高级中学绝对值不等式(精华版)适合高三复习资料用可直接整理编辑.doc
.*绝对值不等式绝对值不等式，基本的绝对值不等式：|a|-|b|ab|a|+|b| y=|x-3|+|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 |y|=|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y|5得-5y5即函数的最小值是-5，最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2x3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x-2时，取最小值-5，当x3时，取最大值5 变题1解下列不等式：(1)|+1|>2；(2)|26|<3思路利用f(x)<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)和f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。解：(1)原不等式等价于+1>2或+1<(2)解得>或无解，所以原不等式的解集是|>(2)原不等式等价于3<26<3即2<<6所以原不等式的解集是|2<<6 1解不等式（1）x-x2-2>x2-3x-4；（2）1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x2-2>x2-3x-4或x-x2-2<-(x2-3x-4)解得：1-<x<1+解得：x>-3故原不等式解集为xx>-3分析二 x-x2-2x2-x+2而x2-x+2(x-)2+>0所以x-x2-2中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4解得：x>-3 原不等式解集为x>-3（2）分析 不等式可转化为-11求解，但过程较繁，由于不等式1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于19x2(x2-4)2 (x2)x4-17x2+160x21或x216-1x1或x4或x-4注意：在解绝对值不等式时，若f(x)中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式变题2解不等式（1）|1|<|+|；（2）x-2+x+3>5.思路（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)两边平方去掉绝对值符号。（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。解题（1）由于|1|0，|+|0，所以两边平方后有：|1|<|+|即有2+1<+2+，整理得(2+2)>1当2+2>0即>1时，不等式的解为>(1)；当2+2=0即=1时，不等式无解；当2+2<0即<1时，不等式的解为<（2）解不等式x-2+x+3>5.解：当x-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3.当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>55>5无解.当x2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.综合得：原不等式解集为xx>2或x<-3.请你试试421 解关于的不等式(>0且1)解析：易知1<<1，换成常用对数得：于是1<<10<1<1(1)<0<0解得0<<12不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为 。解： |x+3|-|2x-1|= 当时 x>2 当-3<x<时4x+2<+1 当时 综上或x>2故填。3求不等式的解集.解：因为对数必须有意义，即解不等式组，解得又原不等式可化为 (1)当时，不等式化为即 综合前提得：。(2)当1<x2时，即. 。(1) 当时，(2) ，结合前提得：。综合得原不等式的解集为第3变 解含参绝对值不等式变题3解关于x的不等式 思路本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论。解题原不等式等价于 当即时， 当即时， x-6当即时， xR请你试试431解关于的不等式：分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当。2关于的不等式|1|5的解集为|32，求的值。按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于值的不确定，要以的不同取值分类处理。解：原不等式可化为46当>0时，进一步化为，依题意有，此时无解。当=0时，显然不满足题意。当<0时，依题意有综上，=2。第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题变题4若不等式|4|+|3|<的解集为空集，求的取值范围。思路此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|+|，便把问题简化。解题解法一 (1)当0时，不等式的解集是空集。(2)当>0时，先求不等式|4|+|3|<有解时的取值范围。令4=0得=4，令3=0得=3 当4时，原不等式化为4+3<，即27<解不等式组，>1 当3<<4时，原不等式化为4+3<得>1 当3时，原不等式化为4+3<即72<解不等式，>1综合可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求取值范围是1解法二由|4|+|3|的最小值为1得当>1时，|4|+|3|<有解从而当1时，原不等式解集为空集。解法三： >|4|+|3|4+3|=1当>1时，|4|+|3|<有解从而当1时，原不等式解集为空集。请你试试441对任意实数，若不等式|+1|2|>恒成立，求的取值范围。思维点拨：要使|+1|2|>对任意实数恒成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的几何意义为数轴上点到1的距离，|2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|2|的几何意义为数轴上点到1与2的距离的差，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。解法一 根据绝对值的几何意义，设数，1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|PB|>成立|AB|=3，即|+1|2|3故当<3时，原不等式恒成立解法二 令=|+1|2|，则O-33要使|+1|2|>恒成立，从图象中可以看出，只要<3即可。故<3满足题意。2对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即时取等号。故a<3说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使，只要）3已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围分析（一）|x-4|+|x-3|x-4(x-3)|=1 当|x-4|+|x-3|<a在实数R上非空时，a须大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>1（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1数按题意只须a>1 A B P 0 3 4 x （四）考虑|z-4|+|z-3|<a(zc)的几何意义（五） 可利用零点分段法讨论.以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.变题：1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围2、若不等式|x-4|-|x-3|<a的解集在R上不是空集，求a的取值范围3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范围第5变 绝对值三角不等式问题变题5已知函数，当时，求证：；，则当时，求证：。思路本题中所给条件并不足以确定参数，的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用 、来表示,。因为由已知条件得，。解题证明：(1)由，从而有(2)由 从而 将以上三式代入，并整理得请你试试451已知函数f(x)=，a,bR，且，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。分析：要证，考察左边，是否能产生|a-b|。证明：|f(a)-f(b)|= （其中，同理）高中不等式习题精选精解一、求取值范围2、已知，且，求的取值范围。解：由已知条件，显然 综上所述的取值范围是3、正数满足，求的最小值。解： （为正数）5、已知函数满足，求的取值范围。解：由习已知得： 设： 所以的取值范围是8、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。oyxoy解一：设，原题转换为求方程在上有解。 共有两种情况，一种是有两个根，一种是只有一个根（如图所示），由二次函数的图像和性质，得方程在上有实数解的充要条件为： 注：两组不等式分别对应两个图解得所以的取值范围是解二：由方程得 函数的值域就是的取值范围。 所以的取值范围是二、解不等式1、解：不等式与或同解，也可以这样理解： 符号“”是由符号“>”“=”合成的，故不等式可转化为 或。 解得：原不等式的解集为2、.解：+，用根轴法（零点分段法）画图如下： 原不等式的解集为。3、解：原式等价于 ，即 注：此为关键原不等式等价于不等式组解得：4、解：当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得 综合上面各式，得原不等式的解集为：5、关于的不等式的解集为，求的解集。解：由题意得：，且 则不等式与不等式组同解 得所求解集为6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。解：关于的不等式的解集是，或 原不等式的解集是。三、证明题2、设,为偶数,证明 证： . 当时, ,0 , 0 ,故 ; 当有一个负值时,不妨设,且,即 . 为偶数时,0 ,且0 ,故 . 综合可知,原不等式成立 注：必须要考虑到已知条件，分类讨论，否则不能直接得出0 3、求证： 证：设向量 ,由 ,得 注意：当时，即，、方向相同，取等号。当利用公式证明时，会得： 的错误结论，因为这里取等号 的条件是，且、方向相反，根据题设条件，时，方向相同，故取不到等号， 计算的结果也使不等式范围缩小了。4、求证： （）证一：（） 原不等式成立，证毕。证二：当时，原不等式为：，显然成立； 假设当取-1时，原不等式成立，即成立，则 ，即取时原不等式也成立。 综上，对于任意（）原不等式成立，证毕。 注意：此类证明方法称为数学归纳法 5、设，实数满足，求证：证：=当，当，当，综合式情况，原不等式成立。证毕注：式的最后一步省略了对的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用 同号 异号6、已知：，求证：证：由已知得：，即 ，及基本不等式，代入式得： 解得； ，由式得， 综上得：。 证毕。7、已知,证明：证：， ，（）同理得： ，式两边相加，得所以原不等式成立，证毕。注：“”的来由：不等式当且仅当时取等号，得。
