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万有引力定律在天文学上的应用、人造地球卫星 学习目的：1、了解万有引力定律在天文学上的应用2、学会天体质量的计算3、掌握第一宇宙速度、人造地球卫星的运行速度4、掌握同步卫星的特点内容讲解：一科学理论不仅要能解释已有的现象，还可预测未来的事件1第一次给出人造地球卫星的理论人造地球卫星、金星卫星、人造行星今天都已经成为现实。无怪乎阿波罗8号宇宙飞船在从人类第一次月球旅行的返航途中，当地面控制站问它：“谁在那儿驾驶”时，它回答说：“我想现在主要是牛顿在驾驶”。2说明潮汐的原因潮水涨落是地球上常见的现象，对航海也十分重要，牛顿根据月球和太阳对地球和海水的引力正确地解释了潮汐的基本特点，并且现在还把牛顿的理论应用到地球周围的大气甚至地壳本身，发现地壳的“潮”大约有1英尺高，而大气的“潮”在一百英尺的高空也是可以看得到的。3解释彗星的运动彗星由于其轨道特殊，而且在古代总是意外的出现，它的形状不象一颗晶莹的星而是拖了一个长长的尾巴，我国因此而形象的叫它扫帚星，西方和我国古代的人们都认为它的出现是灾难的预兆。牛顿用他的天体力学理论论证了彗星也是一种行星，是一种偏心率较大的椭圆轨道上运动的一团云状物质，其运动也服从开普勒三定律。一般彗星只有在靠近太阳时才能被看见，其长尾巴总是背向太阳，是太阳光压迫的结果。最明亮的一颗是牛顿的朋友哈雷用牛顿定律首先研究过的，因此命名为哈雷慧星。他当初研究了1531年、1607年和1682年看见的那些彗星，发现他们的轨道几乎是相同的。哈雷猜想它们或许是同一个彗星，沿着封闭的轨道运动，约隔75年出现一次，并预言这个彗星将于1757年再次出现。但哈雷本人没能看到。后来，哈雷慧星还在1833年和1907年出现过。4卫星和行星的摄动月球在轨道上的运动常表现出微小的不规则性，牛顿指出这种不规则性的原因在于太阳对月球的引力以及地球并非是完美的球体。行星在轨道上的运动也有微小的不规则性，这种偏离轨道的不规则运动叫做“摄动”。行星的摄动是各行星之间相互吸引的结果，并能做出相应的计算。在牛顿以后，关于行星摄动的研究曾引起过重要的天文发现。当时人们知道的离太阳最远的一颗行星是天王星，它在运动中也有摄动，把所有已知行星对它的影响都考虑进去后，仍不能完全说明所观测到的摄动。英国天文学家亚当斯和法国天文学家列维叶同时独立的预言这未能说明的摄动是另一颗更远的行星引起的。亚当斯就这一预言写信给英国天文台，该天文台的人十分不服气的说：“哪有这么荒谬的事，一个家伙坐在房中，用铅笔和纸张就能告诉我们到哪儿去找新行星”结果是置之不理，把那封信给压下去了。列维叶的遭遇截然不同，他把他根据牛顿定律计算出来的未知行星何日何时应在什么方位出现的结果写信告诉德国天文学家伽尔，后者在得知的当天晚上，即1846年9月23日晚上，没有用到一个小时，就在列维叶预言的方位找到了那颗行星。这颗行星后来被定名为海王星，海王星的发现在当时是非常轰动的，它使人们更加信服牛顿的理论了。后来，又经过大致相似的过程，在1930年发现了一颗更远的行星冥王星。二、应用万有引力定律计算天体质量均认为：做环绕运动的天体绕被环绕的天体做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力。例、已知：一质量为m的行星围绕一球形天体运动，其轨道半径为r，运动周期为T，天体半径为R，求天体的质量M及其密度。分析：行星围绕天体做的是匀速圆周运动，他们之间的万有引力提供其做圆周运动所需的向心力。由牛顿第二定律可得 球形天体的密度可表示为 三、人造地球卫星1、第一宇宙速度在山上平抛一个物体，若速度小一些，它将在离山底较近的地方落地。如果速度增大一些，它将落得远一些。物体的初速度越大，飞行的距离就越远。考虑到地球是球形的，飞行的图景应该是如图所示。 当物体所受的万有引力全部用来提供它做圆周运动的向心力时，它将围绕地球旋转，成为一颗人造地球卫星。 最早研究人造地球卫星的是牛顿，上面这张图就是他的著作里说明人造地球卫星原理的草图。代入地球质量M=6×1024kg，地球半径R=6.4×106m，万有引力恒量G=6.67×10-11N·m2/kg2可求得v=7.9km/s这个速度为在地面上平抛一个物体使它能够成为一个人造地球卫星所需要的最小速度，又称第一宇宙速度。2、运行速度卫星围绕地球做匀速圆周运动，它和地球之间的万有引力提供它所需的向心力，设其轨道半径为r，则有，由此可知，卫星围绕地球的运行速度与卫星的质量无关，地球质量一定，所以其速度只与轨道半径有关。轨道半径越小，运行速度越大。当轨道半径为最小值R=6.4×106m时，其速度 ，与第一宇宙速度相等。所以7.9km/s又是所有围绕地球运行的卫星中速度的最大值。3、第二宇宙速度和第三宇宙速度如果发射物体的速度更大，达到或超过11.2km/s时，物体将摆脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它的行星上去。这个速度称为第二宇宙速度。如果发射物体的速度再大，等于或大于16.7km/s时，物体将能够摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去，这个速度称为第三宇宙速度。第一、第二、第三宇宙速度都是发射相应人造“天体”的最小速度，它们也叫环绕速度、脱离速度、逃逸速度。 4、人造地球卫星中的超重和失重在卫星发射升空的加速运动过程中（背离地球加速）或返回地面的减速运动过程中（面向地球减速），人造卫星以及其中的人和物体都处于超重状态。人造卫星以及其中的人和物体在太空中做圆周运动时处于失重状态。 