2022年立体几何中的轨迹问题汇总 .pdf

例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点， 这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力， 同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。一轨迹为点例 1 已知平面|，直线l，点 Pl，平面,之间的距离为 8，则在内到 P 点的距离为10 且到直线l的距离为9 的点的轨迹是( ) A一个圆B.两条直线C.两个点D.四个点解析:设 Q 为内一动点，点 P在内射影为 O， 过 O, l的平面与的交线为l，PQ=10，OQ=228106 点 Q 在以 O 为圆心 6 为半径圆 上 ， 过 Q 作QMl于M ， 又点 Q 到 直 线l的 距 离 为9QM=178922则点 Q 在以l平行距离为17的两条平行线上两条平行线与圆有四个交点这样的点 Q 有四个，故答案选D。点评:此题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。二 轨迹为线段例 2 如图，正方体1111ABCDA B C D中，点 P 在侧面11BCC B及其边界上 运 动 ， 并 且 总 保 持1APBD， 则 动 点P 的 轨 迹 是 。lMOQP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页A. 线 段1B C1BCC. 1BB中 点 与1CC中 点 连 成 的 线 段D. BC中点与11B C中点连成的线段解： 连结11,ABAC B C， 易知111BDAAB所以11111,ABBDACBDB CBD，所以1BD面1AB C，假设 P1B C，则AP平面1AB C，于是1BDAP，因此动点 P的轨迹是线段1B C。评注：此题是由线面垂直的性质从而求出点P的轨迹。例 3 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为 2 的等边三角形， O 为底面中心， M 为 SO 的中点，动点P 在圆锥底面内 (包括圆周 )，假设MPAM，则 点P 的 轨 迹 是 _。 形 成的 轨 迹 的 长 度 为_。解析:在平面 SAB 中，过 M 作 AM 的垂线交 AB 于 C，在底面上，过C 作 AB 的垂线分别交底面圆于D,E 两点，则 AM面 MDE,DE 即为点 P 的轨迹，又AO=1,MO=23,AM=27,从而AC=47,OC=43,所以DE=2724312.所以填上线段；27. 三 轨迹为直线例 4 (北京高考题 )如图， AB 是平面的斜线段， A 为斜足，过点 B作直线l与 AB 垂直，则直线l与平面交点的轨迹是( ) ABA圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解析: 由题意可知直线l的轨迹应是过点B 且与 AB 垂直的平面，该精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页平面与平面交点为一条直线，故答案选C. 四.轨迹为圆弧例5如图，P是棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D外表上的动点， 且AP=2，则动点 P的轨迹的长度为 _ 。解析:由已知 AC=AB1=AD1=2,在面 BC1, 面 A1C1, 面 DC1内分别有BP=A1P=DP=1， 所以动点 P的轨迹是在面 BC1, 面 A1C1, 面 DC1内分别以 B,D,A1为圆心，1 为半径的三段圆弧， 且长度相等， 故轨迹长度和为2333。五.轨迹为平面例 6.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面个数为() .解析：以不共面的四个定点为顶点构造四面体，则满足条件的平面可分两类。第一类是中截面所在的平面有个；第二类是和一组对棱平行且经过其它各棱中点的平面有个，故满足条件的平面个数为 . 故答案选 . 评注：此题关键在于构造空间四边形，利用四面体的性质去求解。六. 轨迹为圆例 7，如图，三角形 PAB 所在的平面和四边形 ABCD 所在的平面垂直，且BCAD,，AD=4，BC=8，AB=6，CPBAPD，则点 P在平面内的轨迹是 ( ) A圆的一部分B.椭圆的一部分CDBPA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析 :由条件易得AD|BC，且CPBAPD，AD=4 ，BC=8，可得PBCBPAADAPDtan=,tanCPB即2ADCBPAPB， 在平面 PAB 内以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中点 O 为坐标原点，建立直角坐标系，则A-3，0,B3，0 ，设 P(x,y),则有2222233yxyxPAPB，整理可得一个圆的方程即0091022xxyx。由于点 P不在直线 AB 上，故此轨迹为圆的一部分故答案选A. 点评:此题主要考查空间轨迹问题，是在立体几何与解析几何的交汇处命制的创新题，既考查了空间想象能力，又考查了代数方法(坐标法)研究几何轨迹的基本思想。七.轨迹为抛物线例 8.