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-!第三章33 已知各系统的脉冲响应，试求系统的闭环传递函数： 解答：（1） （2） （3） 3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为试求系统的超调量%，峰值时间 和调节时间 .解答：因为0<<1，所以系统是欠阻尼状态。阻尼比=cos()=0.6，自然频率，阻尼振荡频率=1 峰值时间的计算2 调节时间的计算3 超调量%的计算3-5设单位反馈系统的开环传递函数为，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。解答：方法一：根据比例-微分一节推导出的公式把z=1/=2.5,代入可得峰值时间的计算， 超调量得计算调节时间得计算方法二：根据基本定义来求解闭环传递函数为当输入为单位阶跃函数时得单位阶跃响应 1 峰值时间的计算 对h(t)求导并令其等于零得-0.5 =2.92. 超调量%的计算 17.49%3. 调节时间得计算 3-6.已知控制系统的单位阶跃响应为 ，试确定系统的阻尼比和自然频率。解答：系统的单位脉冲响应为 系统的闭环传递函数为 自然频率 阻尼比 3-7 设图37是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数和，使系统的。图37飞行控制系统结构图解答：简化37结构图，得到系统的闭环传递函数为 将上式与二阶系统的传递函数的标准形式 相比较可得 将代入上述方程组并解之可得 3-8分别求出图3-8中各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。 图38 控制系统解答： （1）由图38（a）可得系统的闭环传递函数为 由上式易得，此系统的动态性能指标为 自然频率 阻尼比 超调量 调节时间 （2）由图38（b）可得系统闭环传递函数为显然，这是一个比例微分控制二阶系统，因此有 此系统的动态性能指标为 峰值时间 超调量调节时间 （3） 由图38（c）可得系统闭环传递函数为（4） 由上式易得此系统的动态性能指标为 自然频率阻尼比，所以为欠阻尼二阶系统 超调量 调节时间动态性能的比较表如下表31所示。 表31 动态性能的比较表(a)(b)(c)3-9设控制系统如图3-9所示。要求：（1） 取计算测速反馈校正系统的超调量，调节时间和速度误差；（2） 取计算比例-微分校正系统的超调量，调节时间和速度误差；图39 控制系统 解答：（1）取时，系统的传递函数为由开还传递函数可知，此系统是一个I型系统，其速度系数为，由静态误差系数法可得系统的速度误差为 由闭环传递函数可知， 超调量 调节时间 (2)取时，系统的传递函数为 由开还传递函数可知，此系统是一个I型系统，其速度系数为 ，由静态误差系数法可得系统的速度误差为 由比例微分校正系统的闭环函数可知 超调量 调节时间 3-11已知系统特征方程为 试用劳思判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。解答：首先用劳思判据来判定系统的稳定性，列出劳思表如下： 显然，由于表中第一列元素的符号有两次改变，所以该系统在右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则 显然，系统不稳定。313 已知单位负反馈系统的开环传递函数为试确定系统稳定时的值范围。解答： 由题意可知系统的特征方程为列劳思表如下 由劳思稳定判据可得 解上述方程组可得315 已知单位反馈系统的开环传递函数： 试求输入分别是时，系统的稳态误差。解答：（1）由上式可知，该系统是0型系统，且.0型系统在信号作用下的稳态误差分别为：。该系统在输入为时的稳态误差为 根据线性叠加原理，该系统在输入为时的稳态误差为（2）由上式可知，该系统式1型系统，且。1型系统在信号作用下的稳态误差分别为：。该系统在输入为时的稳态误差为根据线性叠加原理，该系统在输入为时的稳态误差为 （3） 首先需要判定此系统的稳定性，对于单位负反馈系统有，所以系统的闭环特性方程为 用劳思稳定判据来确定此系统的稳定性，列劳思表如下 显然，劳思表中的第一列元素均大于零。由劳思稳定判据可知系统是稳定的。 用终值定理来求系统的稳态误差，有 当输入为时，则当输入为时，则 316 已知单位反馈系统的开环传递函数： 试求位置误差系数，速度误差系数，加速度误差系数。解答：（1）此系统时一个0型系统，且 。