5、同步卫星（1）与地球的自转同步，所以其运行方向为自西向东旋转，运行周期为24小时（2）由于卫星做匀速圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，所以这种卫星的轨道平面与赤道平面平行 由牛顿第二定律可得 代入地球质量M=6×1024kg，万有引力恒量G=6.67×10-11N·m2kg2，地球自转的周期T=24×3600=86400s，可求得其轨道半径为r=4.2×107m由于地球半径R=6.4×106m，可知同步卫星距离地面的高度h=r-R=3.6×107m其运行速率 例题分析：例1、地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，求地球密度。分析：地面附近的物体受到的重力等于地球对它的万有引力设一小物体质量为m，则有 例2、行星的密度是，靠近行星表面的卫星运行周期是T。试证明T2是一个普遍适用的恒量。分析：将行星看成一个球体，其半径设为R，质量为M。靠近行星表面运行的卫星做的是匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供其所需的向心力。由于卫星靠近行星表面运行，其轨道半径可近似等于行星半径R，设其质量为m，由牛顿第二定律可得： 二式联立可得：，其中G为万有引力恒量，由此可知T2为一普遍适用的恒量例3、已知地球同步卫星离地面高度为H=36000km，地球半径为R=6400km，则估算月球到地心间距离约为_。月球绕地一周约为27天。分析：月球和同步卫星均为围绕地球运行的卫星，做的都是匀速圆周运动，地球对它们的万有引力提供其运动所需的向心力，由牛顿第二定律可知 从上式可知，地球质量一定，对所有的卫星来说其 是一个定值，则有 ，由已知可知，T月=27T同代入可求得：r月=9r同=9×(36000+6400)=381600km反馈练习：1、利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量：（ ）A、已知地球的半径R和地面的重力加速度gB、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径和速度C、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径和周期D、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度和周期2、某行星的半径是地球半径的3倍，质量是地球质量的36倍。则该行星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的：（ ）A、4倍 B、6倍C、1/4倍 D、12倍3、一名宇航员来到某星上，此星的密度为地球的一半，半径也为地球的一半，则他受到的“重力”为在地球上所受重力的：（ ）A、1/4 B、1/2C、2倍 D、4倍4、地球绕太阳公转的周期跟月球绕地球公转的周期之比是p，地球绕太阳公转的轨道半径跟月球绕地球公转轨道半径之比是q，则太阳跟地球的质量之比M日：M地为：（ ）A、q3/p2 B、p2q3 C、p3/q2 D、无法确定5、设行星A和B是两个均匀球体，它们的质量比MA:MB=2:1，它们的半径之比RA:RB=1:2。行星A的卫星a沿圆轨道运动的周期为Ta，行星B的卫星b沿圆轨道运动的周期为Tb，两个卫星的轨道都非常接近各自的行星表面，则它们的周期之比Ta:Tb为：（ ）A、1:4 B、1:2C、2:1 D、4:16、有甲、乙两颗人造地球卫星，甲的环绕半径大于乙的环绕半径，则：（ ）A、甲的线速度一定大于乙的线速度B、甲的角速度一定大于乙的角速度C、甲的加速度一定大于乙的加速度D、甲的周期一定大于乙的周期7、两颗人造地球卫星的质量之比为1：2，轨道半径之比为3：1，则它们的：（ ）A、周期之比为 B、线速度之比为 C、向心加速度之比为1：9D、向心力之比为1：98、关于人造地球卫星，下列说法正确的是（已知地球半径是R=6400km）：（ ）A、运行的轨道半径越大，线速度也越大B、运行的速率可能等于8km/sC、运行的轨道半径越大，周期也越大D、运行的周期可能等于80min9、假如一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则：（ ）A、根据公式v=r，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B、根据公式 ，可知卫星运动所需的向心力将减小为原来的 C、根据公式 ，可知地球提供的向心力将减小为原来的 D、根据上述B、C给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的 10、地球表面上的物体均随地球一起转动，因此：（ ）A、地球上的物体做圆周运动的角速度相同B、万有引力就是地球上的物体做圆周运动的向心力C、赤道上的物体的向心加速度最大D、物体的向心加速度的方向都是指向地心的11、关于地球同步通讯卫星，下列说法正确的是：（ ）A、各国发射的这种卫星都在赤道所在平面内B、各国发射的这种卫星其轨道半径都一样C、这种卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度D、这种卫星运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间12、同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系正确的是：（ ）A、 B、 C、 D、 13、某人站在一星球上，以速度v0竖直上抛一物体，经t秒后，物体落回手中，已知该星球半径为R。