2022年第3章空间向量与立体几何§3..1..5空间向量运算的坐标表示 .pdf

1 / 6 31.5 空间向量运算的坐标表示知识点一 空间向量的坐标运算设 a(1,5，1，b(2,3,5(1若(kab(a3b，求 k；(2若(kab(a3b，求 k. 解(1kab(k2,5k3， k5，a3b(132,533， 135(7， 4，16因为 (kab(a3b，所以错误! 错误! 错误! ，解得 k错误! .DT3vagJXx7 (2因为 (kab(a3b，所以 (k27(5k3(4(k5(160，解得 k错误! .DT3vagJXx7 【反思感悟】以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握若a(x1， y1， z1， b (x2，y2， z2， 则ab? x1 x2且 y1 y2， 且 z1 z2( R；ab? x1x2y1y2z1z20.DT3vagJXx7 已知 A(3,3,1，B(1,0,5，求：(1线段 AB的中点坐标和长度；(2到 A，B 两点距离相等的点P(x，y，z的坐标 x，y，z 满足的条件解 (2，错误 ! ，3，所以线段AB 的中点坐标是 (2，错误! ，3DT3vagJXx7 |AB|错误! 错误! . (2点 P(x，y，z到 A，B两点距离相等，则错误! 错误! ，DT3vagJXx7 化简，得 4x6y8z70.即到 A，B两点距离相等的点P(x，y，z的坐标 x，y，z满足的条件是 4x6y8z70.DT3vagJXx7 知识点二证明线面的平行、垂直在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CD 的中点，求证： D1F平面 ADE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 / 6 证明, 不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则 D0，0，0）， A2，0，0），E2，2，1），F0，1，0），D1，错误! (0,1，2，错误! 错误! 0000，所以D1FAD.又错误! (0,2,1，所以 错误! 、错误! 0220，所以D1FAE.又 ADAEA，所以 D1F平面 ADE.DT3vagJXx7 【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到DT3vagJXx7 已知 A(2,3,1，B(2，5,3，C(8,1,8，D(4,9,6，求证：四边形 ABCD 为平行四边形DT3vagJXx7 证明 设 O 为坐标原点，依题意OA=-2，3，1），OB= ( 2,3,1 = (4, 8 , 2.同理可得DC= (4, 8,2,AD = (6,6,5,BC= (6,6,5.由AB =ABDC，AD =BC，可知ABAB，ADBC，所以四边形 ABCD 是平行四边形 . 知识点三 向量坐标的应用棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面 BB1C1C、平面 ABCD 的中心DT3vagJXx7 (1求证： B1O3PA；(2求异面直线 PO3与 O1O2所成角的余弦值；(3求 PO2的长(1证明以 D 为坐标原点， DA、DC、DD1 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.DT3vagJXx7 则B1(1,1,1 ， O3( 错误!，错误 ! ,0 ， P(0,0， 错误! ，A(1,0,0，DT3vagJXx7 13B O ( 错误! ， 错误! ， 1， 错误! (错误! ， 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 / 6 错误! ，1，错误 ! (1,0，错误! ，DT3vagJXx7 13B O 错误! 错误! 0错误! 0，DT3vagJXx7 即13B O错误!B1O3PA. (2 解O1(错误! ， 错误! ， 1， O2(错误! ， 1， 错误! ，DT3vagJXx7 则12O O =0，12，12）.又3PO =P(0,0，错误! ，O2(错误! ，1，错误! ，DT3vagJXx7 2PO(错误! ，1,0|2PO|错误! 错误! .DT3vagJXx7 【反思感悟】在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单DT3vagJXx7 直三棱柱ABCA1B1C1的底面 ABC 中，CACB1，BCA90 ，AA12，N 是 AA1的中点DT3vagJXx7 (1求 BN 的长；(2求 BA1，B1C所成角的余弦值解以 C 为原点建立空间直角坐标系，则(1B(0,1,0，N(1,0,1，BN错误!