为（3）微分方程的通解为 （4）微分方程的通解为（5）微分方程的通解为 （6）微分方程的通解为2.写出由下列