如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且AM=13，点 P是平面 ABCD 上的动点，且动点 P到直线11A D的距离与动点 P到点 M 的距离的平方差为1，则动点 P的轨迹是 ( ).A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。解：设11PFA D于点 F，过点 P作PEAD于点 E，连结 EF，则AD平 面PEF，ADEF， 即1/EFAA。 因 为221PFPM， 且22221PFPFEFPE，所以PEPM。由抛物线定义知点P 的轨迹是以点 M 为焦点， AD 为准线的抛物线，故应选B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页评注：从立体转化到平面，从平面到直线，显然是在逐级降维，平面比立体简单，直线又比平面简单，这是复杂向简单的转化。八 .轨迹为椭圆例 9，(浙江高考题 )如图，AB 是平面的斜线段， A 为斜足，假设点P 在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P 的轨迹是( ) A圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解析:由题意可知ABP的面积为定值点 P到 AB 的距离也为定值，点 P 在空间中的轨迹应是以AB 为旋转轴的圆柱面，又点P 在平面内运动， 所以动点 P的轨迹应该是圆柱面被平面所截出的椭圆。故答案选 B。点评:此题主要考查轨迹问题，注意交轨法的应用。九.轨迹为双曲线例 10.(2010 年重庆高考题 )到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( ) A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线解析: 构造正方体模型，在边长为a 的正方体1111ABCDA B C D中，DC与 A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线 DC 且平行于 A1D1，以 D 为原点，分别以 DA,DC 为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标PAByxPADBCBA1C1D1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页系，设点 P(x,y)在平面 ABCD 内且到 DC 与 A1D1之间的距离相等，所以22ayx，222ayx。故答案选 C 点评:此题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用解析几何法求解， 实现从立体几何到解析几何的过渡，这里用解析几何的知识解决立体几何中的计算问题，恰好是当今高考的命题方向。此题考查立体几何，解析几何知识，考查学生的空间想象能力，灵活运用知识解决问题的能力和创新意识，构造正方体模型， 简化了思维难度。十.轨迹为球例 11.如图，在棱长为 6 的正方体1111ABCDA B C D中，长度为 4 的线段MN 的一个端点 N 在 DD1上运动，另一个端点 M 在底面 ABCD 上运动，则 MN 的中点 P 的轨迹与其顶点D 的正方体的三个面所围成的几何体的体积是 _ 。解析:由 ND平面 ABCDDMND在NDMRt中，P 为斜边 MN 的中点，则221MNDP故点 P 的轨迹是以 D 为球心， 2 为半径的球面，与其顶点 D 的正方体的三个面所围成的几何体是八分之一球体。因此34334812V. 点评:此题主要考查空间想象能力和推理能力以及球的体积计算，确定点 P的轨迹是关键。PMNDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页含两个变量的不等式化归和构造策略近几年在高考试题的函数压轴题中，经常出现含有两个变量的不等式证明问题， 面对两个变量学生会感觉无从下手，造成找不到解题的突破点；下边通过几道例题，让大家感受化归和构造的策略。策略一：当两个变量可以别离时，根据其两边结构构造函数，利用单调性证明不等式。例 12010 年辽宁文科 21已知函数2( )(1)ln1f xaxax. 讨论函数( )f x的单调性；设2a，证明：对任意12,(0,)x x，1212|()() | 4 |f xf xxx。解：() f(x)的定义域为 (0,+)，2121( )2aaxafxaxxx. 当 a0 时，( )fx0，故 f(x)在(0,+)单调增加；当 a1 时，( )fx0, 故 f(x)在(0,+)单调减少；当1a0 时，令( )fx0,解得 x=12aa.当 x(0, 12aa)时, ( )fx0；x(12aa，+)时，( )fx0, 故 f(x)在0, 12aa单调增加，在12aa，+单调减少 . ()不妨假设 x1x2.由于 a2,故 f(x)在0，+单调减少 . 所以1212()()4f xf xxx等价于12()()f xf x4x14x2 , 即 f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令 g(x)=f(x)+4x,则1( )2agxaxx+42241axxax.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页于是( )g x2441xxx2(21)xx0. 