2022年空间向量与立体几何 .pdf

名师精编精品教案空间向量与立体几何一、知识网络：二考纲要求：（1）空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测 10 年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离直线的方向向量与平面的法向量用空间向量证平行与垂直问题求空间角求空间距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页名师精编精品教案材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。第一课时空间向量及其运算一、复习目标： 1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2 了解空间向量的基本定理；3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。二、重难点： 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法三、教学方法： 探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。学生阅读复资 P128页，教师点评，增强目标和参与意识。（二） 、知识梳理，方法定位。 （学生完成复资 P128页填空题，教师准对问题讲评） 。1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示， 并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率baABOAOBbaOBOABA)(RaOP加法交换率：. abba加法结合率：).()(cbacba数乘分配率：.)(baba说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3平行向量 (共线向量 )：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作ab。注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。共线向量定理： 对空间任意两个向量a（a 0） 、b，ab的充要条件是存在实数使ba（1）对于确定的和a，ba表示空间与a平行或共线，长度为 |a| ，当0时与B C bO aA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页名师精编精品教案a同向，当0时与a反向的所有向量。（3）若直线 l a，lA，P为 l 上任一点， O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。推论：如果l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OAOPat其中向量a叫做直线 l 的方向向量。在 l 上取aAB，则式可化为.)1(OBtOAtOP当21t时，点 P是线段 AB的中点，则).(21OBOAOP或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB的中点公式。注意：表示式 ( ) 、( ) 既是表示式 , 的基础， 也是常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面平行或a在平面内，我们就说向量a平行于平面，记作a。注意：向量a与直线a的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对 x、y，使. byaxp注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对x、y，使,MByMAxMP或对空间任一定点O ，有.MByMAxOMOP在平面 MAB 内，点 P对应的实数对（ x, y ）是唯一的。式叫做平面MAB 的向量表示式。又. ,OMOAMA. ,OMOBMB代入，整理得.)1(OByOAxOMyxOP由于对于空间任意一点P，只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式） ，点 P就在平面 MAB 内；对于平面 MAB 内的任意一点 P，都满足等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M 、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A、B、P四点共面的充要条件。5空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使.czbyaxp说明：由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页名师精编精品教案的集合就是Rzyxczbyaxpp、,|，这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把 a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量， 二者是相关联的不同的概念； 由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。推论：设 O 、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组zyx、，使.OCzOByOAxOP6数量积（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点 O ，作aOA，bOB，则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作ba，说明：规定 0ba，, 因而ba，=ab，；b；如果ba，=2， 则称a与b互相垂直，记作a在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（ 1） 、 （2）中的两个向量的夹角不同，图（1）中 AOB =OBOA,，图（2）中 AOB =OBAO, 从而有OBOA,=OBOA,=OBOA,. （2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积：baba,cos叫做向量a、b的数量积，记作ba。即ba=baba,cos，向量AB方向上的正射影在e: BAeaABea,cos|（4）性质与运算率eaea,cos。 ()()aba babba=0 ba=b a2|.aa a()abca ba c（三） 典例解析题型 1：空间向量的概念及性质A aB aO a（2）A aB aO a（1）A B ABel 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页名师精编精品教案例 1、有以下命题：如果向量,a b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b的关系是不共线；,O A B C为空间四点，且向量,OAOBOC不构成空间的一个基底，那么点,O A B C一定共面；已知向量, ,a b c 是空间的一个基底，则向量,ab ab c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（） 。()A()B()C()D解析：对于“如果向量, a b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b的关系一定共线”；所以错误。正确。题型 2：空间向量的基本运算例 2、如图：在平行六面体1111DCBAABCD中，M为11CA与11DB的交点。若ABa，ADb，1AAc，则 下 列 向 量中与 BM 相等的向量是（）()A1122abc()B1122abc()C1122abc()Dcba2121解析：显然111)(21AAABADMBBBBM1122abc；答案为 A。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法 . 考查学生的空间想象能力。例 3、已知：,28)1(,0423pynmxbpnma且pnm,不共面 . 若ab, 求yx,的值. 解：ab, 且, 0aba即.42328)1(pnmpynmx又pnm,不共面 ,.8,13,422831yxyx点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。例 4、底面为正三角形的斜棱柱ABC A1B1C1中，D为 AC的中点，求证： AB1平面 C1BD.证明：记,1cAAbACaAB则cbCCDCDCbaADABDBcaAB21,21,11111ABcaDCDB, 11,DCDBAB共面.B1平面 C1BD, AB1/ 平面 C1BD.MC1CB1D1A1ABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页名师精编精品教案（四）强化巩固导练1、已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 F是侧面 CDD1C1的中心，若1AAyABxADAF，求 xy 的值.解：易求得0,21yxyx2、在平行六面体1111DCBAABCD中，M为 AC与 BD的交点，若11BAa，11DAb，AA1c，则下列向量中与MB1相等的向量是 ( A )。A21a21bc B21a21bc C21a21bc D 21a21bc3、 （2009 四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABCAB C 的各条棱长都相等，M是侧 棱1CC的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大是。解析：不妨设棱长为 2，选择基向量,1BCBBBA，则11121,BBBCBMBABBAB05220220522)21()(,cos111BBBCBABBBMAB，故填写o90。（五） 、小结： 1立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用 abab0 进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明 2 运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形， 将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果 3 利用向量求夹角 ( 线线夹角、线面夹角、面面夹角) 有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosbaba 4 异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段， C 、D分别为 l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则AB|nnCD.5 设平面 的一个法向量为n，点 P是平面 外一点，且 Po，则点 P到平面 的距离是 d|nnPPo.A B C D ACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页名师精编精品教案ykiA(x,y,z)Ojxz第二课时空间向量的坐标运算一、复习目标： 1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3 掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式二、重难点： 掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式三：教学方法： 探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、基础知识过关（学生完成下列填空题）1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 , , i j k 表示； （2）在空间选定一点O和一个单位正交基底 , , i j k ，以点O为原点，分别以, ,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、 z 轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量, ,i j k都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2、空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组( , )x y z，使kzjyi xOA，有序实数组( , , )x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作( , , )A x y z， x叫横坐标，y叫纵坐标， z 叫竖坐标3、设 a),(321aaa，b),(321bbb(1) ab。 (2) a(3) ab(4) ab；ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页名师精编精品教案（5）模长公式：若123(,)aa a a， 则222123|aa aaaa（6）夹角公式：1 12233222222123123cos| |a ba ba ba ba babaaabbb（7）两点间的距离公式：若111( ,)A x y z ，222( , , )Bx y z ，则2222212121|()()()ABABxxyyzz(8) 设),(),(222111zyxBzyxA则AB，ABAB的中点 M的坐标为4、直线的方向向量的定义为。