故查表可得 (2)根据误差系数的定义式可得 （3）根据误差系数的定义式可得 补充题： 1. 某单位反馈系统的开环传递函数为试求：（1）使系统稳定的值范围；（2）要求闭环系统全部特征根都位于1直线之左，确定的取值范围。解答： （1）特征方程，即要使系统稳定，根据赫尔维茨判据，应有（2）令 代入系统特征方程，得要使闭环系统全部特征根都位于平面1直线之左，即位于z平面左平面，应有 即 2.系统结构图如图312所示。试判别系统闭环稳定性，并确定系统的稳态误差。图312解答： 即系统特征多项式为0劳斯表为 由于表中第一列元素全为正，所以系统闭环稳定，又因为有两个积分环节，为2型系统，输入，2型系统可无静差踪，所以。对扰动输入，稳态误差取决于扰动点以前的传递函数，由于本系统中，有一个积分环节，且为阶跃输入，故可无静差跟踪，所以0。3. 设系统如图314所示，要求：当时，确定系统的阻尼比，无阻尼自然振荡频率和作用下系统的稳态误差；当时，确定参数值及作用下系统的稳态误差；在保证和的条件下，确定参数及前向通道增益 图3-14解答： （1）当时， 或由开环传递函数 （1） 因为 所以 此时， 当时，（2） 设前向通路增益为K，则 4. 已知单位反馈系统的开环传递函数。试分析：（1）系统是否满足超调量的要求？（2）若不满足要求，可采用速度反馈进行改进，画出改进后的系统的结构图，并确定速度反馈的参数。（3）求出改进后系统在输入信号r(t)=2t作用下的稳态误差。（华中理工大学2000年考题）解答： （1）由开环传递函数可得系统的闭环传递函数为 由上式可得，即 31.6，0.3此时，不满足超调量的要求。（2）采用速对反馈进行改进后的系统的结构图如图328所示。图328此时系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为由上式可得。当5时，0.69,所以 （3）系统改进后，由其开环传递函数可知，此系统为I型系统。系统的开环增益为当输入信号为r(t)=2t时，由静态误差系数法可得5.系统动态结构图如图329所示。试确定阻尼比0.6时的Kf值，并求出此时系统阶跃响应的调节时间ts和超调量。（北京航空航天大学2000年考题）图329解答： 由图329可得系统的闭环传递函数为显然，。又由0.6可得 系统超调量为9.5系统的调节时间为第四章1.已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为：（1） 绘制系统的根轨迹图；（2） 求系统临界稳定时的K值与系统的闭环极点。（上海交通大学2002年考题）解答：（1）绘制系统的根轨迹。系统有3个开环极点没有开环零点；根轨迹有3条分支。这三条根轨迹分支分别起始与开环极点终止于无穷远处；实轴上的根轨迹为 渐近线如下 分离点如下解之得 （舍去）与虚轴的交点：将代入系统闭环特征方程，令其实部，虚部都为零，可得 解之得 根据以上分析，绘制系统的根轨迹图，如图45所示。 图45 根轨迹系统临界稳定即为根轨迹与虚轴的交点处，由以上分析可知临界稳定时的K值为K162临界稳定时的闭环极点 2.已知负反馈控制系统的闭环特征方程为：(1)绘制系统的根轨迹 ；(2)确定使复数闭环主导极点的阻尼系数的值（上海交通大学2000年考题）解答： （1）系统的闭环特征方程为因此系统的等效开环传递函数为系统有3个开环极点没有开环零点；根轨迹有3条分支，这三条根轨迹分支分别起始于开环极点，终止于无穷远处；实轴上的根轨迹为渐近线如下分离点如下解之得 （舍去），（舍去）与虚轴的交点：将代入系统闭环极点方程，令其实部，虚部都为零，可得解之得 根据以上分析，绘制系统的根轨迹图，如图46所示。 图46 根轨迹(1)设闭环主导极点为由根之和可得 即 由可得系统的闭环传递特征方程为 又由题目可得系统的闭环特征方程为 比较上述两个式子可得 即使复数闭环主导极点的阻尼系数 3.单位负反馈系统的开环传递函数为： 画出K>0,时，闭环系统的根轨迹，并确定使闭环系统稳定时K的取值范围。（北京航空航天大学2001年考题）解答： 由题目可知，系统的开环传递函数为 系统有2个开环极点 ，1个开环零点根轨迹有2条分支，这两条根轨迹分支分别起始与开环极点，其中一条终止与无穷远处，另一条终止与开环零点实轴上的根轨迹为 ，渐近线如下分离点如下解之得 与虚轴的交点如下：系统的闭环特征方程为由上式可得，在根轨迹与虚轴的交点处： 根据以上分析，绘制系统的根轨迹，如图414所示。由以上分析，结合系统的根轨迹图414易得：当时系统稳定。