高等数学上册练习进步题.doc
-/ 高数练习题 一、选择题。 4、（ ） 。 1 1 lim 1 x x x a、 b、 c、=0 d、不存在11 5、当时，下列变量中是无穷小量的有（ ） 。0x a、 b、 c、 d、 x 1 sin x xsin 12 x xln 7、（ ） 。 1 1sin lim 2 1 x x x a、1 b、2 c、0 d、 2 1 9、下列等式中成立的是（ ） 。 a、 b、e n n n 2 1lime n n n 2 1 1lim c、 d、e n n n 2 1 1lime n n n 2 1 1lim 10、当时，与相比较（ ） 。0xxcos1xxsin a、是低阶无穷小量 b、是同阶无穷小量 c、是等阶无穷小量 d、是高阶无穷小量 11、函数在点处有定义，是在该点处连续的（ ） 。 xf 0 x xf a、充要条件 b、充分条件 c、必要条件 d、无关的条件 12、 数列y n有界是数列收敛的 ( ) . （A）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当 x >0 时，( )是与 sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C) 1 ln(12 ) 2 x (D) x (x+2) 14、若函数在某点极限存在，则（ ）.( )f x 0 x （A）在的函数值必存在且等于极限值( )f x 0 x （B）在的函数值必存在，但不一定等于极限值( )f x 0 x （C）在的函数值可以不存在 （D）如果存在则必等于极限值( )f x 0 x 0 ()f x 15、如果与存在，则（ ）. 0 lim( ) xx f x 0 lim( ) xx f x （A）存在且 0 lim( ) xx f x 0 0 lim( )() xx f xf x -/ （B）存在但不一定有 0 lim( ) xx f x 0 0 lim( )() xx f xf x （C）不一定存在 0 lim( ) xx f x （D）一定不存在 0 lim( ) xx f x 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 0) (x e.A x 1 - 0) (x x 1 sin .B )3 (x 9x 3x .C 2 )1x (xln .D 17、（ ） x x x 2 sin lim A.1 B.0 C.1/2 D.2 18、下列极限计算正确的是（ ） e x 1 1lim.A x 0 x 1 x 1 sinxlim.B x 1 x 1 sinxlim.C 0 x 1 x xsin lim.D x 19、下列极限计算正确的是（ ） 1 x xsin lim.A x e x 1 1lim.B x 0 x 5 12 6xx 8x lim.C 2 3 2x 1 x x lim.D 0 x )(, 0 x1x2 0 x1x )x( f.20、 2 则下列结论正确的是设 A. f(x)在 x=0 处连续 B. f(x)在 x=0 处不连续，但有极限 C. f(x)在 x=0 处无极限 D. f(x)在 x=0 处连续，但无极限 23、（ ）. 1 lim sin x x x （A） （B）不存在 （C）1 （D）0 24、（ ）. 2 2 1 sin (1) lim (1) (2) x x xx （A） （B） （C）0 （D） 1313 2 3 25、设，要使在处连续，则（ ）. 1 sin0 ( )3 0 x x f xx ax ( )f x(,) a （A）0 （B）1 （C）1/3 （D）3 26、点是函数的（ ）.1x 311 ( )11 31 xx f xx xx （A）连续点 （B）第一类非可去间断点 （C）可去间断点 （D）第二类间断点 -/ 28、，如果在处连续，那么（ ）. 11 0 ( ) 0 xx x f x x kx ( )f x0 x k （A）0 （B）2 （C）1/2 （D）1 30、设函数 在点 x=0 处（ ）不成立。 x xe xf x 0 0 x x a、可导 b、连续 c、可微 d、连续，不可异 31、函数在点处连续是在该点处可导的（ ） 。 xf 0 x a 、必要但不充分条件 b、充分但不必要条件 c、充要条件 d、无关条件 32、下列函数中（ ）的导数不等于。x2sin 2 1 a、 b、 c、 d、x 2 sin 2 1 x2cos 4 1 x 2 cos 2 1 x2cos 4 1 1 33、设 )1ln( 2 xxy ，则 y= ( ). 