2022年线性代数的基本运算共享 .pdf

111 第 5 章 线性代数的基本运算本章学习的主要目的：1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识 . 2 学会用 MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算. 5.1 行 列 式5.1.1 n 阶行列式定义由2n个元素),2, 1,(njiaij组成的记号D=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为 n阶行列式 .其值是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积nnp2p21p1aaa的代数和 ,各项的符号由n 级排列nppp21决定,即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 46 页 - - - - - - - - - 112 D=npppnppp21nnp2p21p1)21(aaa)1(, 其 中nppp21表 示对所有n 级排 列求和 , ),(21nppp是 排列nppp21的逆序数 . 5.1.2 行列式的性质(1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号. (3) 若行列式有两行(列)完全相同 ,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数 k 乘此行列式. (5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等于对应两个行列式之和.即nnnnninniinnnnninniinnnnnininniiiiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21212222111211212122221112112121222221111211(7) 若行列式的某一行(列 )的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 46 页 - - - - - - - - - 113 (8) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即),2, 1(,0,1jknikikiDAaDnjij, 或), 2, 1(,0,1injkjkjDAaDnikij(9) 设 A,B 是 n 阶方阵 ,则TAA,AAnkk,BAAB, (10)若 A 是 n 阶可逆矩阵 ,则0A,AA11(11) 设n21,是 n 阶方阵 A 的特征值 ,则inA1i,(12) 设*A是 n 阶方阵 A 的伴随矩阵,则2n*1nAA(13) 几种特殊行列式的计算: nnnnaaaaaa22112211000000, nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000,112n12)1(1222111211) 1(000nnnnnnaaaaaaaaa5.1.3 MatLab计算行列式的命令det(var) % 计算方阵var 的行列式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 46 页 - - - - - - - - - 114 例 1 计算行列式3833262290432231的值在 MatLab 命令窗口输入: A=1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3 det(A) 执行结果 : A = 1 -3 2 2 -3 4 0 9 2 -2 6 2 3 -3 8 3 ans = -50 例 2 计算行列式dcb100110011001a的值 ,其中 a,b,c,d 是参数 . 在 MatLab 命令窗口输入: syms a b c d A=a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,d det(A) 执行结果 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 46 页 - - - - - - - - - 115 A = a, 1, 0, 0 -1, b, 1, 0 0, -1, c, 1 0, 0, -1, d ans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1 例 3 求方程0881441221111132xxx的根 . (1) 先求行列式的值在 MatLab 命令窗口输入: syms x A=1,1,1,1;1,-2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,x3 y=det(A) 执行结果 : A = 1, 1, 1, 1 1, -2, 2, x 1, 4, 4, x2 1, -8, 8, x3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 46 页 - - - - - - - - - 116 y =-12*x3+48*x+12*x2-48 (2) 求 3 次方程的根 . 