的圆锥曲线轨迹方程求法.pdf
1 圆锥曲线轨迹方程的解法目录一题多解 . 3 一直接法 . 5 二. 相关点法 . 9 三. 几何法 . 14 四. 参数法 . 17 五. 交轨法 . 19 2 六. 定义法 . 21 3 一题多解设圆 C： （x1）2+y2=1，过原点 O 作圆的任意弦OQ，求所对弦的中点P的轨迹方程。一直接法设 P（x,y） ，OQ 是圆 C 的一条弦， P 是 OQ 的中点，则 CPOQ，x0, 设OC 中点为 M（0 ,21） ，则|MP|=21|OC|=21，得（ x21）2+y2=41(x0) ，即点 P的轨迹方程是（ x21）2+y2=41(0 x1) 。二定义法OPC=90 ，动点 P 在以 M（0 ,21）为圆心， OC 为直径的圆（除去原点 O）上， |OC|=1，故 P 点的轨迹方程为（ x21）2+y2=41(0 x1)三相关点法设 P（x,y）,Q(x1,y1)，其中 x10,x1=2x,y1=2y,而（x11）2+y2=1 (2x1)2+2y2=1,又 x10,4 x 0,即（x21）2+y2=41(0 x1 ）四参数法设动弦 PQ 的方程为 y=kx,代入圆的方程（ x1）2+kx2=1，即（1+k2）x22x=0,.12221kxx设点 P（x,y） ，则22211,1 ,0(112kkkxykxxx消去 k 得（x21）2+y2=41(0 x1 ）另解设 Q 点（ 1+cos ,sin ） ，其中 cos 1,P(x,y)，则,2sin,1 , 0(2cos1yx消去 得（x21）2+y2=41(0 x1 ）5 一直接法课本中主要介绍的方法。 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(yx后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x、y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。例题 1 等腰三角形的定点为)2,4(A，底边一个端点是)5,3(B，求另一个端点 C 的轨迹方程。练习一1.已知点)0,2(A、)0,3(B，动点),(yxP满足2xPBPA。求点 P 的轨迹方程。6 2. 线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？3.动点 P （x,y） 到两定点)0,3(A和)0,3(B的距离的比等于 2 （即：2PBPA） 。求动点 P 的轨迹方程？7 4.动点 P到一高为 h的等边 ABC 两顶点 A、B 的距离的平方和等于它到顶点 C 的距离平方，求点P 的轨迹？5.点 P 与一定点)0,2(F的距离和它到一定直线8x的距离的比是2:1。求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。8 7.已知)0,4(P是圆3622yx内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足APB=90 ，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程。8.过原点作直线 l 和抛物线642xxy交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。9 二. 相关点法利用动点是定曲线上的动点， 另一动点依赖于它， 那么可寻它们坐标之间的1 0关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。例题 2 已知一条长为 6 的线段两端点 A、B 分别在 X、Y 轴上滑动，点 M 在线段AB 上，且 AM : MB=1 : 2 ，求动点 M 的轨迹方程。练习二1.已知点)(00，yxP在圆122yx上运动，求点 M),2(0yx的轨迹方程。2.设 P为双曲线1422yx上一动点， O 为坐标原点， M 为线段 OP 的中点。求点 M 的轨迹方程。y Q O x N P 1 13.设)0,1(F，M 点在x轴上， P 点在 y 轴上，且MPMN2， PM PF ，当点 P 在 y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程。4.已知 ABC 的顶点)8,3(B，)6,1(C，顶点 A 在曲线xy42上运动，求ABC 重心 G 的轨迹方程。5.已知 A、B、D 三点不在同一条直线上，且)0,2(A、)0,2(B，2AD，)(21ADABAE，求 E 点的轨迹方程。1 26.ABC 的三边 AB、BC、CA 的长成等比数列，且ACAB，点 B、C 坐标分别为)0,1(、)0,1 (，求定点 A 的轨迹方程。7.已知点)0,2(A，P 是圆 O：422yx上任意一点， P 在 x 轴上的射影为 Q ，QGQP2，动点 G 的轨迹为 C，求轨迹 C 的方程。1 38.已知椭圆19422yx上任意一点 P， 由点 P向 x 轴作垂线段 PQ， 垂足为 Q ，点 M 在 PQ 上，且MQPM2，点 M 的轨迹为 C，求曲线 C 的方程。9.如图，从双曲线1:22yxC上一点Q引直线2:yxl的垂线，垂足为N ，求线段QN的中点 P 的轨迹方程。1 410.已知双曲线222yx的左、右焦点分别为1F、2F，过点2F的动直线与双曲线相交于 A、B 两点。（I）若动点 M 满足OFBFAFMF1111（其中 O 为坐标原点），求点 M 的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使CBCA为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由。三. 几何法求动点轨迹问题时， 动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系， 且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方程的方法称为几何法。