2022年线性代数知识点总结 2.pdf

线性代数知识点总结（第3 章）（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（，）=T=T2、长度定义：| |=3、正交定义：（，）=T=T=a1b1+a2b2+anbn=0 4、正交矩阵的定义： A 为 n 阶矩阵， AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=1 （二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量 可由1，2， s线性表示(1)非齐次线性方程组（ 1，2， s） （x1，x2， xs）T=有解。(2)r（1，2， s）=r（1，2， s，） （系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件： （了解即可）若1，2，s线性无关， 1，2，s，线性相关，则 可由1，2， s线性表示。7、线性表示的求法：（大题第二步）设1，2， s线性无关， 可由其线性表示。（1，2， s| ）初等行变换 （行最简形 | 系数）行最简形：每行第一个非0 的数为 1，其余元素均为 0 （三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）线性相关 =0 （2）1，2线性相关 1，2成比例9、线性相关的充要条件：向量组 1，2， s线性相关（1）有个向量可由其余向量线性表示；（2）齐次方程（ 1，2， s） （x1，x2， xs）T=0有非零解；（3）r（1，2， s）s 即秩小于个数特别地， n 个 n 维列向量 1，2， n线性相关名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - （1） r（1，2， n）n （2）| 1，2， n |=0 （3）（1，2，n）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关推论： n+1个 n 维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组 1，2， s线性无关（1）任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）齐次方程（ 1，2， s） （x1，x2， xs）T=0只有零解（3）r（1，2，s）=s 特别地， n 个 n 维向量 1，2， n线性无关r（1，2， n）=n | 1，2， n |0 矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数） ，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。（2）若 n 维列向量 1，2，3线性无关， 1，2，3可以由其线性表示，即（1，2，3）=（1，2，3）C，则 r（1，2，3）=r（C） ，从而线性无关。r（1，2，3）=3 r（C）=3 |C| 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - （四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩 :非零子式的最高阶数注:向量组 1，2，s的秩与矩阵 A=（1，2， s）的秩相等16、极大线性无关组的求法（1）1，2， s为抽象的：定义法（2）1，2， s为数字的：（1，2， s）初等行变换 阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若1，2， n与1，2， n是 n 维向量空间 V 的两组基，则基变换公式为（ 1，2， n）=（1，2， n）Cnn其中， C是从基 1，2， n到1，2， n的过渡矩阵。C=（1，2， n）-1（1，2， n）18、坐标变换公式：向量在基1， 2， ， n与基1， 2， ， n的坐标分别为 x= （x1， x2， ，xn）T，y=（y1，y2，yn）T， ，即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn，则坐标变换公式为x=Cy或 y=C-1x。其中，C是从基1，2，n到1，2，n的过渡矩阵。 C=（1，2， n）-1（1，2， n）（六） Schmidt正交化19、Schmidt 正交化设1，2，3线性无关（1）正交化令1=1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - （2）单位化名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -