广东广州市2017年度届高三12月模拟专业考试数学文试题整理汇编含内容标准答案..doc
,. 2017 届广州市普通高中毕业班模拟考试 文科数学 2016.12 本试卷共 4 页，23 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）设全集0,1,2,3,4U ，集合0,1,3A ，集合2,3B ，则 U AB () 4 () 0,1,2,3 () 3 () 0,1,2,4 （2）设(1 i)(i)xy2，其中, x y是实数，则2ixy （A）1 （B）2 （C）3 （D）5 （3）已知双曲线：C 22 22 1 xy ab （0, 0ba）的渐近线方程为2yx , 则双曲线 C的离心率为 (A) 2 5 (B) 5 (C) 2 6 (D) 6 （4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取 3 次，每次摸出一 个球. 若摸到红球得 2 分，摸到黑球得 1 分，则 3 次摸球所得总分为 5 分的概率是 (A) 3 1 (B) 8 3 (C) 2 1 (D) 8 5 （5）已知角的顶点与原点重合, 始边与x轴正半轴重合, 终边过点1 2P, 则 tan2 （A） 4 3 （B） 4 5 （C） 4 5 （D） 4 3 （6）已知菱形ABCD的边长为2，60ABC , 则BD CD (A) 6 (B) 3 (C) 3 (D) 6 （7）已知函数 2, 0, ( ) 1 ,0, xx f x x x ( )()g xfx ，则函数( )g x的图象是 ,. （8）曲线 x y2上存在点),(yx满足约束条件 mx yx yx 032 03 ，则实数m的最大值为 (A) 2 (B) 2 3 (C) 1 (D) 1 （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11 （10）若将函数( )sin2cos2f xxx的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称， 则的最小正值是( ) () 8 () 4 () 3 8 () 3 4 （11）如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某三棱锥 的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 (A) 25 (B) 4 25 (C) 29 (D) 4 29 (12) 若函数 xaxexf x cossin在 2 , 4 上单调递增，则实数a的取值范围是 (A) 1 , (B) 1 , (C) 1, (D) 1, 第卷 ,. 52 7536 869 4 3 8 594678 3 0975 4 5 7032 41 7 3 3264 98 5 9 8 7 6 5 4 3 2 乙 乙 乙 乙 乙 乙 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分。 （13）等比数列 n a的前n项和为 n S，若 23 0aS ，则公比q _ （14）已知函数 2 2 1 log 1 x f x x ，若 2f a，则fa （15）设,P Q分别是圆 2 2 13xy和椭圆 2 2 1 4 x y上的点，则,P Q两点间的最 大 距离是 . （16）已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若1a， bcC2cos2，则ABC的周长的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 等差数列 n a中，12 43 aa， 7 49S . （）求数列 n a的通项公式； （）记x表示不超过x的最大整数，如09 . 0，26 . 2. 令lg nn ab ， 求数列 n b的前 2000 项和. （18） （本小题满分 12 分） PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国 PM2.5 标准采用前卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气 质量为一级；在 35 微克/立方米与 75 微克/立方米之间的空气质量为二级；在 75 微克/ 立方米以上的空气质量为超标为了解甲, 乙两座城市2016年的空气质量情况，从全 年每天的 PM2.5 监测数据中随机抽取 20 天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示 （十位为茎，个位为叶） （）从甲, 乙两城市共采集的 40 个数据样本中， 从 PM2.5 日均值在60,80范围内随机取 2 天 数据，求取到 2 天的 PM2.5 均超标的概率； ,. P E CB A （）以这 20 天的 PM2.5 日均值数据来估计一年 的空气质量情况，则甲, 乙两城市一年（按 365 天计算） 中分别约有多少天空气质量达到一级或二级 (19) （本小题满分 12 分） 在三棱锥PABC中, PAB是等边三角形, APC 60BPC . （）求证: ABPC; （）若4PB，BEPC，求三棱锥PAEB 的体积. (20) （本小题满分 12 分） 已知点 1122 ,A x yB xy 是抛物线 2 8yx 上相异两点，且满足 12 4xx （）若直线AB经过点 2,0F ，求 AB 的值； （）是否存在直线AB，使得线段AB的中垂线交x轴于点M, 且 24|MA ? 