2013年数学中考题分类汇编之四边形.doc

2013中考分类汇编之四边形1. （2013湘西州）下列说法中，正确的是（）A.同位角相等 B.对角线相等的四边形是平行四边形C.四条边相等的四边形是菱形 D.矩形的对角线一定互相垂直2. （2013陕西）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，BOC=120°，则四边形ABCD的面积为 .（结果保留根号）3. (2013河南)如图，在等边三角形中，,射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为（1）连接，当经过边的中点时，求证：ADECDF （2）填空： 当为 s时，四边形是菱形； 当为 s时，以为顶点的四边形是直角梯形。4. （2013德州）（1）如图1，已知ABC，以AB、AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得ABC=45°，CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长5. （2013绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）（2）在ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比6. （2013资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由连结FM、FN，MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由7. （2013宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形（1）如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=120°，C=75°，BD平分ABC求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点ABC均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求BCD的度数8. (2013武汉)四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G （1）如图，若四边形ABCD是矩形，且DECF，求证； （2）如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； （3）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，BAD90°，DECF，请直接写出的值9. （2013杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1（1）求证：APE=CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值参 考 答 案1. A、如果两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C、四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选C2.解：BD平分AC，所以OA=OC=3，因为BOC=120°，所以DOC=A0B=60°，过C作CHBD于H，过A作AGBD于G，在CHO中，C0H=60°，OC=3，所以CH=，同理：AG=，所以四边形ABCD的面积=3. 证明： 是边的中点 又 当四边形是菱形时， 由题意可知：， 若四边形是直角梯形，此时 过作于M，可以得到， 即， 此时，重合，不符合题意，舍去。 若四边形若四边形是直角梯形，此时， ABC是等边三角形，F是BC中点， ，得到 经检验，符合题意。故答案为 4.解：（1）完成图形，如图所示：证明：ABD和ACE是等边三角形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60°，BAD+BAC=CAE+BAC，即CAD=EAB，在CAD和EAB中，CADEAB（SAS），BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），四边形ABFD和ACGE均为正方形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=90°，CAD=EAB，在CAD和EAB中，CADEAB（SAS），BE=CD；（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，BAD=90°，则AD=AB=100米，ABD=45°，BD=100米，连接CD，则由（2）可得BE=CD，ABC=45°，DBC=90°，在RtDBC中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：CD=100米，则BE=CD=100米5.解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；（2）以B1C1为一边的矩形不是方形理由是：过A作AMBC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AMB4C4，AMB3C3，AMB2C2，AMB1C1，由矩形的性质得：BCB1C1B2C2B3C3B4C4，ABCAB1C1AB2C2AB3C3AB4C4，=，=，=，=，AM=20，BC=25，B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，即B1C12B1Q，B1Q2B1C1，以B1C1为一边的矩形不是方形；以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，ABCAB3C3，=，则AG=h，MN=GN=GH=HE=h，当B3C3=2×h，时，=；当B3C3=×h时，=综合上述：BC与BC边上的高之比是或6.（1）证明：DNC+ADF=90°，DNC+DCN=90°，ADF=DCN在ADF与DNC中，ADFDNC（ASA），DF=MN（2）解：该命题是真命题理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CDABCD，AFECDE，AE=EC，则AE=AC=a，t=a则CM=1t=a=CD，点M为边CD的三等分点能理由如下：易证AFECDE，即，得AF=易证MNDDFA，即，得ND=tND=CM=t，AN=DM=at若MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知FANNDM，AF=DM，即=t，得t=0，不合题意此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MNDF知，HN=HM，DN=DM=MC，t=a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得MFCNMD，FC=DM=at；又由NDMDCF，即，FC=at，t=a，此时点F与点C重合综上所述，当t=a或t=a时，MNF能够成为等腰三角形7.解：（1）ADBC，ABC+BAD=180°，ADB=DBCBAD=120°，ABC=60°BD平分ABC，ABD=DBC=30°，ABD=ADB，ADB是等腰三角形在BCD中，C=75°，DBC=30°，BDC=C=75°，BCD为等腰三角形，BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）AC是四边形ABCD的和谐线，ACD是等腰三角形AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，AB=AC=BC，ACD=ADCABC是正三角形，BAC=BCA=60°BAD=90°，CAD=30°，ACD=ADC=75°，BCD=60°+75°=135°如图5，当AD=CD时，AB=AD=BC=CDBAD=90°，四边形ABCD是正方形，BCD=90°如图6，当AC=CD时，过点C作CEAD于E，过点B作BFCE于F，AC=CDCEAD，AE=AD，ACE=DCEBAD=AEF=BFE=90°，四边形ABFE是矩形BF=AEAB=AD=BC，BF=BC，BCF=30°AB=BC，ACB=BACABCE，BAC=ACE，ACB=ACE=BCF=15°，BCD=15°×3=45°8.（1）证明：四边形ABCD是矩形，AADC90°， DECF，ADEDCF，ADEDCF，（2）当B+EGC180°时，成立，证明如下： 在AD的延长线上取点M，使CMCF，则CMFCFM ABCD，ACDM， B+EGC180°，AEDFCB，CMFAED ADEDCM，即（3）9.（1）证明：EPF=45°，APE+FPC=180°45°=135°；而在PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则PCF=45°，则CFP+FPC=180°45°=135°，APE=CFP（2）解：APE=CFP，且FCP=PAE=45°，APECPF，则而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=AB=，又P为对称中心，则AP=CP=，AE=如图，过点P作PHAB于点H，PGBC于点G，P为AC中点，则PHBC，且PH=BC=2，同理PG=2SAPE=×2×=，阴影部分关于直线AC轴对称，APE与APN也关于直线AC对称，则S四边形AEPN=2SAPE=；而S2=2SPFC=2×=2x，S1=S正方形ABCDS四边形AEPNS2=162x，y=+1E在AB上运动，F在BC上运动，且EPF=45°，2x4令=a，则y=8a2+8a1，当a=，即x=2时，y取得最大值而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=421=1y关于x的函数解析式为：y=+1（2x4），y的最大值为1图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，则EB=BF，即AE=FC，=x，解得x=，代入x=，得y=210