首先通过函数的图形确定根的大致范围, 在 MatLab 命令窗口输入: grid on ezplot(y) -6-4-20246-2000-10000100020003000-12 x3+48 x+12 x2-48图 1 观察图 1,可知 3 个根大致在 -2,0,4 附近 ,下面求精确值, 在 MatLab 命令窗口输入: yf=char(y); g1=fzero(yf,-2) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 46 页 - - - - - - - - - 117 g2=fzero(yf,0) g3=fzero(yf,4) 执行结果 : g1 = -2 g2 = 1.0000 g3 = 2.0000 可知方程的3 个根分别为 -2,1,2. 5.1.4 用 MatLab实现克拉默法则(1)克拉默法则非齐次线性方程组方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111当其系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD时,此方程组有唯一解, 且可表示为DDxDDxDDxnn,2211其中),2, 1(njDJ是把系数行列式D中第j 列的元素用方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 46 页 - - - - - - - - - 118 右 端 的 常 数 项 代 替 后 所 得 到 的n阶 行 列 式 , 即nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111, 111对于齐次线性方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa当其系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD时,此方程组有唯一零解;当 D=0 时,方程组有非零解. (2) 编写函数klm.m 实现用克拉默法则求解非齐次线性方程组. function x=klm(a,b) %参数 a 代表方程组的系数矩阵,列矩阵 b 代表方程组的常数列, %返回方程组的解m,n=size(a); if (m=n) disp( 克拉默法则不适用此方程组的求解!) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 46 页 - - - - - - - - - 119 else d=det(a); if (d=0) disp( 该方程组没有唯一解!) else disp( 该方程组有唯一解!) for i=1:m e=a; e(:,i)=b; f=det(e); x(i)=f/d; end end end例 4 用克拉默法则解下列方程组: 12341234123412345242235232110 xxxxxxxxxxxxxxxx操作步骤 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 46 页 - - - - - - - - - 120 在 MatLab 命令窗口输入: D=1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11; A=5;-2;-2;0; klm(D,A) 执行结果 : 该方程组有唯一解! ans = 1 2 3 -1 方程组的解为1,3,2, 1x4321xxx例 5 问 a 取何值时 ,齐次方程组0)4(20)6(2022)5(3121321xaxxaxxxxa有非零解 ?根据齐次方程组有非零解,系数行列式为零,用 MatLab操作步骤如下 : 在 MatLab 命令窗口输入: syms x A=5-x,2,2;2,6-x,0;2,0,4-x; yy=det(A) ezplot(yy,0,10) 图 2 0246810-50050名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 46 页 - - - - - - - - - 121 grid on 执行结果 : 行列式的值为: yy = 80-66*x+15*x2-x3 作函数 yy 的图形 ,如图 2 观察图 2,可知根大致在2,5,8 附近 ,再输入命令 : yf=char(yy); x1=fzero(yf,2) x2=fzero(yf,5) x3=fzero(yf,8) 执行结果 : x1 = 2 x2 = 5 x3 = 8 即 a 取 2，5，或 8 时,齐次方程组有非零解。5.2 矩阵及其运算5.2.1 矩阵的定义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 46 页 - - - - - - - - - 122 由nm个数),2,1;,2,1(aijnjmi排成的 m 行 n 列的数表mnmmnnaaaaaaaaa112222111211称为 m 行 n 列矩阵 ,简称nm矩阵 .记作mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112115.2.2 矩阵的运算设有两个nm矩阵)a(ijA和)b(ijB,则(1)加法nmjiij)ba(BAMatLab 对应求矩阵加法的操作符为” +”(2)数乘nm)ka(kijAMatLab 对应求矩阵数乘的操作符为” * ”(3) 矩阵与矩阵相乘设矩阵)a(ijA是sm矩阵 , )b(ijB是ns矩阵 ,则矩阵A 与矩阵 B 的乘积是一个nm矩阵)c(ijC,其中),2, 1;,2, 1(,bacs1kkjikijnjmi把此乘积记作C=AB 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 46 页 - - - - - - - - - 123 MatLab 对应求矩阵乘积的操作符为” * ”(4)矩阵的转置设矩阵)a(ijA是nm矩阵 ,把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个mn矩阵 ,叫 A 的转置矩阵 ,记作TA. 