1 1 2 xx 1 1 2 x 1 2 2 xx x 1 2 x x 34、已知，则=（ ） 4 4 1 xy y A. B. C. D. 6 3 x 2 3xx6 36、下列等式中， （ ）是正确的。 x2ddx x2 1 .A x 1 ddx.Blnx 2 x 1 ddx x 1 .C- cosxdsinxdx.D 37、d(sin2x)=( ) A. cos2xdx B. cos2xdx C. 2cos2xdx D. 2cos2xdx 39、曲线 y=e2x在 x=2 处切线的斜率是( ) A. e4 B. e2 C. 2e2 D.2 40、曲线处的切线方程是（ ）11xxy在 2 3 2 x y .A 2 3 2 x y .B 2 3 2 x y .C 2 3 2 x y .D 41、曲线 2 2yxx 上切线平行于 x 轴的点是 ( ). A、 (0, 0) B、(1, -1) C、 (1, -1) D、 (1, 1) 42、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有（ ） 。 a、 b、 xy 2 , 1154 23 xxxy 1 , 0 -/ c、 d、 2 1lnxy 3 , 0 2 1 2 x x y 1 , 1 43、函数 在其定义域内（ ） 。2 3 xxy a、单调减少 b、单调增加 c、图形下凹 d、图形上凹 44、下列函数在指定区间上单调增加的是（ ） (,) Asinx Be x Cx 2 D3 - x 45、下列结论中正确的有（ ） 。 a、如果点是函数的极值点，则有=0 ； 0 x xf 0 x f b、如果=0，则点必是函数的极值点； 0 x f 0 x xf c、如果点是函数的极值点，且存在， 则必有=0 ； 0 x xf 0 x f 0 x f d、函数在区间内的极大值一定大于极小值。 xfba, 46、函数在点处连续但不可导，则该点一定（ ） 。 xf 0 x a、是极值点 b、不是极值点 c、不是拐点 d、不是驻点 52、函数 f(x)=x3+x 在（ ） 单调减少,.A 单调增加,.B 单调增加单调减少,.C11 单调增加单调减少,.C00 53、函数 f(x)=x2+1 在0，2上（ ） A.单调增加 B. 单调减少 C.不增不减 D.有增有减 54、若函数 f(x)在点 x0处取得极值,则( ) 0)x(f .A 0 不存在)x(f .B 0 处连续在点 0 x)x(f .C 不存在或)x(f0)x(f .D 00 55、函数 f(x)=ex-x-1 的驻点为（ ） 。 A. x=0 B.x=2 C. x=0，y=0 D.x=1，e-2 56、若则是的（ ） , 0 x f 0 x xf A.极大值点 B.最大值点 C.极小值点 D.驻点 57、若函数 f (x)在点 x0处可导，则 h xfhxf h 2 2 lim 00 0 )x(f .A 0 )x(f 2 . B 0 )x(f.C 0 )x(f2.D 0 58、若则（ ）,) 1 (x x f x f x 1 .A x 1 -.B 2 x 1 .C 2 x 1 .D - 59、函数单调增加区间是（ ）x x y 3 3 A.(-，-1) B.( -1，1) C.(1，+) D.(-,-1)和(1，+) 60、（ ） )d(e x x -/ A B C Dcx x ecx xx eecx x ecx xx ee 61、下列等式成立的是( ) A B C D x xx 1 ddln 2 1 dd 1 x x x xxxsinddcos x x x 1 dd 1 2 62、若是的原函数，则（ ）.)(xf)(xg （A） （B） Cxgdxxf)()( Cxfdxxg)()( （C） （D） Cxgdxxg)()( Cxgdxxf)()( 64、若，则（ ）. cexdxxf x22 )()(xf （A） （B） x xe22 x ex 22 2 （C） （D） x xe2)1 (2 2 xxe x 65、设是的一个原函数，则（ ）. x e)(xf dxxxf)( （A） （B） cxe x )1 (cxe x ) 1( （C） （D）cxe x ) 1(cxe x ) 1( 66、若，则（ ）. cxdxxf 2 )( dxxxf)1 ( 2 （A） （B） cx 22) 1 (2cx 22) 1 (2 （C） （D） cx 22) 1 ( 2 1 cx 22) 1 ( 2 1 67、 （ ）. xdx2sin （A） （B） cx 2cos 2 1 cx 