错误! . (2A1(1,0,2，C(0,0,0，B1(0,1,21BA(1，1,2，错误! (1， 1,2，错误! (0，1，2，DT3vagJXx7 1BA 错误! 1 4 3， |1BA|错误 ! ， |错误! |错误! ，DT3vagJXx7 cos1BA，错误! 1111|B CBABAB C错误! 错误! .BA1，B1C所成角的余弦值为 错误!.DT3vagJXx7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 / 6 一、选择题1已知点 A(x1，y1，z1，则点 A关于 xOz平面的对称点A的坐标为 ( A(x1，y1，z1 B(x1，y1，z1 C(x1，y1，z1 D(x1，y1，z1 答案C 解读点 A 与 A关于 xOz 平面对称，即AA平面 xOz.且A、A到面 xOz的距离相等，所以A 与 A的 x，z的值相同， y 的值互为相反数DT3vagJXx7 2已知a(2,3， 4，b(4， 3，2，b错误! x2a，则 x 等于(DT3vagJXx7 A(0,3，6 B(0,6，20 C(0,6，6 D(6,6，6 答案B 解读b错误! x2a，x4a2b(0,6，203已知a(sin ，cos ，tan ，b(cos ，sin ，错误! ，有ab，则 等于(DT3vagJXx7 A错误! B.错误!C2k 错误! (kZ Dk 错误! (kZDT3vagJXx7 答案D 解读a b2sin cos 1sin2 10，2 2k 错误! ， k 错误! . 4若向量a(1， ，2，b(2， 1,2，cosa，b错误! ，则 为(DT3vagJXx7 A2 B2 C2或错误! D2或错误 !答案C 解读由 cosa，b错误! 错误! 错误 ! ，DT3vagJXx7 化得 552108 40，由此可解得 2或 错误! . 5已知 a(cos ，1，sin ，b(sin ，1，cos ，则向量 ab与 ab的夹角是 (DT3vagJXx7 A90 B60 C30 D0答案A 解读|a|b|错误! ，(ab (aba2b20. 二、填空题6 模等 于 2错误! 且 方向 与 向 量 a(1,2,3相同的向量为_ DT3vagJXx7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 / 6 答案(错误 ! ，2错误! ，3错误! 解读设 b a ( 0则 2429228，22，故 错误! . 7已知三个力f1(1,2,3， f2(1,3， 1，f3(3，4,5，若 f1，f2，f3共同作用于一物体上，使物体从点M1(1，2，1移动到点 M2(3,1,2，则合力所做的功是 _DT3vagJXx7 答案16 解读合力 ff1f2f3(3,1,7，位移 s(2,3,1，功 wfs(3,1,7 (2,3,163716. 8已知点A(2， 5，1，B(1，4，2，C( 3，3， 在同一直线上，则 _， _.DT3vagJXx7 答案73 解读AB(3,1，1，错误! ( 1,2， 1，则AB错误! ，所以 错误! 错误! 错误! ，DT3vagJXx7 故 16， 12.即 7， 3. 三、解答题9E，F 分别是正方体ABCDA1B1C1D1中线段 A1D，AC 上的点，且 DEAF错误! AC.DT3vagJXx7 求证： (1EFBD1；(2EFA1D. 证明(1 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则A(1,0,0，B(1,1,0，C(0,1,0，D(0,0,0，A1(1,0,1，D1(0,0,1，E11,0,33，F2 1,03 3. 错误! 错误! ，DT3vagJXx7 1BD(1，1,13错误! . 1BD错误! ，又 F?BD1，EFBD1. ，EF 错误! 错误 ! (1,0，1DT3vagJXx7 错误 ! 错误! 0，EF错误! ，即 EFA1D. 10.,如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点 E在 CC1上且 C1E=3EC.DT3vagJXx7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 / 6 证明： A1C平面 BED. 证明以 D 为坐标原点，射线DA 为 x 轴的正半轴，射线DC为 y 轴的正半轴，射线DD1为 z 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Dxyz.DT3vagJXx7 依题设 B(2,2,0，C(0,2,0，E(0,2,1，A1(2,0,4. DE(0,2,1，错误! (2,2,0，1AC(2,2，4，1DA(2,0,4因为1AC 错误 ! 0，1A CDE(2,2，4，故 A1CBD，A1CDE. 又 BDDED，所以 A1C平面 BED. 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页