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算法设计与分析期末备考知识点总结 通俗地讲，算法是解决问题的方法，严格地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述， 是指令的有限序列。 算法还必须满足一下五个重要特性：输入、输出、有穷性、确定性、可行性。 程序（Program）是对一个算法使用某种程序设计语言的具体实现，原则上，算法可以 用任何一种程序设计语言来实现。 什么是算法的计算复杂性？ 算法分析指的是对算法所需要的两种计算机资源时间和空间(时间复杂性和空间复 杂性进行估算，所需要的资源越多，该算法的复杂性就越高。 表示计算复杂性的O你掌握了？ 若存在两个正的常数c和n0，对于任意nn0，都有T(n)c×f(n)，则称T(n)=O(f(n)（或称算法在O(f(n)中）。 我们主要介绍了哪几种算法设计方法？ 分治法：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。 减治法：减治法在将原问题分解为若干个子问题后，利用了规模为n的原问题的解与较小规模（通常是n/2）的子问题的解之间的关系，这种关系通常表现为： （1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中； （2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系。 由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间存在这种关系，所以，只需求解其中 一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。 动态规划法、贪心算法、回溯算法、概率 RAM程序 分治法-合并排序 设算法4.3对n个元素排序的时间复杂性为T(n)，则该二路归并排序算法存在如下递推式： 二路归并排序的时间代价是O(nlog2n)。 所需空间只要O(m+n+min(m, n)的空间就够了(假设两个合并串的长度分别为m和n)。 分治法-快速排序 在最好情况下在具有n个记录的序列中，一次划分需要对整个待划分序列扫描一遍，则所需时间为O(n)。时间复杂度为O(nlog2n)。 在最坏情况下必须经过n-1次递归调用才能把所有记录定位，而且第i趟划分需要经过n-i 次关键码的比较才能找到第i个记录的基准位置，因此，总的比较次数为： 时间复杂度为O(n2) 分治法-最大子段 递推式：算法时间复杂度：O(nlog2n) 分治法-棋盘覆盖问题 T(k)满足如下递推式： 分治法-循环赛日安排问题 基本语句的执行次数是： 算法的其时间复杂性为O(4k)。 顺序统计问题： 算法找出n个元素中的第k个最小元素 输入：从一个有线性序的集合中抽出的n个元素的序列S及一个整数k，1kn。输出：S中的第k个最小元素 算法2 算法2的期望时间是O(n)。最坏情况O(n2) 减治-插入排序（手工题） 堆的概念： n个元素的序列K1,K2,.Kn，当且仅当满足 动态规划求解TSP问题 注：用动态规划解决TSP问题，算法的时间复杂性为O(n22n)。和蛮力法相比，动态规划法求解TSP问题，把原来的时间复杂性是O(n!)的排列问题，转化为组合问题，从而降低了算法的时间复杂性，但它仍需要指数时间。但遗 憾的是这一动态规划算法需要O(n2n)的空间。当n较大时，空间难以满足。多段图的最短路径算法： 1For (i=1; i=0; i-) 2.1 对顶点i的每一个邻接点j，根据 costi=mincij+costj (ijn且顶点j是顶点i的邻接点)计算costi; 2.2 根据pathi=使cij+costj最小的j 计算pathi; 3输出最短路径长度cost0; 4. 输出最短路径经过的顶点： 4.1 i=0 4.2 循环直到pathi=n-1 4.2.1 输出pathi; 4.2.2 i=pathi; 最优二叉查找树算法： 最优二叉查找树是以这n个记录构成的二叉查找树中具有最少平均比较次数的二叉查找树，即最小，其中pi是记录ri的查找概率，ci是在二叉查找树中查找ri的比较次数。 回溯法-解空间树的动态搜索过程 注：搜索过程中，采用两种策略避免无效搜索： 1.用约束条件剪去得不到可行解的子树； 2.用目标函数剪去得不到最优解的子树。 例一:对于n=3的0/1背包问题，三个物品的重量为20, 15, 10，价值为20, 30, 25，背包容量为25，从图8.2所示的解空间树的根结点开始搜索，搜索过程如下: (注：树枝左侧为1，右侧为0，1代表装包，0代表不装包，从上到下每一层代表一个物体) 例二:对于n=4的TSP问题，解空间树如下：代价矩阵C如下： 1.目标函数初始化为； 2.从结点1选择第1棵子树到结点2，表示在图中从顶点1出发； 3.从结点2选择第1棵子树到达结点3，表示在图中从顶点1到顶点2，依代 价矩阵可知路径长度为3； 4.从结点3选择第1棵子树到达结点4，表示在图中从顶点2到顶点3，依代 价矩阵可知路径长度为3+2=5； 5.从结点4选择唯一的一棵子树到结点5，表示在图中从顶点3到顶点4，路 径长度为5+2=7，结点5是叶子结点，找到了一个可行解，路径为12341，路径长度为7+3=10，目标函数值10成为新的下界，也就是目前的最优解； 6.从结点5回溯到结点4，再回溯到结点3，选择结点3的第2棵子树到结点6， 表示在图中从顶点2到顶点4，路径长度为3+8=11，超过目标函数值10，因此，对以结点6为根的子树实行剪枝； 搜索后的结果图： 回溯法-图着色问题的算法 用m种颜色为一个具有n个顶点的无向图着色 设数组colorn表示顶点的着色情况，回溯法求解m着色问题的算法如下： 回溯法-n皇后问题的算法
