三角函数三角恒等变换知识点总结4.docx

精品名师归纳总结高中数学苏教版必修4三角函数 三角恒等变换学问点总结一、角的概念和弧度制：（ 1）在直角坐标系内争论角：角的顶点在原点,始边在x轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象限的角。如角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）与角终边相同的角的集合：|3600 k, kZ 或|2k,kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与角终边在同一条直线上的角的集合：。与角终边关于 x 轴对称的角的集合：。与角终边关于y 轴对称的角的集合：。与角终边关于yx 轴对称的角的集合：。一些特别角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：。终边在一、三象限的平分线上角的集合：。终边在二、四象限的平分线上角的集合：。终边在四个象限的平分线上角的集合：。（ 3）区间角的表示：象限角：第一象限角：。第三象限角：。 第一、三象限角：。写出图中所表示的区间角：yyOxOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）正确懂得角：要正确懂得“0o 90 o 间的角” =。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“第一象限的角”=。“锐角” =。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“小于90 o 的角” =。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）由的终边所在的象限,通过来判定 2 所在的象限。来判定 3 所在的象限（ 6）弧度制：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零。任一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知角的弧度数的肯定值 |l ,其中 l 为以角作为圆心角时所对圆弧的长,r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 为圆的半径。留意钟表指针所转过的角是负角。（ 7）弧长公式：。半径公式：。 扇形面积公式：。二、任意角的三角函数：（ 1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异于原点的点Px, y ,点 P 到原点的距离记为r ,就 sin。 cos。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan。 cot。 sec。 csc。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：角的终边上一点a,3a ,就cos2 sin。留意 r>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线。yyyyaaxaxxaOOOO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比较 x0, , sin x ,2tan x , x 的大小关系：。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）特别角的三角函数值：0364322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin costancot三、同角三角函数的关系与诱导公式：（ 1）同角三角函数的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平方关系222121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin+ cos=1 , 1+tan= cos2, 1+cot= sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倒数关系tan·cot=1商数关系sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos=tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作用：已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。（ 2）诱导公式：2k：,。：,。：,。：,。2：,。：,。2：,。2：,。：,。3232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结诱导公式可用概括为：2K±,-,23±,±,2±的三角函数奇变偶不变,符号看象限的三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作用：“去负脱周化锐”,是对三角函数式进行角变换的基本思路即oooo利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数去负。利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间0 ,360 或0 ,180 内的三角函数脱周。利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数化锐.（ 3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。留意：用平方关系,有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以争论。求任意角的三角函数值。步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任意负角的三角函数公式三、 一任意正角的三角函数求值公式一0o360o 角的三角函数0o90 o 角的三角函数公式二、四、五、六、七、八、九可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知三角函数值求角：留意：所得的解不是唯独的,而是有很多多个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步骤： 确定角所在的象限。如函数值为正,先求出对应的锐角1 。如函数值为负,先求出与其肯定值对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应的锐角1 。依据角所在的象限,得出0 2间的角假如适合已知条件的角在其次限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就它是1 。假如在第三或第四象限,就它是1 或 21 。假如要求适合条件的全部角,再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的全部角的集合。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 tanmcot 152, 就 s i n, cos。 。3sin。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（ 3 ,4 ,5）。（ 6,8 ,10）。（ 5 ,12,13）。（ 8 , 15, 17）。四、三角函数图像和性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 周期函数定义定义对于函数f x ,假如存在一个不为零的常数T ,使得当 x取定义域内的每一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值时,f xT f x 都成立, 那么就把函数f x 叫做 周期函数 ,不为零的常数 T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结叫做这个函数的 周期 请你判定以下函数的周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysin xycos xy| cos x |ycos | x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y| s i nx |y=tan xy=tan |x|y=|tan x|ysin| x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k例 求函数 fx=3sinx5于 1 k30 的周期。并求最小的正整数k, 使他的周期不大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意懂得函数周期这个概念,要留意不是全部的周期函数都有最小正周期,如常函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x c（ c 为常数）是周期函数,其周期是异于零的实数,但没有最小正周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论：如函数f xkf xk 对于 任意的 xR ,那么函数 fx的周期 T=2k;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数f xkf kx) 对于任意的 xR ,那么函数fx的对称轴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 图像 xkkxk2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、图像的平移对函数 y Asin x k A0,0, 0,k0, 其图象的基本变换有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的 A 1, 伸长。 A1, 缩短(2) 周期变换 横向伸缩变换 ：是由 的变化引起的 1,缩短。 1, 伸长(3) 相位变换 横向平移变换 ：是由 的变化引起的 0, 左移。 0,右移(4) 上下平移 纵向平移变换 :是由 k 的变化引起的 k 0,上移。 k 0, 下移四、三角函数公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两角和与差的三角函数关系sin=sin·coscos·sin倍角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos=cos·cossin·sintan 2sin2=2sin·coscos2=cos2=2cos2-sin2-1=1-2sin 22 tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan积化和差公式tan1tan1tantan半角公式sin1tan 21cos, cos1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin·cos=sin+sin-212222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos·sin=sin+-sin-1cos1cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2tan=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos·cos=sin·sin= -1cos+cos-21cos+-cos-2升幂公式1cos2sin1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和差化积公式sin+sin=22 sincos221+cos= 2 cos21-cos= 2 sin1±sin= sin222cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin- sin= 2 cossin22221=sin2+ cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos+cos= 2 cos2cos2sin= 2 sin降幂公式cos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos- cos= -tan+ cot=2sin21sin22sin21cos 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sintan- cot= -2cot2cossin 22cos1cos 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1+cos= 2 cos22sin2+ cos2=11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1-cos= 2 sin 22sin·cos=sin 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三倍角公式：sins3in2 3 scinos 24 sin 3。 cos 34 cos33 cos。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换才能,要学会创设条件,敏捷运用三角公式,把握运算,化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（ 1）角的变换：在三角化简,求值,证明中,表达式中往往显现较多的相异角,可依据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2是的二倍。 4是 2的二倍。是的二倍。2是的二倍。 3是243的二2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倍。是的二倍。3622是的二倍。430o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 15o45o30o60o45 o。问： sin。 cos。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结。421212 。24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 4 。等等4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）函数名称变换：三角变形中,经常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。（ 3）常数代换：在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“ 1”的代换变形有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin 2cos 2sec2tan 2tancotsin 90otan 45o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）幂的变换：降幂是三角变换经常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采纳降幂处理的方法。常用降幂公式有：。降幂并非肯定,有时需要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结升 幂 , 如 对 无 理 式1cos常 用 升 幂 化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有：。（ 5）公式变形：三角公式是变换的依据,应娴熟把握三角公式的顺用,逆用及变形应用。1t a n1tan如：_ _ _ _ _ _ _ _ _。 。1t an1tantantan 。 1tantan _。tantan 。 1tantan _。2 tan。 1tan 2。tan20sinotancos40o3 tan 20o tan 40o=。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结asinb cos=。（其中 t an。）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1cos。 1co s。（ 6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手。基本规章是：切割化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,和积互化,特别值与特别角的三角函数互化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： sin 50 o 123 tan10o 4。 tancot。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c o s9c o s9c o s。9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos72cos7cos 374cos7cos 576cos7。推广：。推广：可编辑资料 - - - 欢迎下载