现将此物体沿星球表面抛出，欲使其不再回到星球上，则抛出时的速度至少为：（ ）A、 B、 C、 D、 14、登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min。已知月球半径是1740km，根据这些数据求出月球的平均密度（G=6.67×10-11N·m2·kg-2）。15、两颗靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸在一起。已知双星的质量分别为m1和m2，相距为l，求：（1）双星转动的半径（2）双星转动的周期参考答案：1、ABCD 2、A 3、A 4、A 5、A 6、D 7、ABC 8、C 9、CD10、AC11、ABC 12、AD 13、B14、3.26×103kg/m315、（1）（2） 解：两恒星做圆周运动的向心力是它们之间的万有引力，这两颗恒星的轨道半径不同，但周期和角速度相同，设两恒星的轨道半径分别为r1、r2,则有r1+r2=L，它们的角速度为 。对M1： 对M2： 联立、解得： 测试选择题1、两颗人造地球卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为TA:TB=1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为：（） A、rA：rB=4：1, vA：vB=1：2 B、rA：rB=4：1, vA：vB=2：1 C、rA：rB=1：4, vA：vB=1：2 D、rA：rB=1：4, vA：vB=2：1 2、人造地球卫星由于受到大气的阻力，其轨道半径逐渐减小，其相应的线速度和周期的变化情况是：（） A、线速度变大，周期变小 B、线速度不变，周期变小 C、线速度变小，周期不变 D、线速度变大，周期变大窗体顶端3、某行星一昼夜运动时间T0=8h，若用一弹簧秤去测量同一物体的重力，结果在行星赤道上比在两极处小9%，设想该行星的自转角速度加快到某一值时，在赤道上的物体将完全失重，则这时行星的自转周期为      h。窗体顶端4、估算地球与月球之间的距离是      ×108m。（地球的半径是R6400km，地球表面的重力加速度是g=10m/s2,一个月按30天计算。）（保留一位有效数字）窗体顶端5、无人飞船“神州二号”曾在离地面高度为H=3.4×105m的圆轨道上运行了47h，求在这段时间内它绕行地球      圈。（地球半径R=6.37×106m，重力加速度g=9.8m/s2）窗体顶端6、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图），则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（ ） A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度 D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度 答案与解析 答案：1、D 2、A 3、2.4 4、4 5、31 6、BD解析：1、人造地球卫星作匀速圆周运动的向心力是它与地球之间的万有引力，所以有 ，可得r=( )1/3 v= 由式得：rA:rB=(TA:TB)2/3=1:4 由式和式可得vA:vB= =2:1由此说明D选项正确。2、由于阻力作用，人造地球卫星的速度要减小，它受到地球的万有引力大于向心力，人造地球卫星要向地球运动（即向心运动），半径减小，人造地球卫星与地球间的万有引力是增大的（因为万有引力是与两物体间的距离平方成反比），根据，有 可知：当r减小时，v必增大。由 可知：当r减小时，T必减小。所以选项正确。3、解法一：在行星的两极处，弹簧秤的示数为物体受到行星的万有引力F，在赤道处的示数为F'，由题意可知F-F'= 当行星自转的角速度加快后，在赤道上的物体完全失重，则F'=0，有F= 由题意可知 F-F'=0.09F 由式和式可得：0.09F= 由式和式得 T=0.3T0=2.4h解法二：由题意可知，物体在赤道处的失重部分提供其做匀速圆周运动所需要的向心力，即有：0.09F=， 每个行星都有一个第一宇宙速度v1（就是在行星表面所受到的万有引力提供向心力时的速度），且 当行星自转的角速度增大到赤道上的物体完全失重时，赤道上物体的线速度也就是第一宇宙速度，故此时的周期T= =0.3T0=2.4h。4、设地球与月球之间距离为R，月球绕地球作匀速圆周运动所需的向心力是由地球对月球的万有引力所提供，有 地球表面的物体所受的重力可认为就等于地球对它的万有引力，即mg= 将式代入式后得R= 5、可先求出“神州二号”绕地球的周期T，然后容易求出绕的圈数。由于飞船的万有引力充当向心力可知，在高空的飞船应有： ，（其中r=H+R）。对于地面上的飞船应有： ，所以 。解上述两式可以得：T= = =1.52h圈数=47/T31圈6、卫星的向心力是由万有引力提供的，即F万F向，得： ，所以 由此可见：半径越大，线速度就越小，反之也是，所以A是不正确的。 ，所以 ，由此可见：半径越大，角速度就越小，反之也是，所以B是正确的。卫星的加速度是由万有引力来提供的，即它的加速度a=F万/m=GM/R2，由此可见，只要是半径R相等，加速度a就相等，且半径R大的，加速度a就小，反之成立。故D是正确的，C是不正确的。 窗体底端