2022年矩阵知识点 .pdf

学习必备欢迎下载矩阵定义由m n个数1,2,;1,2,ijaim jn排成的m行n列的数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为m 行 n 列矩阵。简称m n矩阵，记作111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa，简记为m nijijm nAAaa，,m nA这个数称为的元素 简称为元。几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n 的矩阵 A。 记作： An。行 (列)矩阵： 只有一行 (列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵： 两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵： AB同型 ,且对应元素相等。记作：AB零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵： 不在主对角线上的元素都是零。单位阵： 主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作： En(不引起混淆时，也可表示为E ) 3 正交矩阵定义 6：A是一个 n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。定理： 设 A、B都是 n 阶正交矩阵，则(1)或(2)(3) 也是正交矩阵(4)也是正交矩阵。定理： n 阶实矩阵 A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。注：n 个 n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行）向量构成的矩阵一定是正交矩阵。注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。1、上述形如13、512128363836232128、2332441mn、2313242414mn这样的矩形数表叫做矩阵 。EAATA1A1ATAA1)(1TAA即AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载2、 在矩阵中， 水平方向排列的数组成的向量12,na aa称为 行向量 ； 垂直方向排列的数组成的向量12nbbb称为 列向量 ；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn阶矩阵 ，mn阶矩阵可记做m nA，如矩阵13为2 1阶矩阵，可记做2 1A；矩阵512128363836232128为3 3阶矩阵，可记做3 3A。有时矩阵也可用A、B等字母表示。3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素 ，在一个mn阶矩阵m nA中的第i（im）行第j（jn）列数可用字母ija表示，如矩阵512128363836232128第 3 行第 2 个数为3221a。4、当一个矩阵中所有元素均为0 时，我们称这个矩阵为零矩阵 。如000000为一个2 3阶零矩阵。5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵 ，简称 方阵 ，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n阶方阵 ，如矩阵512128363836232128、2332441mn均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵 。如矩阵1001为 2 阶单位矩阵，矩阵100010001为 3 阶单位矩阵。6、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做 同阶矩阵 ；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做 相等的矩阵 ，记为AB。矩阵的运算矩阵的加法设有两个m n矩阵ijijAaBb和，那么矩阵A与B的和记作AB，规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本 P33）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载矩阵加法的运算规律1 ABBA；2ABCABC1112121222113,()nnijijm nm nmmmnaaaaaaAaAaaaa设矩阵记，A称为矩阵A的负矩阵40,AAABAB。数与矩阵相乘（矩阵的数量乘法）,AAA数 与矩阵 的乘积记作或规定为111212122211,nnmmmnaaaaaaAAAAAaaa数 与矩阵 的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律（设AB、为m n矩阵，,为数）1AA；2AAA；3ABAB。矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设(b )ijB是一个m s矩阵，(b )ijB是一个s n矩阵， 那么规定矩阵A与矩阵 B 的乘 积 是 一 个m n矩 阵(c )ijC， 其 中12121122jjiii sijiji ss jsjbba aaa ba ba bb1si kk jka b，1,2,;1,2,im jn，并把此乘积记作CAB行矩阵 a11a12与列矩阵b11b21的乘法规则为a11a12b11b21a11b11a12b21，二阶矩阵abcd与列矩阵xy的乘法规则为abcdxyaxbycxdy.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载规则： A m * s * Bi * n = cm * n 行1 * 列1 行2 * 列2 行1 * 列2 第 1 行乘以第1 列、第 1 行乘以第2 列，如此类推矩阵乘法的运算规律1AB CA BC；2ABA BAB3 A BCABAC，BC ABACA4m nn nm mm nm nAEEAA矩阵的幂乘：若 A 是 n 阶方阵，则称Ak为 A的 k 次幂，即kkAA AA个，并且mkm kA AA，kmmkAA,m k为正整数。规定： A0 E 注意矩阵不满足交换律，即ABBA，kkkABA B（但也有例外）转置矩阵把 矩 阵A的 行 换 成 同 序 数 的 列 得 到 的 新 矩 阵 ， 叫 做A的 转 置 矩 阵 ， 记 作A， 如122458A，142528TA。转置矩阵的运算性质1TTAA；2TTTABAB；3TTAA；4TTTABB A。方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式， 记作A或detA（记住这个符号 ）注意方阵：行数与列数都等于n 的矩阵 A。 记作： An。矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数按精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载一定的运算法则所确定的一个数。运算性质1TAA；2nAA；(3) ABA BB ABA单位矩阵在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1 以外全都为0。记为： In或 En，也可以标记为I 或者 E 对于单位矩阵，有AE=EA=A 对角矩阵对角矩阵 (diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0 的矩阵。对角线上的元素可以为0 或其他值。三角矩阵以主对角线划分，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵它的下三角 (不包括主对角线)的元素均为常数0。