图414 根轨迹第五章5-1设系统闭环稳定，闭环传递函数为，试根据频率特性的定义证明：输入为余弦函数时，系统的稳态输出为解：由题目可得=对等式两边同时进行拉氏变换可得 由于系统闭环稳定，所以不存在正实部的极点。假设可表示为如下表达式： 由以上分析可得，系统的闭环传递函数为 将上述闭环传递函数作如下分解对上式两边同时进行拉氏反变换可得由系统稳态输出的定义可得 利用留数法确定待定系统B1和B2所以可得=5-3.设系统结构图如图5-3所示，试确定在输入信号作用下，系统的 稳态误差。解：系统的误差传递函数为其幅频特性和相频特性分别为当时，=5-5.已知系统开环传递函数试分析并绘制情况下的概略开环幅相曲线。并用奈奎斯特判断系统的闭环稳定性。（辽宁p163）解：由题目可知，系统的频率特性如下：。由于系统，所以开环幅相曲线要用虚线补画的半径为无穷大的圆弧。当时，当时，又由于，所以有图5-3当时，开环幅相曲线始终处于第三象限，如图5-3（a）所示；由图可知，系统的开环幅相曲线不包围，根据奈奎斯特判据可得：N=0，又由系统的开环传递函数可知：P=0即Z=P-2N=0，闭环系统在s右半平面无极点，时闭环系统稳定。当时，开环幅相曲线始终处于第二象限，如图5-3（b）所示。由图可得N=-1，又由系统的开环传递函数可知：P=0，即Z=P-2N=2，闭环系统在s右半平面有2个极点， 时闭环系统不稳定。5-9、已知系统开环传递函数试绘制系统概略开环幅相曲线。并用奈奎斯特判断系统的闭环稳定性。（辽宁p166）图5-9解：系统的开环频率如下当时，；当时，曲线处于第三象限；当时，曲线处于第一象限；当时，。又由于，需要在幅相曲线上用虚线补画半径无穷大，的圆弧。系统概略开环幅相曲线如图5-9所示。由系统的开环传递函数可知P=0；由系统的开环幅相曲线图5-9可知N=-1。根据以上分析，由奈奎斯特判据可得Z=P-2N=2即闭环系统在s右半平面存在2个极点，闭环系统不稳定。5-16已知系统开环传递函数； K,T>0试根据奈氏判据，确定其闭环稳定条件：（1） T=2时，K值的范围；(2)K=10时，T值的范围；(3)K,T值的范围。解：由系统的开环传递函数可知，系统的开环幅相曲线如图所示。由于P=0,故要想闭环稳定，必有N=0，即幅相曲线不包围点（-1，j0）.系统的频率特性表达式如下 （1） T=2时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有 由上式可得，则交点的实轴坐标为 由上式可得0<K<3/2.(2) K=10时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有 由上可得，则交点的实轴坐标为 由上式可得0 < T < 1/9(3)对于开环幅相曲线与实轴的交点有 由上式可得，则交点的实轴坐标为 由上式可得。补充题：1三个最小相角传递函数的渐近对数幅频特性曲线如图所示。试分别写出对应的传递函数。（华中p152）图1解：图1（a）图依典型环节的渐近对数特性的概念，可将图分解，传递函数G(s)由比例环节、两个惯性环节串联组成。因为，所以K=100，故：由图1 (b)可知：传递函数：求K。由于在一阶微分环节的渐近对数幅频特性的高频段，在惯性环节的渐近对数幅频特性的低频段，所以：得：，故：由图1（C）可知，传递函数：求K。由于在两个惯性环节的渐近对数幅频特性的低频段，所以：得：，故传递函数：。2、已知最小相位系统开环渐近对数幅频特性如图所示。试计算该系统在作用下的稳态误差和相角裕度。（华中p184）解：由图6-10可知，开环传递函数为，低频段：由题可知：，即。在作用下，稳态误差为：。由图6-10可知剪切频率，相角裕度为。3、系统开环奈奎斯特曲线如图6-5所示，设开环增益K=50，且在s平面右半部无开环极点，试确定闭环系统的稳定K值范围。（3p69上海交通大学1996年研究生）解：这是一个条件稳定系统，设奈奎斯特曲线与负实轴的交点为A、B、C三点。当增益K增加时，这三个点沿负实轴向左移动；当增益K减小时，这三个点沿负实轴向右移动。如图所示的状态，闭环系统稳定的，因为P=0，N=N+N =11=0，Z=P2N=0。当增益K增至二倍，即K=100时，A点位于实轴（1，j0）点上，此时处于稳定边界，当K>100时，奈奎斯特曲线包围（1，j0）点（N+=1，N=2，N=1，Z=02（1）=2），系统不稳定。当K减小二倍，即K=25时，奈奎斯特曲线B点交于（1，j0）点，系统处于不稳定边界；当K<25时，系统不稳定。当K减小五倍，即K=10时，C点位于（1，j0）点。当当K<10时，系统稳定，因此100>K>25，K<10时，闭环系统稳定。