在 MatLab 对应求矩阵转置的操作符为“ “(5)方阵的行列式设矩阵)a(ijA是nn矩阵 ,由 A 的元素构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A 的行列式 ,记作A或 detA. MatLab 对应求方阵行列式的命令为: det(var) %var 代表待求行列式的方阵(6)方阵的逆矩阵设 矩 阵)a(ijA是nn矩 阵 , 若 有 一 个n 阶 矩 阵B, 使AB=BA=E, 则说矩阵A 可逆 ,矩阵B 称为 A 的逆矩阵 .记为1AB逆矩阵的判别定理: 若0A,则矩阵A 可逆 ,且*11AAA,其中*A是矩阵A 的伴随矩阵，由行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 46 页 - - - - - - - - - 124 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*. MatLab 对应求方阵逆的命令为: inv(var) %var 代表待求逆矩阵的方阵下面按公式*11AAA,用 MatLab 编写程序求矩阵的逆: function y=aij(A,i,j) %求方阵A 元素 aij的代数余子式Aij,C=A; C(i,:)=; C(:,j)=; y=(-1)(i+j)*det(C); function y=axing(A) %求方阵 A 伴随矩阵*Am n=size(A); for i=1:n for j=1:n y(i,j)=aij(A,j,i); end 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 46 页 - - - - - - - - - 125 end 则方阵 A 的逆等于axing(A)/det(A) 例 6 设111111111A,150421321B,问 3AB-2ATB 是否可逆 ?若该矩阵可逆求它的逆. 在 MatLab 创建 m 文件 knf.m 完成该问题的操作: A=1,1,1;1,1,-1;1,-1,1; B=1,2,3;-1,-2,4;0,5,1; C=3*A*B-2*A*B; dc=det(C); if dc=0 disp( 此矩阵不可逆!) else disp( 此矩阵可逆 !其逆矩阵为:) inv(C) end 在 MatLab 命令窗口输入knf 执行结果 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 46 页 - - - - - - - - - 126 此矩阵可逆 !其逆矩阵为 : ans = -0.3857 0.5143 0.5000 0.0857 -0.1143 0 0.0714 0.0714 0 5.3 矩阵的初等变换5.3.1 下面三种变换称为矩阵A 的初等行 (列)变换 : (1) 对调 i,j 两行 (列); (2) 以数0k乘矩阵 A 的第 i 行(列)中所有元素 ; (3) 把第 i 行(列)所有元素的k 倍加到第j 行(列)的元素上去; 用 MatLab 实现以上初等行变换: (1) A(i,j,:)=A(j,i,:) (2) A(i,:)=k*A(i,:) (3) A(j,:)=k*A(i,:)+ A(j,:) 5.3.2 用矩阵初等变换化矩阵为行最简形. 行最简形的特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 46 页 - - - - - - - - - 127 每个台阶只有一行,台阶数即为非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0. MatLab 对应化矩阵为行最简形的命令为: rref (var) %var 代表待化为行最简形的矩阵例 7 把矩阵341122121221A化为行最简形矩阵。在 MatLab 命令窗口输入: A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; format rat 以分数的形式显示结果rref(A) 执行结果 : ans = 1 0 -2 -5/3 0 1 2 4/3 0 0 0 0 5.3.3 初等变换的应用(1 ) 求矩阵 A 的逆矩阵 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 46 页 - - - - - - - - - 128 把分块矩阵 (A,E) 经过初等行变换化成(E,B), 矩阵 B 就是所求矩阵 A 的逆矩阵 . 例 8 用初等变换求矩阵3833262290432231的逆矩阵 . 在 MatLab 创建 ni.m 函数文件，完成用初等变换求矩阵的逆。function y=ni(a) da=det(a); if da=0 disp( 此矩阵不可逆!) else disp( 此矩阵可逆 !其逆矩阵为:) m n=size(a); e=eye(n); d=rref(a e); y=d(:,(n+1):2*n); end 在 MatLab 命令窗口输入: A=1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3; ni(A) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 46 页 - - - - - - - - - 129 执行结果 : 此矩阵可逆 !