2 sin （C） （D）cx 2 coscx 2cos 2 1 68、下列积分值为零的是（ ） xdxsinx.A 1 1 xx dx 2 ee .B 1 1 xx dx 2 ee .C 2 2 dxxxcos.D 71、若 )(,2sin)(xfcxdxxf则 A.2cos2x B. 2sin2x C. -2cos2x D. -2sin2x -/ 73、若，则 k=（ ） 1 0 2dxkx a、0 b、1 c、 d、1 2 3 75、（ ） dxxxe x )sin( 2cos 3 .A 3 3 2 .B 3 3 2 2e.C 3 -1 3 2 e-e.D 3 -1 76、 2 0 1dxx A.0 B.1 C.2 D.-2 77、无穷积分（ ） 1 2 1 dx x A. B.1 3 1 .C D.-1 78、（ ） 。 )(arctan 0 2 x dtt dx d （A）2arctant （B） （C） （D） 2 1 1 t 2 )(arctanx 2 )(arctanx 2 )(arctant 二、填空题 2、函数的定义域是 x xxf 2 1 )5ln()( 3、若，则_. 2 2 11 ()3f xx xx ( )f x 4、 x xx x sin lim 5、如果时，要无穷小量与等价，应等于_.0 x (1 cos )x 2 sin 2 x aa 6、设，则处处连续的充分必要条件是 2 0 ( ) ()0 axbx f x ab xxx 0ab _.b 7、 、函数的间断点是_)(xf 1 1 x 8、的间断点是_ 1 1 3 x x y 9、曲线在点（4, 2）处的切线方程是xy -/ 10、设是可导函数且，则_；)(xf0)0(f x xf x )( lim 0 11、曲线在处的切线方程是_；xxyarctan0x 12、设由方程可确定是的隐函数，则 0 yx eexyyx 0 x dy dx 13、函数在处的导数为 ；xytan0x 14、设, 求 _ x ey 2 0 x y 15、若函数，则= xyln y 16、函数的驻点是 .yx31 2 () 18.指出曲线的渐近线 2 5x x y 17、已知的一个原函数为，则= )(xf x e)(xf 20、 . dx x x 2 )1 ( 23、设连续，且，则 .)(xf 3 0 )( x xdttf)8(f 24、 2 0 3 0 sin lim x x t dt x 25、 1 2 35 1 (1) sinxxdx 26、若函数，则= 3lny y 27、若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = y 28、函数的单调增加区间是 .yx31 2 () 29、过点且切线斜率为的曲线方程是= )3 , 1 (x2y 30、函数 的驻点是 ，拐点是 ，凸区间为 ，凹区间为 x xey -/ 。 31、_. dx x x 1 0 2 2 1 32._. )sin( 2 1 2dx x dx d 33.设,则_. x tdtxF 1 tan)()(xF 34. 设,则_. 2 1 tan)( x tdtxF)(xF 36、。_ )3( 5 4 2 x dx 39、_. 1 1 1 1 lndx x x 三、计算题 （一）求极限 （1） （2） （3）432lim 2 1 xx x 3 4 lim 2 3 x x x 1 23 lim 2 2 1 x xx x （4） （5） （6） 3 21 lim 3 x x x 3 9 lim 9 x x x2 2 0 11 lim x x x （8） （10） （11） 1 1 1 2 lim 2 1 xx x 43 32 lim 2 2 x xx x （12） （14） xx xx x 7 153 lim 2 3 33 6 lim 2 xx x x xx x 1 1 1 3 lim 3 1 （16） （17） （18） x x x 5sin 3sin lim 0 xx xx x sin sin2 lim 0 1 ) 1sin( lim 2 1 x x x （19） （20） （22） （23） 2 0 cos1 lim x x x xx x x sin cos1 lim 0 x x x 3 1 1lim （24）（25） （26） x x x 2 1lim x x x 2 1limx x x 1 0 31lim x x x 1 0 21lim （29） （30） （31） （32） x x x 1ln lim 0 3 0 sin lim x xx x x ee xx x 0 