高级中学数学导数难题.doc

.*5.导函数不等式1. 已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。解：（）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增故，符合题意当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是（）， 由此得，故2. 设，对任意实数，记（）求函数的单调区间；（）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对于任意正实数成立。分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、化归（转化）思想方法（I）解：由，得因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是故当时，对任意正实数成立方法二：对任意固定的，令，则，由，得当时，；当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立（ii）方法一：由（i）得，对任意正实数成立即存在正实数，使得对任意正实数成立下面证明的唯一性：当，时，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，又因为，不等式成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立3. 定义函数f n( x )(1x)n1, x2，nN*(1)求证：f n ( x ) nx；(2)是否存在区间 a，0 (a0)，使函数h( x )f 3( x )f 2( x )在区间a，0上的值域为ka，0?若存在，求出最小实数k的值及相应的区间a，0，若不存在，说明理由.分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、数形结合思想方法解：(1)证明：f n( x )nx(1x)n1nx，令g( x )(1x)n1nx , 则g( x )n(1x)n11.当x(2，0)时， g( x )0,当x(0，）时，g( x )0，g( x )在x0处取得极小值g( 0 )0，同时g( x )是单峰函数，则g( 0 )也是最小值.g( x )0,即f n ( x )nx(当且仅当x0时取等号). 注：亦可用数学归纳法证明.(2)h( x )f 3( x )f 2( x )x( 1x )2h( x )(1x)2x2(1x)(1x)(13x)令h(x)0, 得x1或x ，当x(2，1)，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0；当x( ,)时，h(x)0.故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下：当时，h(x)最小值h(a)ka k(1a)2当时h(x)最小值h(a)h()ka 当时h( x )最小值h( a )a(1a)2ka k(1a)2，时取等号.综上讨论可知k的最小值为，此时a，0，0.例4. 已知在区间上是增函数。（1）求实数的值组成的集合A；（2）设关于的方程的两个非零实根为、。试问：是否，使得不等式对及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力函数方程思想、化归（转化）思想方法解：（1） 在上 对恒成立即，恒有成立设 （2） 、是方程的两不等实根，且， 对及恒成立 对恒成立设， 对恒成立 满足题意5. 已知函数。（1）求函数的反函数和的导函数；（2）假设对，不等式成立，求实数的取值范围。分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力化归（转化）思想方法解：（1） （2） ，成立 设， 恒有成立 ， ，在上 即 在上 的取值范围是6.设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得a恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.（）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。令，有，由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）对，且有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立。