第六章6-3、已知一单位反馈控制系统，其固定不变部分传递函数和串联校正装置分别如图6-3（a）(b)所示。要求：（1）写出校正后各系统的开环传递函数；（2）分析各对系统的作用。（华中P193）图6-3解（1）求校正后各系统的开环传递函数。（a）未校正系统的开环传递函数： ，串联校正装置的传递函数：。故串联校正后系统的开环传递函数为：。（b）未校正系统的开环传递函数：。串联校正装置的传递函数：故串联校正后系统的开环传递函数为（1） 分析各对系统的作用，并比较其优缺点。对于图6-4图（a）：在未校正系统的渐近开环对数幅频特性曲线上，可查得：未校正系统的剪切频率为。未校正系统的相角裕度：在如图（a）上绘制校正后的渐近对数幅频特性曲线。由图可查得校正后的剪切频率为：。由此，可求得校正后系统的相角裕度：对于图6-4图b：分别绘制未校正系统和校正后系统的渐近对数幅频特性曲线、，如图（b）所示。由图（a）所示，已知：未校正系统的剪切频率为，相角裕度为。由图(b)可查得：校正后系统的剪切频率为，故校正后系统的相角裕度：。比较：方案（a）是采用滞后串联校正；方案（b）是采用超前串联校正；方案（a）降低了剪切频率：原系统为，校正后为；提高了相角裕度：原系统为，校正后为550，由于校正后频带窄，适用于抑制噪声要求高的场合。方案（b），提高了剪切频率：原系统为，校正后为；提高了相角裕度：原系统为，校正后为；校正后加宽了中频段。图（a）图（b）图6-3补充题：1.某I型二阶系统结构图如图1所示。（1）计算系统的速度稳态误差ess和相角裕度。（2）采用串联校正方法，使校正后系统仍为I型二阶系统，速度稳态误差减小为校正前的0.1，相角裕度保持不变，确定校正装置传递函数。（1、p207西北工业大学2000年）图1解：（1）系统为I型，系统的速度误差为：。绘制系统的开环对数幅频特性曲线如图中所示。由图2中有：。（2）依题意，校正后系统仍为I型二阶系统，可设校正后系统开环传递函数为：，校正后，故有：，K=10由相角裕度：得：即，T=0.1.绘制校正后系统的对数幅频特性曲线，如图2中所示。校正后系统的开环传递函数为：；校正装置的传递函数为：验算：校正后，满足要求。图22、如图3所示系统中，当K=10，T=0.1时，截止频率。若要求不变，问如何选择K，T值才能使系统相位裕量提高？（2、P119）图3解：当K=10，T=0.1时，系统截止频率，可知，因而，若要重新选择K，T值，则使提高。设，当时，由可得，即T1=0.6。另外，在增大的同时，要保持的幅值不变，才能不改变系统截止频率，因此，从而解出K1=3.54。第8章：8-5 非线性系统的结构图如图8-71所示，系统开始时是静止的，输入信号，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，作出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。解：（1）设开始时系统处于静止状态，即 描述系统的方程组：， 其中 由比较点可得 ，因为，故有， 初始条件为 整理上述关系式，得 开关线为。 （2）相平面分析。当时，描述系统的微分方程为 积分得 由初始条件和决定，可得到=4 。由此可见，区域内的相轨迹是一圆心在（2,0）处的圆。 当时，描述系统的微分方程为 积分得 由区域内的相轨迹与开关线的交点（2,2）决定，可得 。由此可见，区域内的相轨迹为水平直线。 当时，描述系统的微分方程为 积分得 由区域内的相轨迹与开关线的交点（-2,-2）决定，可得 。由此可见，区域内的相轨迹为一圆心在（-2,0）处的圆。 当时，描述系统的微分方程为 积分得 由区域内的相轨迹与开关线的交点（-2,2）决定，可得 。由此可见，区域内的相轨迹为水平直线。8-17 已知非线性系统的结构图如图8-80所示，图中非线性环节的描述函数（A>0），试用描述函数法确定：(1)使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的K值范围；(2)判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。解：（1）非线性环节的描述函数为 ，A>0 其负倒描述函数为 为单调减函数 穿越频率为实数部分曲线与负实轴的交点为 当时，实数部分曲线不包围曲线，系统稳定。当时，实数部分曲线和曲线存在交点，曲线由不稳定区域进入稳定区域，系统存在稳定的自振。当时，实数部分曲线完全包围曲线，系统不稳定。（2） 当系统产生稳定的周期运动时，确定自振参数。由描述函数分析法，可得 即 得 系统振幅为 由（1）分析可得，系统的振荡频率为 。