lim -/ （33） x x e x2 lim 2 ln lim x x x （34） （35） xx x ln 1 1 1 lim 1 ) 1 11 (lim 0 x x ex1cos ) 1( lim 0 x ex x x （二）求导数或微分 （1） 求下列函数的导数 1. , 2. , 3. , 4. , x xey 2 102 ) 12(xxyxy4sin 6.,7. , 8. ,9., 3 x ey )2sinln( 2 xxy 5 sincos7 1 2 x x y)32arcsin(xy 10. , 11. , 12. , 13. ,)ln(sin xy 3 )(ln xy xxy2ln1 2 2 cos3sinxxy 15.已知, 求 , 16. 求由方程 F（x,y）=0 所确定的隐函数 y=f(x)的导数（1） t t tey ex 2 dx dy （2） （3） （4）yxyln y xey1yxyln1 22 xyyx (2)求下列函数的微分 . , 2. , 3. , 4. , 5. ,xxxylnsinxy 2 sinxxy2sin)1ln( x ey x xey cos （三）求下列函数的单调区间和极值 （1） （2） （3） （4）1593 23 xxxy1 x exy22 24 xxy xxy1 （四）积分 . ,2. ,3. , 4. , 5. , 6. , dxe x2 dx x13 1 xdx 2 cos dx x x 1 2 dxxe x2 xdxxcossin 3 7. 12 13. , 15. , 16. , 17. dx x x1ln dx x x 2 1 dxexx xx )2( dxe x xdxx2cos ,21. , 24. ,25 xdxx sin 2 1 0 2 3dxxxdxe x 2 1 12 2 0 cosxxdx 26. , 27. , 28. ,29.设, 求 1 0 x xe dx 1 0 arccosxdxdxx 2 0 sin 31 , 1 0 , )( xe xx xf x , 30. ,31. , 32. ，33.。dxxf 3 0 )(dx x 4 1 1 dx x 1 0 2 94 1 dxe x 0 2 1x dx （五） 、定积分的应用 1 利用定积分求曲线所围成区域的面积 -/ （1 ） 求曲线，直线 x=0,x=3 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积； x y2 （3）求由曲线，直线 x=0,x=1 和 x 轴所围成的图形的面积； 2 xy 2 利用定积分求旋转体的体积 （1） 求由连续曲线和直线和 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所成旋xycos 2 , 0 xx 转体的体积； （3）求由曲线旋转所得旋转体的体积；轴绕xyxxy, 0, 2, 3 （4）求由曲线旋转所得旋转体的体积。轴绕yyxxxy, 0, 4, 1, 四、证明。 （1）证明方程在 1 与 2 之间至少有一个实根；01073 24 xxx （2）证明方程至少有一个小于 1 的正根。12 x x （3）证明方程在（1，2）内至少存在一个实根；13 5 xx （4）方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过.sinxaxb0,0abab （5）证明当时，。0xxx x x )1ln( 1 （6）证明当时，。1x x x 1 32 (7)已知函数在上连续，在内可导，且)(xf 1 , 0) 1 , 0(1) 1 (, 0)0(ff 证明:(1)存在，使得；) 1 , 0(1)(f (2)存在两个不同的点，使得) 1 , 0(,1)()(ff 五、应用题 （1）一个圆柱形大桶，已规定体积为 V,要使其表面积为最小，问圆柱的底半径及高应是 多少？ （2）某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20 米长的墙壁，问应围成怎样的 长方形才能使这间小屋的面积最大？ （3）某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆。截面的面积为 5 平方米，问底宽 x 为多少 时才能使截面的周长最小？ (4). 某厂每批生产商品台的费用为(万元),得到的收入为Ax( )5200C xx (万元), 问每批生产多少台才能使企业获得最大利润. 2 01 . 0 10)(xxxR -/