例题 3 1 5已知定点)0,2(A，点 P 在曲线)1(122xyx上运动， AOP 的平分线交于 Q 点，其中 O 为原点，求点 Q 的轨迹方程。练习三1.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面 BC1内一动点，若 P 到直线 BC 与直线 C1D1的距离相等，求动点 P的轨迹所在的曲线。2.已知点 C 的坐标是)2,2(，过点 C 的直线 CA 与 X 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 Y 轴交于点 B。设点 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程。3.已知经过点)0,4(P的直线1l，经过)2,1(Q的直线为2l，若1l2l，求1l1 6与2l交点 S 的轨迹方程。4.求圆心在抛物线xy22（0y）上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程。5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F，直线1xy与其相交于M、N 两点， MN 中点的横坐标为32，求此双曲线方程。6.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于4，求点 P 的轨迹方程。1 7四. 参数法有时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。 如果借助中间量 （参数） ，使),(yx之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。例题 4 过不在坐标轴上的定点),(baM的动直线交两坐标轴于点A、B，过 A、B 坐标轴的垂线交于点P，求交点 P的轨迹方程。练习四1.过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线1l、2l，若1l交 x 轴于 A 点，2l交y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。1 82.一个动圆的解析式为04624222bbybxyx，求圆心的轨迹方程。3.过圆 O：422yx外一点 A（4，0） ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M 的轨迹。1 94.点)1,1(A，B、C 是圆422yx上的动点，且ABAC，求 BC 中点 P的轨迹方程。五. 交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标X、Y 分别表示两条曲线方程， 然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程，这种方法称为交轨法。例 5 已知直线 l 过定点)3,0(， 且是曲线xy42的动弦 P1P2的中垂线， 求直线 l 与动弦 P1P2交点 M 的轨迹方程。2 0练习五1.求两条直线01myx与01ymx的交点的轨迹方程。2.当参数 m 随意变化时，求抛物线yxmxm22211的顶点的轨迹方程。3.设 A1、A2是椭圆14922yx的长轴两个端点， P1、P2是垂直于 A1A2的弦的端点。求直线A1P1与 A2P2交点的轨迹方程。2 14.已知双曲线2222nymx=1 (m0，n0)的顶点为 A1、A2，与 y 轴平行的直线l交双曲线于点 P、Q。求直线A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程。5.已知椭圆1162422yx，直线 l：1812yx， P是 L 上一点，射线OP 交椭圆于R，有点 Q 在 OP 上，且满足2OROPOQ，当 P在 L 上移动时， 求点 Q 的轨迹方程， 并说明轨迹是什么曲线。六. 定义法求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足某种已知曲线（圆、椭圆、双曲线、2 2抛物线）的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法。常见已知曲线：（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）抛物线：到定点与定直线距离相等。例题 6 1.设圆015222xyx的圆心为 A，直线 l 过点)0,1(B且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C、D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E。证明EBEA为定值，并写出点 E 的轨迹方程。2.已知ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为)0,4(，)0,4(，C 为动点，且满足CABsin45sinsin。求点 C 的轨迹。2 3练习六1.已知圆 M：1)1(22yx，圆 N：9)1(22yx，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C。求 C 的方程。2.动点 P到直线6x的距离与它到点（ 2，1）的距离之比为5，则点 P 的轨迹是什么？3.点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线05x的距离小 1。求点 M 的轨迹方程。4.已知ABC中，A、B、C 的对边分别为a、 b 、c，若bca,依次构成等差数列，且bca，2AB，求顶点 C 的轨迹方程。2 45.一动圆过点)0,3(F且与已知圆4)3(22yx相切， 求动圆圆心 P 的轨迹方程。6.设向量i，j 为直角坐标系的x轴、 y 轴正方向上的单位向量，若向量jyixa)3(，jyixb)3(， 且2ba， 求满足上述条件的点),(yxP的轨迹方程。2 57.已知圆422yx上有定点)0,2(A和两动点 B、C，且恒有 BAC=3，ABC 的重心的轨迹方程。