若存 在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由. (21) （本小题满分 12 分） 设函数( )()lnf xmxnx. 若曲线( )yf x在点e,(e)Pf（处的切线方程为 2eyx（e为自然对数的底数）. （）求函数( )f x的单调区间； （）若,Ra b ，试比较 ( )( ) 2 f af b 与() 2 ab f 的大小，并予以证明. 请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位. 已知直线l的参数方程为 sin , ( 1cos xt t yt 为参数,0), 曲线C的极坐标方程 为 2 cos4sin . ,. () 求直线l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; （II）设直线l与曲线 C 相交于,A B两点, 当变化时, 求AB的最小值. (23)（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 1f xax，不等式 3xf的解集是21|xx. （）求a的值； （II）若 | 3 f xfx k 存在实数解，求实数k的取值范围. 2017 届广州市普通高中毕业班模拟考试 文科数学试题答案及评分参考 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题 （1）A （2）D （3）B （4）B （5）A （6）D （7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）A 二、填空题 （13）1 （14）0 （15） 7 3 3 （16） 31,3 三、解答题 (17) 解： （）由12 43 aa， 7 49S ，得 1 1 2512, 72149. ad ad 2 分 ,. 解得1 1 a，2d， 4 分 所以12 nan. 5 分 （）)12lg(lgnab nn ， 6 分 当51 n时, 0)12lg(nbn; 7 分 当506 n时, 1)12lg(nbn; 8 分 当50051 n时, 2)12lg(nbn; 9 分 当5012000n 时, 3)12lg(nbn. 10 分 所以数列 n b的前 2000 项和为544515003450245150. 12 分 (18) 解: （）从甲, 乙两城市共采集的 40 个数据样本中，PM2.5 日均值在60,80内的共有 6 天， 而 PM2.5 日均值为超标（大于 75 微克/立方米）的有 3 天记 PM2.5 日均值超标的 3 天为 123 ,D D D，不超标的 3 天为 123 ,d dd，则从这 6 天中随机取 2 天，共有如下 15 种结果（不记顺序）: 121323121323 ,D DD DD Dd dd dd d， 111213 ,D dD dD d ， 212223313233 ,.D dD dD dD dD dD d 2 分 其中，抽出 2 天的 PM2.5 均超标的情况有 3 种： 121323 ,D DD DD D4 分 由古典概型知，抽到 2 天的 PM2.5 均超标的概率 31 155 P 6 分 （）各抽取的 20 天样本数据中，甲城市有 15 天达到一级或二级；7 分 乙城市有 16 天达到一级或二级 8 分 由样本估计总体知，甲, 乙两城市一年（按 365 天计算）中空气质量达到一级或二 级的天数分别约为: ,. D P E CB A 15 365273.75274 20 n 甲 ， 16 365292 20 n 乙 12 分 (19) 解: （）因为PAB是等边三角形, APC 60BPC , 所以PBCPAC, 可得ACBC. 1 分 如图, 取AB中点D, 连结PD,CD, 则PDAB,CDAB, 3 分 因为,PDCDD 所以AB 平面PDC, 4 分 因为PC 平面PDC, 所以ABPC. 5 分 （）因为 PBCPAC, 所以AEPC, AEBE. 6 分 由已知4PB，在 RtPEB中, 4sin602 3BE ,4cos602.PE 8 分 因为BEPC, AEPC, EAEBE, 所以ABEPE平面. 9 分 因为4AB, 32 BEAE， 所以AEB的面积 2 2 11 4 2 22 SABBEAB. 10 分 因为三棱锥PAEB 的体积等于三棱锥ABEP 的体积, 所以三棱锥BPAE的体积 118 2 4 22 333 VS PE. 12 分 (20) 解： （I）法 1：若直线AB的斜率不存在，则直线AB方程为 2x= ,. 