2022年第9章多元函数微分法及其应用近年试题. .pdf

精品资料欢迎下载0809 B 一、填空题 （每小题 3 分，共 18 分）2、设)ln( xyz，则其全微分dz11dxdyxy3、函数xyxyu2222的所有间断点是. 2(, ) |2 ,x yyx xR yR二、选择题 （每小题 3 分，共 15 分）1、22),(yxxyyxf，则极限),(lim00yxfyx（ ）（A）不存在（B）1（C）2（D）0A 当点( , )P x y 沿曲线 ykx 趋向 (0,0) 时，222200lim( ,)limxxy kxk xf x yxk x21kk显然，当k 取值不同是，极限也不相同。所以22( , )(0,0)limx yxyxy不存在2、在曲线32,tztytx所有切线中，与平面433zyx平行的切线（ ）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有 3 条；（D）不存在曲线的切向量2( ),( ),( )=(12 ,3)Tttttt，,平面的法向量(1,3,3)n22(12 ,3) (1,3,3)1690tttt，,2(31)0t,1.3t得所以只有一条切线满足条件.3、点0, 0是函数xyz的（）（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对分析 : 令0,0 xyzyzx,得(0,0)是驻点 ,但点 (0,0)是xyz的鞍点 ,不是极值点 . 四、计算题 （每小题 8 分，共 32 分）1、设,sinyxvxyuvezu求xz和yz解zffufvxxuxvxe sine cose sin()cos()uuxyv yvyxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页精品资料欢迎下载e sine cosuuzffufvv xvyyuyvyesin()cos()x yxxyxy五、解答题（ 每小题分 10，共 20 分）1、要造一个容积为定数a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为,zyx则问题就是在条件( , , )0 x y zxyza下求函数22Sxyxzyz)0,0,0(zyx的最小值 . 作拉格朗日函数( , , )22(),L x y zxyxzyzxyza求其对, , ,x y z的偏导数，并使之为零，得到20 ,20 ,2 ()0 ,0.yzyzxzxzxyxyxyza因为zyx,都不等于零，得11,22zxy代入0 xyza,得33312 ,2 ,2 ,2xa ya za这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在， 所以最小值就在这个可能的极值点处取得. 即长宽高为33312 ,2 ,22aaa时, 最小表面积233 (2 ) .Sa0910B 一、填空题 （每小题 2 分，共 10 分）2 、设 函 数),(yxfz是 由 方 程zzyx4222给 出 ， 则 全 微 分dz2 d224x xydyzdzdz,2xdxydydzz.3、曲面14222zyx在点)3,2, 1(P处的切平面方程为. 切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2 , 2 ,2 )nxyz(2, 4,6),切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.xyzxyz或二、选择题 （每小题 2 分，共 10 分）1、二元函数),(yxf在点),(00yx处可微是两个偏导数),( , ),( 0000yxfyxfyx都存在的（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页精品资料欢迎下载（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件 .四、计算题 （每小题 10 分，共 40 分）1、设vuzln2，而yxu、yxv23，求:xz、yz解：22223323ln2yyxxyxyxxz，223223223ln2yyxxyxyxyz1011B 一、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）(1) 设二元函数)1ln() 1(yxxezyx，则)0, 1(|dz . (1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1) |()|1xyxyxyxdzexeydxxedyy(1,0)d2ed(e 2)dzxy(2) 旋转抛物面122yxz在点)4, 1 ,2(处的法线方程是 . 法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2 , 2 ,1)sxy(4, 2, 1),法线方程是214421xyz.二、单项选择题 （每小题 3 分，共 15 分）(4) 设),(yxfz的全微分为ydyxdxdz则点)0 ,0( ( C ) .A不是),(yxf的连续点；.B不是),(yxf的极值点；.C是),(yxf的极小值点；.D是),(yxf的极大值点 . 分析 :z,xyx zy, 得z1,1,0 xxyyxyzz, 由210,10ACBA, 则点)0 ,0(是),(yxf的极小值点 . 