下三角矩阵与上三角矩阵相反，它的主对角线上方均为常数0，如图所示。实对称矩阵如果有 n 阶矩阵 A，其各个元素都为实数，矩阵A 的转置等于其本身(AT = A) ，则称 A 为实对称矩阵。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载如果有 n 阶矩阵 A，其各个元素都为实数，且aij=aji i,j=1,2,.,n （即这里 T 表示转置），则称A 为实对称矩阵。反对称矩阵，对称矩阵的元素A(i,j)=A(j,i). 反对称矩阵定义是：A= - AT（A 的转置前加负号）它的第行和第列各数绝对值相等，符号相反。于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i), 有 2A（i,i)=0 ， 在非偶数域中，有A（i,i)=0 ，即反对称矩阵对角线元素为零( 此性质只在非偶数域中成立。在偶数域中，由于1+1=0 ，反对称矩阵的对角线元素不一定为0）。对称矩阵设 A 为 n 阶方阵，如果满足A=AT，即,1,2,ijjiaai jn那么 A 称为对称阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果TAA则称矩阵A为反对称的。即反对称矩阵 A=（ aij）中的元素满足aij aji，i， j=1，2，n逆矩阵定义对于 n 阶矩阵 A，如果有一个n 阶矩阵 B,使得 AB BAE则说矩阵A 是可逆的， 并把矩阵B称为A 的逆矩阵。1AA的逆矩阵记作，1AB即。说明1 A ，B 互为逆阵，A = B-12只对方阵定义逆阵。3.若 A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的。伴随矩阵行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵 A 的伴随矩阵。性质AAA AA E（易忘知识点 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是0A，并且当A 可逆时，有1*1AAA（重要 ）(2)设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得 BAABE，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是 A 的逆矩阵(3)(性质 1)设 A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的A 的逆矩阵记为A1(4)(性质 2)设 A，B 是二阶矩阵，如果A，B 都可逆，则AB 也可逆，且 (AB)1B1A1. 奇异矩阵与非奇异矩阵当0A时 ，A称 为 奇 异 矩 阵 ，当0A时 ，A称 为 非 奇 异 矩 阵。 即0AAA可逆为非奇异矩阵。推论若(A=E)ABE 或B，则1BA求逆矩阵方法*1(1)| 021(3)|AAAAAA先求并判断当时逆阵存在；（ ）求；求。逆矩阵的运算性质1111,AAAA若 可逆 则亦可逆且1112,0,AAAA若 可逆 数则可逆 且。1113,A BABABBA若为同阶方阵且均可逆则亦可逆 且()。114,TTTAAAA若 可逆 则亦可逆且。115,AAA若 可逆 则有。1.对于n阶矩阵 A ：*AAA AA E无条件恒 成立；2.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA矩阵的初等变换（1）互换矩阵的两行；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。以上任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵初等行变换1()ijrr对调两行，记作。20()ikrk以数乘以某一行的所有元素，记作。3()ijkrkr把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。一个矩阵成为阶梯型矩阵,需满足两个条件：（1）如果它既有零行,又有非零行 ,则零行在下 ,非零行在上 .（2）如果它有非零行,则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升.阶梯型矩阵的基本特征：如果所给矩阵为阶梯型矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零.特点 （每个阶梯只有一行；元素不为0 的行（非零行）的第一个非零元素的列标随着行标增大而严格增大（列标一定不小于行标） ；元素全为0 的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行）任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵若矩阵 A 满足两条件：（1）零行（元素全为0 的行）在最下方；（2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵A为阶梯形矩阵。初等变换求逆矩阵：（1）求逆矩阵：1(|)|A EE A初等行变换或1AEEA初等列变换。（2）求 A-1B ：A( ,) (, ),rA BE P即1(|)|A BE A B行，则 P=A-1B。或1EABBA初等列变换. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵m nA，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。 （非零行的行数即为矩阵的秩）矩阵的秩在矩阵 A 中有一个不等于0 的 r 阶子式 D，且所有r + 1 阶子式 (如果存在的话 )全等于 0，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式。数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0. 说明1. 矩阵 Amn，则R(A) minm,n; 2. R(A) = R(AT); 3. R(A) r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零; 4. R(A) r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零. 满秩和满秩矩阵矩阵ijm nAa，若( )R Am，称 A 为行满秩矩阵；若( )R An，称 A 为列满秩矩阵；,( ),AnR AnA若 为 阶方阵 且则称 为满秩矩阵。( )nAR An若 阶方阵 满秩，即0A；1A 必存在；A为非奇异阵；,.nnAEAE必能化为单位阵即矩阵秩的求法定理 1 矩阵 A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若AB，则 R(A)=R(B)。矩阵 Amn，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A 的秩。A初等行变换阶梯形矩阵形B 那么R(A)阶梯形矩阵形B 的主元的个数。矩阵秩的性质总结(1)0()min, m nR Am n(2)()( )TR AR A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载(3),ABR AR B若则()( )PQR PAQR A(4) 若 、可逆，则(5) max(),()(,)()( )( )( ,)( )1.R A R BR A BR AR BBbR AR AR Ab特别当为非零列向量时，有(6)()()()R ABR AR B(7)()min( ),( ).R ABR AR B(8),( )( ).m nn lABOR AR Bn若则(9)AB=OAB=O设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页