从而g(x)在0，+单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1 f(x2)+ 4x2， 故 对 任 意x1,x2 (0,+) ，1212()()4f xf xxx.当 exe2时，1ln x0，例 22009 年辽宁理科 21已知函数 f(x)=21x2ax+(a1)ln x，1a。1讨论函数( )f x的单调性；2证明：假设5a，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有1212()()1f xf xxx。解：(1)( )f x的定义域为(0,)。211(1)(1)( )axaxaxxafxxaxxx2 分i假设11a即2a,则2(1)( )xfxx.故( )f x在(0,)单调增加。(ii)假设11a,而1a,故12a,则当(1,1)xa时，( )0fx; 当(0,1)xa及(1,)x时，( )0fx故( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加。(iii) 假 设11a,即2a, 同 理 可 得( )f x在(1,1)a单 调 减 少 ， 在(0,1),(1,)a单调增加 . (II) 考虑函数( )( )g xfxx21(1)ln2xaxaxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页则211( )(1)2(1)1(11)aagxxaxaaxx由于 1a5,故( )0g x， 即 g(x)在(4, +)单调增加，从而当120 xx时有12()()0g xg x，即1212()()0f xf xxx，故1212()()1f xf xxx，当120 xx时，有12211221()()()()1f xf xf xf xxxxx练习 1 已知函数 f(x)ax1ln x(aR)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数；假设函数 f(x)在 x1 处取得极值， ? x(0，)，f(x)bx2 恒成立，求实数 b 的取值范围；当 0 xye2且 xe时，试比较yx与1ln y1ln x的大小解f(x)a1xax1x，当 a0 时，f(x)0 时，f(x)0 得 0 x0 得 x1a，f(x)在(0，1a)上单调递减，在 (1a，)上单调递增，即 f(x)在 x1a处有极小值当 a0 时，f(x)在(0，)上没有极值点；当 a0 时，f(x)在(0，)上有一个极值点函数 f(x)在 x1 处取得极值， a1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页f(x)bx2? 11xln xxb，令 g(x)11xln xx，则 g(x)2x2ln xx2，g(e2)0，从而可得 g(x)在(0，e2上单调递减，在 e2，)上单调递增，g(x)ming(e2)11e2，即 b11e2. 由知 g(x)11ln xx在(0，e2)上单调递减，0 xyg(y)，即1ln xx1ln yy. 当 0 x0，yx1ln y1ln x；yx1ln y1ln x. 策略二、当两个变量别离不开时通过作差或作商等策略略将两个变量划归为一个变量，再构造函数利用函数单调性进行证明。例 3、已知函数假设 x=2 是函数 fx的极值点，求曲线y=fx在点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页1，f1 处的切线方程；假设函数 fx在0，+上为单调增函数，求a 的取值范围；设 m，n 为正实数，且 mn，求证：I根据 x=2 是函数 fx的极值点，则 f2=0 可求出 a的值，然后求出切线的斜率和切点，从而可求出切线方程；II根据 fx的解析式求出 fx的导函数，通分后根据函数fx在 0，+上为单调增函数，得到分子大于0 恒成立，解出 2a2 小于等于一个函数关系式，利用基本不等式求出这个函数的最小值，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围；III 把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证 ln 0，根据II 得到 hx在 x 大于等于 1 时单调递增，且大于 1，利用函数的单调性可得证解： Ifx= =，由题意知 f 2=0，解得 a= ，经检验符合题意从而切线的斜率为k=f 1= ，切点为 1，0切线方程为 x+8y1=0 IIfx=，因为 fx在0，+上为单调增函数， 所以 fx 0 在0，+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页上恒成立即 x2+22ax+1 0 在0，+上恒成立，当 x0，+时，由 x2+22ax+1 0，得：2a2 x+ ，设 gx=x+ ，x0，+ ，则 gx=x+ 2=2，当且仅当 x= 即 x=1 时，gx有最小值2，所以 2a2 2，解得 a 2，所以 a 的取值范围是 ，2；III 要证，只需证，即 ln ，即 ln 0，设 hx=lnx，由II知 hx在1，+上是单调增函数，又1，所以 h h1=0，即 ln 0 成立，得到此题主要考查了学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件， 会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题例 42013 年陕西已知函数( )e ,xf xxR. () 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0) 处的切线方程 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页() 证明: 曲线y = f (x)与曲线2112yxx有唯一公共点 . () 设ab, 比较2abf与( )( )f bf aba的大小, 并说明理由 . 