如何求直线的方向向量？5、平面的法向量的定义为。如何求平面的法向量？（二）典型题型探析题型 1：空间向量的坐标例 1、 （1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3） ，b=（b1，b2，b3） ，它们平行的充要条件是（）A.a：| a|= b：| b| B.a1b1=a2b2=a3b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数 k，使 a=kb（2）已知向量 a= （2，4，x） ，b=（2，y，2） ，若| a |=6 ，a b ，则 x+y 的值是（）A. 3 或 1 B.3 或1 C. 3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（）A.a=(1，2，3)， b=(3，0，2)， c=(4，2，5) B.a=(1，0，0)， b=(0，1，0)， c=(0，0，1) C.a=(1，1，0)， b=(1，0，1)， c=(0，1，1) D.a=(1，1，1)， b=(1，1，0)， c=(1，0，1) 解析： （1）D；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知0244361642xyx3, 4yx或. 1,4yx；（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。例 2、已知空间三点 A （2，0，2） ，B（1，1，2） ，C （3，0，4） 。设 a=AB， b=AC，（1）求 a和 b的夹角； （2）若向量 k a+b与 k a2b 互相垂直，求 k 的值. 思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果. 解： A(2，0，2)，B（1，1，2） ，C(3，0，4)， a=AB， b=AC， a=(1，1，0)， b=（1，0，2）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页名师精编精品教案(1)cos=| |baba=520011010， a和 b 的夹角为1010。(2) ka+b=k（1，1，0）+（1，0，2）（ k1，k，2） ，k a2b=（k+2，k，4） ，且(k a+b)（k a2b ） ，（k1，k，2）（ k+2，k，4）=(k 1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。则 k=25或 k=2。点拨：第（ 2）问在解答时也可以按运算律做。 （ a+b ）(k a2b )=k2a2k a b 2b2=2k2+k10=0，解得 k=25，或 k=2。题型 2：数量积例 3、 （1） （2008 上海文，理 2）已知向量 a和b 的夹角为 120，且| a |=2 ，| b |=5 ，则（2a b） a=_. （2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)， b =(x2，y2，0) 与向量 c =(1，1，1)的夹角都等于4。(1) 求 x1+y1和 x1y1的值； (2) 求的大小 ( 其中 0)。解析： （1） 答案：13； 解析： （2a b ） a=2a2 b a=2| a|2| a| | b | cos120=2425（21）=13。 （2）解：(1) |a|=| b|=1 ，x21+y21=1，x22=y22=1. 又 a与 c的夹角为4， ac=| a| c|cos4=22222111=26. 又 a c=x1+y1，x1+y1=26。另外 x21+y21=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=(26)21=21. x1y1=41。(2)cos=| |baba=x1x2+y1y2，由(1) 知，x1+y1=26，x1y1=41. x1，y1是方程 x226x+41=0的解. ,426,42611yx或.426,42611yx同理可得,426,42622yx或.426,42622yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页名师精编精品教案 a b，,426,4261221yxyx或.426,4261221yxyxcos=426426+426426=41+41=21. 0 ，=3。评述：本题考查向量数量积的运算法则。题型 3：空间向量的应用例 4、 （1）已知 a、b、c 为正数，且 a+b+c=1，求证：113a+113b+113c43。（2）已知 F1=i +2j +3k，F2=-2i +3j - k，F3=3i -4j +5k，若 F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点 M1（1，-2，1）移到点 M2(3，1，2) ，求物体合力做的功。解析： （1）设 m=(113a，113b，113c) ，n=(1，1，1) ，则| m|=4 ，| n|=3. m n| m| |n| ， m n=113a+113b+113c| m| |n|=43. 当1131a=1131b=1131c时，即 a=b=c=31时，取“ =”号。（2）解： W =Fs=(F1+F2+F3)21MM=14。点评：若 m=(x，y，z) ， n=(a，b，c) ，则由 mn| m | |n| ，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2). 此式又称为柯西不等式 (n=3) 。本题考查 | a| | b | a b 的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a，b ，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。（三） 、强化巩固训练1、(07 天津理， 4)设 a、b 、c 是任意的非零平面向量 , 且相互不共线 , 则（ a b） c（c a）b=0| a| | b | ab | （ b c ）a（ ca）b不与 c垂直（3a+2b ） （3a2b ）=9| a |24| b |2中，是真命题的有（）A.B.C.D.解析：平面向量的数量积不满足结合律. 故假；答案： D 由向量的减法运算可知| a | 、| b| 、| a b| 恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（ b c ） a（ c a） b c =（b c） a c（ c a） b c=0，所以垂直. 故假；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页名师精编精品教案（3a+2b） （3a2b）=9 a a4b b =9| a|24| b |2成立. 故真 . 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。2、已知O为原点，向量3,0,1 ,1,1,2 ,OAOBOCOA BC OA，求 AC 解：设, ,1,1,2OCx y zBCxyz，,OCOA BC OA，0OC OA， BCOAR ，30,1,1,23,0,1xzxyz，即30,13 ,10,2.xzxyz解此方程组，得7211,1,101010 xyz。（四） 、小结： (1) 共线与共面问题； (2) 平行与垂直问题； (3) 夹角问题； (4) 距离问题；运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程第三课时空间向量及其运算强化训练一、复习目标： 1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步熟练理解和掌握上述概念和运算方法，提高学生的灵活和综合运用能力。二、重难点： 空间向量及其运算的综合运用。三、教学方法： 讲练结合，探析归纳。四、教学过程（一） 、基础自测（分组训练、共同交流）1. 有 4 个命题：若 p=xa+yb，则 p 与 a、b 共面；若 p 与 a、b 共面，则 p=xa+yb；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页名师精编精品教案若MP=xMA+yMB，则 P、M 、A、B共面；若 P、M 、A、B共面，则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是（ B ） 。A.1 B.2 C.3 D.4 2. 下列命题中是真命题的是 ( D )。A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.若| a|=| b| ，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB，CD满足|AB| |CD| ，且AB与CD同向，则ABCDD.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则ABCD3. 若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 ab，则（ C ） 。A.x=1,y=1 B.x=21，y=-21C.x=61，y=-23D.x=-61，y=234. 已知 A（1，2，3） ，B（2，1，2） ，P（1，1，2） ，点 Q在直线 OP上运动，当QAQB取最小值时，点 Q的坐标是 . 答案38,34,345. 在四面体 O-ABC 中，OA=a,OB=b, OC=c,D为 BC的中点,E 为 AD的中点， 则OE= (用a, b, c 表示). 答案21a+41b+41c（二） 、典例探析例 1、 如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， 设1AA=a，AB=b，AD=c，M ，N，P分别是 AA1，BC ，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：（1）AP； （2）NA1； （3）MP+1NC. 解（1）P是 C1D1的中点，AP=1AA+11DA+PD1=a+AD+2111CD=a+c+21AB=a+c+21b. （2）N是 BC的中点，NA1=AA1+AB+BN=-a+b+21BC=-a+b+21AD=-a+b+21c. （3）M是 AA1的中点，MP=MA+AP=21AA1+AP=-21a+(a+c+21b)= 21a+21b+c，又1NC=NC+1CC=21BC+1AA=21AD+1AA=21c+a，MP+1NC=(21a+21b+c) +(a+21c)=23a+21b+23c. 例 2、如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a，点 M 、N 分别是 AB 、CD的中点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页名师精编精品教案（1）求证： MN AB ，MN CD ； （2）求 MN 的长；（3）求异面直线 AN与 CM夹角的余弦值 . （1）证明设AB=p, AC=q，AD=r. 由题意可知： | p|=| q|=| r |=a ，且 p、q、r 三向量两两夹角均为60. MN=AN-AM=21（AC+AD）-21AB=21（q+r - p） ，MNAB=21（q+r - p） p=21（qp+r p- p2）=21（a2cos60+a2cos60-a2）=0. MN AB,同理可证 MN CD. （2）解由（1）可知MN=21（q+r -p）|MN|2=MN2=41（q+r -p）2=41q2+r2+p2+2（qr -pq-r p） =41a2+a2+a2+2（22a-22a-22a） =412a2=22a. |MN|=22a, MN的长为22a. (3) 解 设向量AN与MC的夹角为. AN=21(AC+AD)=21( q+r ), MC=AC-AM=q-21p, ANMC=21（q+r ） （q-21p）=21（q2-21qp+r q-21rp）=21(a2-21a2cos60+a2cos60-21a2cos60)=21（a2-42a+22a-42a）=22a. 又|AN|=|MC|=a23，ANMC=|AN| |MC| cos=a23a23cos=22a. cos=32，向量AN与MC的夹角的余弦值为32，从而异面直线AN与 CM 夹角的余弦值为32. 例 3、（1）求与向量 a=(2,-1,2)共线且满足方程 ax=-18 的向量 x 的坐标；（2）已知 A、B、C三点坐标分别为（ 2，-1，2） ， （4，5，-1） ， （-2，2，3） ，求点 P的坐标使得AP=21（AB-AC） ；（3）已知 a=（3，5，-4 ） ，b=（2，1，8） ，求： ab；a 与 b 夹角的余弦值；确定，的值使得a+b 与 z 轴垂直，且（a+b） （a+b）=53. 解（1）x 与 a 共线，故可设 x=ka，由 ax=-18 得 aka=k| a|2=k（414）2=9k，9k=-18，故 k=-2. x=-2a=（-4 ，2，-4）. （2）设 P（x，y，z） ，则AP=（x-2 ，y+1，z-2 ） ，AB=（2，6，-3） ，AC=（-4 ，3，1） ，AP=21（AB-AC）. （x-2 ，y+1，z-2 ）=21 （2，6，-3）- （-4 ，3，1） =21（6，3，-4 ）=(3，23，-2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页名师精编精品教案2223132zyx，解得0215zyxP点坐标为 (5，21，0). （3）ab=（3，5，-4） （2，1，8）=32+51-48=-21. | a|=222) 4(53=52, |b|=222812=69, cosa, b=bbaa =692521=-2301387. a 与 b 夹角的余弦值为 -2301387. 