其逆矩阵为 : ans = -0.5200 -0.0400 -4.0400 3.1600 -0.4800 0.0400 -0.9600 0.8400 0 0 1.5000 -1.0000 0.0400 0.0800 -0.9200 0.6800 (2 ) 求矩阵的秩 : 在nm矩阵 A 中，任取k 行 k 列，位于这些行列交叉处的2k个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k阶行列式称为矩阵A 的 k 阶子式。设在矩阵A 中有一个不等于0 的 r 阶子式 D，且所有的r1 阶子式全等于0， 那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵的秩，记作R(A). 有关矩阵A 的秩的性质：（a）矩阵 A 有一个 r 阶子式不为零，则r）（AR；矩阵 A 所有 r 阶子式都等于零，则r）（AR。（b）nminm ,(0nm）AR（c）)()(ARART名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 46 页 - - - - - - - - - 130 （d）若BA,则)()(BRAR（e）若 P,Q 可逆，则)()(ARPAQR（f）)()(),()(),(maxBRARBARBRAR（g）)()()(BRARBAR（h）)(),(min)(BRARABR（i）若0lnnmBA，则nBRAR)()(求矩阵 A 秩的方法：方法 1：把矩阵A 经过初等行变换化成行阶梯形,非零的行数就是矩阵的秩. 方法 2：MatLab 对应求矩阵秩的命令为: rank （var） var 为待求秩的矩阵变量。例 9 设41461351021632305023A,求矩阵 A 的秩， 并求 A 的一个最高阶非零子式。在 MatLab 命令窗口输入: A=3,2,0,5,0;3,-2,3,6,-1;2,0,1,5,-3;1,6,-4,-1,4; rank(A) rref(A) 执行结果 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 46 页 - - - - - - - - - 131 ans = 3 ans = 1 0 1/2 0 7/2 0 1 -3/4 0 -1/4 0 0 0 1 -2 观察 A 的最简形，有3 行非零，也可知矩阵A 的秩为 3，且最高阶子式可选第1,2,3 行第 1,2,4 列构成的子式。 命令为：zishi=A(1:3,1 2 4) zishi = 3 2 5 3 -2 6 2 0 5 det(zishi) ans = -16 %验证该子式不为零(3 ) 求线性方程组bAX的解定理 1：n 元非齐次线性方程组AX b 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 46 页 - - - - - - - - - 132 （i）无解的充分必要条件是),()(bARAR；（ii ）有唯一解的充分必要条件是nbARAR),()(；（iii ）有无限多解的充分必要条件是nbARAR),()(；定理 2：n 元齐次线性方程组AX 0 （i）有唯一解的充分必要条件是nAR)(；（ii ）有无限多解的充分必要条件是nAR)(；求解线性方程组的步骤是：（i）对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵),(bAB化成行阶梯形，从B 的行阶梯形可同时看出R(A) 和 R(B) ，若)()(BRAR,则方程组无解。（ii ）若)()(BRAR，则说明方程组有解，进一步把B 化成行最简形， 而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A 化成行最简形。（iii ）设r)()(BRAR，把行最简形中r 个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余nr 个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于rnccc,21，由 B的行最简形，即可写出含nr 个参数的通解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 46 页 - - - - - - - - - 133 MatLab 对应求解方程组的方法为：（i）当系数矩阵A 为方阵 ,且方程组有唯一解时，AX b 对应的解为b1AX，对应的 MatLab 命令为：X=inv(A)*b 或 X=Ab 或 Y =rref(A,b),X=Y(:,n+1) （ii）对于方程bXnmA，在 MatLab 创建函数jfch.m 完成上面求解步骤。function y=jfch(a,b) m n=size(a); c=a b; d=rref(c); ra=rank(a); rc=rank(c); if (ra=rc) if (ra=n) y=d(:,n+1); else d(m+1,:)=1:n+1; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 46 页 - - - - - - - - - 134 for i=1,ra if (d(i,i)=0) j=i+1; while(d(i,j)=0) j=j+1; end d(:,i,j)=d(:,j, i); end end x=-d(1:ra,ra+1:n),d(1:ra,n+1); x=x;eye(n-ra,n-ra+1); y=x; for i=1:n y(d(m+1,i),:)=x(i,:); end disp(the special solution is :) ss=y(:,n-ra+1) disp(the basic solution is :) bs=y(:,1:n-ra) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 46 页 - - - - - - - - - 135 end else disp(there is no solution) end 例 10 分别用三种方法:逆，除法，初等变换（增广矩阵）求齐次和非齐次线性方程组的解。