【答案】解 :( ) f (x)的反函数xxgln)(, 则 y=g(x) 过点(1,0)的切线斜率 k=(1)g. 1(1)gx1(x)gk. 过点 (1,0)的切线方程为 :y = x+ 1 () 证明曲线y=f(x) 与曲线1212xxy有唯一公共点 , 过程如下. 则令, 121121)()(22Rxxxexxxfxhx0)0( ,0)0( 0)0(, 1)( )( , 1)( hhhexhxhxexhxx，且的导数因此，单调递增时当单调递减时当)( 0)( 0;)( 0)( 0 xhyxhxxhyxhx0)(,0)0( )( xRxhyhxhy个零点上单调递增，最多有一在所以所 以 , 曲 线y=f(x)与 曲 线1212xxy只 有 唯 一 公 共 点(0,1).(证毕) () 设)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbfbfafaabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2(令xxxexexxgxexxxg)1(1)21 (1)( ,0,)2(2)(则. ）上单调递增，在（的导函数0)( 所以,0)11 ()( )( xgexexxgxgxx, 且,0)0(,),0()(0)( .0)0( gxgxgg而上单调递增在，因此0)(),0(xg上所以在. ,0)2(2)(0baexxxgxx且时，当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页0)(2)2()2(aabeabeabab所以abafbfbfaf)()(2)()(,ba时当练习 2 2006年四川理科 22已知函数22( )ln ()f xxaxxx，( )f x的导数是( )fx。对任意两个不等的正数1x、2x，证明：当0a时，1212()()()22f xf xxxf；当4a时，1212|()() | |fxfxxx。本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。证明： 由22( )lnf xxaxx，得2212121212()()111()()(lnln)222f xf xaxxxxxx22121212121()ln2xxxxax xx x2121212124()()ln222xxxxxxfaxx. 而2222212121212()1()()222xxxxxxx x，又22212121212()()2xxxxx xx x，121212xxx xxx. 12122xxx x，1212lnln2xxx x。0a，1212lnln2xxax xa. 由、，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页2221212121212121214()ln()ln222xxxxxxxxax xax xxx，即1212()()()22f xf xxxf。证法一：由22( )lnf xxaxx，得22( )2afxxxx，121222112222|()() | |(2)(2) |aafxfxxxxxxx12122212122()| | 2|xxaxxx xx x。1212|()() | |fxfxxx122212122()|2| xxax xx x下面证明对任意两个正数1x、2x，有122212122()2xxax xx x恒成立，即证1212122()xxax xx x成立。12121212122()4xxx xx xx xx x设12tx x，24( ) ( )u tttt，则24( )2u ttt。令( )0u t，得32t。列表如下：t3( 0 , 2 )323( 2 , )( )u t0( ) u t极小值33 433( ) 3 4 =108u ta。1212122()xxx xax x对任意两个不等的正数1x、2x，恒有1212|()()| |fxfxxx。证法二：由22( )lnf xxaxx，得22( )2afxxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页121222112222|()() | |(2)(2) |aafxfxxxxxxx12122212122()| | 2|xxaxxx xx x。1x、2x是两个不等的正数12221212121212122()42xxaax xx xx xx xx xx x. 设121tx x，32( )24 ( )u tttt，则( )4 (32) u ttt，列表：t2( 0 , )3232( , )3( )u t0( ) u t极小值38273827u，即122212122()2xxax xx x. 12|()()| fxfx1212122212122()| | 2| |xxaxxxxx xx x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页