取 z 轴上的单位向量 n=（0，0，1） ，a+b=（5，6，4）. 依题意530bbbaaaa即534, 6, 584,5 ,2301 ,0 ,084,5 ,23故531829084解得211. （三） 、强化训练： 如图所示，正四面体VABC 的高 VD的中点为 O ，VC的中点为 M.（1）求证： AO 、BO 、CO两两垂直；（2）求DM,AO. (1) 证明设VA=a,VB=b, VC=c, 正四面体的棱长为1, 则VD=31( a+b+c),AO=61( b+c-5a), BO=61( a+c-5b), CO=61( a+b-5c) AOBO=361（ b+c-5a ）（ a+c-5b ） =361（18a b-9| a|2）=361（1811cos60-9）=0.AOBO，AO BO ，同理 AO CO ，BO CO ，AO 、BO 、CO两两垂直 . （2）解DM=DV+VM=-31（a+b+c）+21c=61(-2 a-2b+c). |DM|=22261cba=21，|AO|=2561acb=22，DMAO=61（-2a-2b+c） 61（b+c-5 a）=41，cosDM,AO=222141=22，DM,AO(0,), DM, AO=45. （四） 、小结： 本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似， 具有类似的运算法则 .一个向量在不同空间的表达方式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页名师精编精品教案不一样，实质没有改变 .因而运算的方法和运算规律结论没变。不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式 .空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。（五） 、补充：1、已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于a, 点 E、F分别是 BC 、AD的中点，则AEAF的值为（ C ）A.a2B.221aC.241aD.243a2、已知 A（4，1，3） ，B（2，-5，1） ，C为线段 AB上一点，且ABAC=31，则 C点的坐标为( C ) A.)252127(，B. )2338(，C.)371310(，D. )232725(，3、如图所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为 60. (1)求 AC1的长； （2）求 BD1与 AC夹角的余弦值 . 解记AB=a，AD=b，1AA=c，则| a|=| b|=| c|=1 ， a, b=b, c=c, a=60, ab=bc=ca=21. （1）|1AC|2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=1+1+1+2 (21+21+21)=6, |1AC|=6, 即 AC1的长为6. (2)1BD=b+c- a,AC=a+b, |1BD|=2,|AC|=3, 1BDAC=（b+c-a） （a+b）=b2- a2+ac+bc=1.cos1BD,AC=ACBDACBD11=66. AC与 BD1夹角的余弦值为66. 立体几何中的向量方法-空间夹角和距离一考纲要求：1能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二命题走向：空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本节的考查主要有以下情况：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页名师精编精品教案D B A C （1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。预测 20XX 年高考对本节内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查。第一课时空间夹角和距离一、复习目标： 1能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二、重难点： 向量法在立体几何中求空间的夹角和距离应用。三、教学方法： 讲练结合，探析归纳四、教学过程（一） 、谈最新考纲要求及新课程高考命题考查情况，促使积极参与。学生阅读复资 132 页，教师讲解，增强目标与参与意识。（二） 、知识梳理，方法定位 （学生完成复资 P132页填空题，教师准对问题讲评）1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。（1）异面直线所成的角的范围是2,0(。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。（2） 直线与平面所成的角的范围是2,0。 求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若 为线面角， 为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页名师精编精品教案形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心 )；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指,0(，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足） ，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式：cosSS(S为原斜面面积 ,S为射影面积 ,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立 .是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。2空间的距离（1）点到直线的距离：点到直线a的距离为点到直线a的垂线段的长，常先找或作直线 a所在平面的垂线，得垂足为，过作a 的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线a 的距离。在直角三角形中求出的长即可。点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