020202432132321xxxxxxxx(1) 0422123432143214324321xxxxxxxxxxxxxxx(2) (1) 对于方程组(1),先判别系数行列式的值,输入命令 : A=1,-4,2;0,2,-1;-1,2,-1; det(A) 执行结果 : ans = 0 说明方程组的系数矩阵不可逆,该方程组有无穷多解,调用函数 jfch 求解 ,输入命令 : B=zeros(3,1); jfch(A,B) 执行结果 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 46 页 - - - - - - - - - 136 ra = 2 the special solution is : ss = 0 0 0 the basic solution is : bs = 0 0.5000 1.0000 ans = 0 0 0.5000 0 1.0000 0 从 结 果 可 知 系 数 矩 阵 的 秩 为2, 方 程 组 的 通 解 为)( ,15. 00321为任意常数ccxxx(2) 对于方程组 (2),先判别系数行列式的值,输入命令 : A=1,1,3,-1;0,1,-1,1;1,1,2,2,;1,-1,1,-1; det(A) 执行结果 : ans = 10 说明方程组的系数矩阵可逆,则输入命令 : B=-2;1;4;0; 方法 1: X=inv(A)*B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 46 页 - - - - - - - - - 137 执行结果 : X = 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 方法 2: X=AB 执行结果 : X = 1 -1 0 2 方法 3: Y=rref(A ,B); X=Y(:,5) 执行结果 : X = 1 -1 0 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 46 页 - - - - - - - - - 138 例 11 求下列非齐次方程组的通解。2132130432143214321xxxxxxxxxxxx(3) . 0674, 522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx（4）8311102322421321321xxxxxxxx(5) (1) 对于方程组 (3),输入命令 : A=1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3; B=0;1;-1/2 ; jfch(A,B) 执行结果 : ra = 2 the special solution is : ss = 0.5000 0.5000 0 0 the basic solution is : bs = 0 -1 1 0 1 2 0 1 ans = 0 1.0000 0.5000 -1.0000 2.0000 0.5000 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 46 页 - - - - - - - - - 139 1.0000 0 0 0 1.0000 0 从结果可知系数矩阵的秩为2,方程组有无穷多解,通解为 : ),(,005 .05 .01021011021214321为任意常数ccccxxxx(2) 对于方程组(4),输入命令 : A=2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6; B=8;9;-5;0; jfch(A,B) 执行结果 : ans = 3 -4 -1 1 从结果知方程组有唯一解: 11434321xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 46 页 - - - - - - - - - 140 (3)对于方程组 (5),输入命令 : A=4,2,-1;3,-1,2;11,3,0; B=2;10;8; jfch(A,B) 执行结果 : there is no solution 说明该方程组无解. 5.4 向量组的线性相关性5.4.1 定义给 定 向 量 组maaaA,:21, 如 果 存 在 不 全 为 零 的 数mk,k ,k21,使0akakakm2211m, 则称向量组A 是线性相关的,否则称它是线性无关. 