联立方程组 2 8 , 2, yx x 解得 2, 4, x y = = 或 2, 4. x y = = - 即 ()2,4A ， ()2,4B- 1 分 所以 8AB = 2 分 若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ()2yk x=- ， 联立方程组 2 8 , (2), yx yk x 消去 y 得 () 2222 4840k xkxk-+= ， 故 2 12 2 48 4 k xx k + += ，方程无解 3 分 所以 8AB = 法 2：因为直线AB过抛物线 2 8yx 的焦点 2,0F ，根据抛物线的定义得， 1 2AFx ， 2 2BFx ， 2 分 所以 12 48ABAFBFxx . 3 分 （II）假设存在直线AB符合题意，设直线AB的方程为 ykxb=+ ， 联立方程组 2 8 , , yx ykxb 消去 y 得 () 222 280k xkbxb+-+= ，(*) 故 12 2 28 4 kb xx k - += -= ，4 分 所以 4 2bk k =- 所以 2 2 12 22 4 2 b x x kk =- 5 分 ,. 所 以 () 2 2 1212 14ABkxxx x=+-= 2 22 2 4 (1) 442k k 4 2 81k k - = 6 分 因为 () 1212 8 242yyk xxbkb k +=+=+= 所以AB的中点为 4 2,C k 所以AB的中垂线方程为 4 y k = 1 2x k ，即 60 xky 7 分 令 0y , 得 6x . 所以点M的坐标为 6,0 . 8 分 所以点M到直线AB的距离 2 2 16 (62)dCM k =-+ 2 41 | k k + = . 因为 2 22 | 2 AB MACM ，9 分 所以 22 42 2 2 4141 (4 2) kk kk . 解得 1k = 10 分 当 1k = 时， 2b= ；当 1k = - 时， 2b= - 把 1, 2, k b 和 1, 2, k b 分别代入(*)式检验, 得 0 ,不符合题意. 11 分 所以直线AB不存在. 12 分 (21) 解: （）函数( )f x的定义域为(0,). ( )ln mxn fxmx x . 1 分 ,. 依题意得(e)e,(e)2f f ，即 ee, e 2, e mn mn m 3 分 所以1,0mn. 4 分 所以( )lnf xxx，( )ln1fxx. 当 1 (0, ) e x时, ( )0fx; 当 1 ( ,) e x时, ( )0fx. 所以函数( )f x的单调递减区间是 1 (0, ) e , 单调递增区间是 1 ( ,) e .6 分 （）当,Ra b 时， ( )( ) () 22 f af bab f . ( )( ) () 22 f af bab f 等价于 lnln ln 222 aabbabab ， 也等价于 2 ln(1)ln(1)ln20 aaaa bbbb . 7 分 不妨设ab， 设( )ln 2(1)ln(1)ln2g xxxxx（1,)x）, 则( )ln(2 )ln(1)g xxx. 8 分 当1,)x时，( )0g x，所以函数( )g x在1,)上为增函数， 即( )ln2(1)ln(1)ln2(1)0g xxxxxg， 9 分 故当1,)x时，( )ln2(1)ln(1)ln20g xxxxx（当且仅当1x 时取 等 号）. 令1 a x b ，则( )0 a g b ， 10 分 即 2 ln(1)ln(1)ln20 aaaa bbbb （当且仅当ab时取等号） ，11 分 综上所述，当,Ra b 时， ( )( ) () 22 f af bab f （当且仅当ab时取等号）. 12 分 (22) 解: ,. () 由 sin , 1cos , xt yt 消去t得cossinsin0 xy, 1 分 所以直线l的普通方程为cossinsin0 xy. 2 分 由 2 cos4sin, 得 2 cos4 sin, 3 分 把cos ,sinxy代入上式, 得yx4 2 , 所以曲线 C 的直角坐标方程为yx4 2 . 5 分 (II) 将直线 l 的参数方程代入yx4 2 , 得 22 sin4 cos40tt, 6 分 设 A、B 两点对应的参数分别为 12 ,t t, 则 12 2 cos sin tt 4 , 1 2 2 sin t t 4 , 7 分 所以 2 12121 2 ()4ABttttt t 2 422 16cos16 sinsinsin 4 . 9 分 当 2 时, AB的最小值为 4. 10 分 (23) 解： （）由13ax|, 得313ax ，即24ax . 1 分 当0a 时， 24 x aa . 2 分 因为不等式 3f x 的解集是 | 12xx 所以 2 1, 4 2, a a 解得2.a 3 分 当0a 时， 42 x aa . 4 分 因为不等式 3f x 的解集是 | 12xx ,. 所以 2 2, 4 1, a a 无解. 5 分 所以2.a （II）因为 21212121 2 . 3333 xxxxf xfx 7 分 所以要使 ( )() 3 f xfx k +- . 8 分 解得 2 3 k 或 2 3 k . 9 分 所以实数k的取值范围是 22 , 33 . 10 分