设有向量组A,如果在 A 中能选出r 个向量r21,aaa,满足(i) 向量组r210,:aaaA线性无关 ; (ii) 向量组 A 中任意 r+1 个向量 (如果 A 中有 r+1 个向量的话)都线性相关 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 46 页 - - - - - - - - - 141 那么称向量组A0是向量组A 的一个最大线性无关向量组,最大无关组所含向量的个数r 称为向量组A 的秩 ,记作 RA.5.4.2 判别定理向量组maaaA,:21线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵),(21maaaA的秩小于向量个数m,向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m. 5.4.3 求向量组的最大线性无关向量组的方法把向量做成列构成矩阵,对该矩阵实施初等行变换变为行最简形 ,从而获得最大无关组,可以把不属于最大无关组的列向量用最大无关组表示. 例 12 判别下列向量组是线性相关还是线性无关? 141,012,131在 MatLab 命令窗口输入: A=-1,2,1;3,1,4;1,0,1; rank(A) 执行结果 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 31 页，共 46 页 - - - - - - - - - 142 ans = 2 结果说明矩阵A 的秩比 3 小,所以向量组线性相关. 例 13 设矩阵97963422644121121112A,求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组,并把不属于最大无关组的列向量组用最大无关组线性表示. 在 MatLab 命令窗口输入: A=2,-1,-1,1,2;1,1,-2,1,4;4,-6,2,-2,4;3,6,-9,7,9; rref(A) 执行结果 : ans = 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 0 结果说明向量组的秩为3,列向量组的最大无关组含3 个向量 ,取矩阵 A 的第 1,2,4 列作为列向量组的一个最大无关组,其余向量用最大无关组线性表示为: 213aaa, 3215334aaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 32 页，共 46 页 - - - - - - - - - 143 5.5 相似矩阵及二次型5.5.1 方阵的特征值与特征向量(1)定义设 A 是 n 阶矩阵 ,如果数和 n 维非零列向量x 使关系式xxA成立 ,那么 ,这样的数称为方阵 A 的特征值 ,非零向量 x 称为 A 的对应于特征值的特征向量 . (2) 特征值的性质设 n 阶矩阵)a(ijA的特征值为n21, (i)nn2211n21aaa; (ii)An21(iii)2i是2A的特征值(iv) 当 A 可逆时 , i1是 A-1的特征值 . (v) 相似矩阵就有相同的特征值. (3)定理 1 : 对应不同特征值的特征向量线性无关. 定理 2 : n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充要条件是A 有 n个线性无关的特征向量. 定 理3: 设A是n 阶 对 称 阵 , 则 必 有 正 交 阵P,使APPAPPT1,其中是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵. (4) MatLab 求矩阵特征值与特征向量的命令: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 33 页，共 46 页 - - - - - - - - - 144 d= eig(A) %返回由矩阵A 的特征值组成的列向量. V,D= eig(A) %返回特征值矩阵D 和特征向量矩阵V.特征值矩阵D 是以 A 的特征值为对角线的元素生成的对角阵,矩阵 A 的第 k 个特征值的特征向量是矩阵V 的第 k 列向量 ,即满足AV=VD. 对于实对称矩阵,返回的特征向量矩阵是正交矩阵 . (5) 用 MatLab 实现矩阵对角化的判别. 根据定理2,方阵 A 可对角化的条件是对于方阵A 的每个特征值 ,其几何重数等于代数重数,首先在MatLab创建函数文件 kdjh.m, 实现矩阵可对角化的判别, function y=kdjh(A) y=1; c =size(A); %获得方阵A 的阶数if c(1)=c(2) %判断是否为方阵y=0; return end e=eig(A); %求矩阵的特征值向量n=length(A); while 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 34 页，共 46 页 - - - - - - - - - 145 if isempty(e) return; end d=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); %求特征值d 的代数重数 . g=n-rank(A-d*eye(n); %求 A-dE的零空间的秩,即对应特征值的几何重数. if f=g y=0; return; end e(find(abs(e-d)0, 则称 f 为正定二次型,并称对称阵 A 是正定的 , 如果对任何0 x,都有 f(x)0)=size(a) %判别特征值是否全为正y=1; else y=-1; for i=1:size(a) b=a(1:i,1:i); if (-1)i*det(b)=0%判别矩阵的奇数阶主子式是否为负 ,偶数阶是否为正. y=0; return end end end 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 40 页，共 46 页 - - - - - - - - - 151 例 17 判别二次型312123222144465fxxxxxxx的正定性解 f 的矩阵为A=4-0206-222