三、求偏导数 （每小题 10 分，共 20 分）（1）设),(3xyxyfxz，其中f具有二阶连续偏导数. 求yz；22yz；yxz2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页精品资料欢迎下载解: 231223()zyx fxyffxx23123x fx yfxyf3121()zxxffyx4212x fx f242122()zx fx fyy421112212211( )()xfxfxfxfxx531112222x fxx fxfyxz22zy x4212()x fx fx3421111222122224()2()yyx fxfyfxfxfyfxx3412112242.x fxfx yfyf(2) 设),(yxzz是方程)arc tan(zyxxyz在) 1, 1 ,0(点确定的隐函数，求xz及)1, 1 , 0(yz解:令)arctan(),(zyxxyzzyxF1 分则2)(11zyxxyFz2)(11zyxyzFx2)(11zyxxzFy6 分1)(1 1)(1 22zyxxyzyxyzFFxzzx；8 分11)(1 1)(122)1,1 ,0(zyxxyzyxxzFFyzzy10 分六、应用题 （本题满分 10 分）从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解： 设另两边长分别为yx,，则222lyx，周长lyxC 2分设拉格朗日函数)(),(222lyxlyxyxF4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页精品资料欢迎下载令0021021222lyxFyFxFyx6 分解方程组得lyx22为唯一驻点，且最大周长一定存在8 分故当lyx22时，最大周长为lC)21(10 分1112B 一、填空题 （每小题 2 分，共 10 分）1. yxz2在点)1 ,1 (处的._dz22,dzxydxx dy112.xydzdxdy2. 设函数yxyaxxyxf22),(22在点)1, 1 (取得极值，则常数_a. 211(1, 1)(4)0 xxyfxay,11(1, 1)220yxyfxy,所以5.a例 36设函数22( , )22f x yxaxxyy 在 (1, 1)处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型分析这是二元函数求极值的反问题，即知道( , )f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题解因为( , )f x y 在 ( , )x y 处的偏导数均存在，因此点(1, 1)必为驻点，则有2(1, 1)(1, 1)(1, 1)(1, 1)40220fxayxfxyy，因此有410a，即5a因为22(1,1)4fAx，2(1,1)(1,1)22fByx y，22(1,1)(1,1)22fCxy，2242( 2)40ACB，40A，所以，函数( , )f x y 在 (1, 1)处取得极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页精品资料欢迎下载二、选择题 （每小题 2 分，共 10 分）3. 在点P处函数),(yxf的全微分df存在的充分条件为（）(A)yxff ,均存在 (B)f连续(C)f的全部一阶偏导数均连续 (D)f连续且yxff ,均存在三、计算题 （每小题 8 分，共 40 分）1. 设),(yxzz是由方程zzyx2222所确定的隐函数，计算22,xzxz的值 . 解: 设222( , , )2F x y zxyzz，则2xFx，2yFy，22,zFz2,221zxxxzz22()1zxxxz21(1)xzxzz22231(1)1(1)(1)xzxzxzzz4. 求函数zxyzxyu在点)3, 1 ,2(沿着从该点到点)15,5 ,5(的方向导数 . 解方向(3,4,12)l034 12,.13 13 3l1312cos,134cos,133cos3)3 , 1 ,2(,5)3, 1 ,2(,4)3 ,1 ,2(zyxuuu, 1368coscoscoszyxuuulz.五、证明题 （每小题 7 分，共 7 分）证明22( ,)(0,0)( , )0( ,)(0,0)xyx yf x yxyx y在)0,0(点偏导数存在，但不可微. 证: ( ,0)0,(0,)0f xfy, 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.xxxfxffx00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.yyyfyffy( ,)(0,0)f x y所以函数在处可导 .3 分2202200lim),(lim)0 ,0()0 ,0(limyxyxyxyxfyfxfzyx当点(,)Pxy 沿曲线 ykx趋向 (0,0) 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页精品资料欢迎下载22222222000()limlimlim()()()()xxy kxx yx ykxxyxyxkx21kk. 显然，当k 取值不同是，极限也不相同。所以220limx yxy不存在这表示当0时,(0,0)(0,0)()xyzfxfyo( , ),(0,0)f x y所以函数在点不可微 .1213B 一、填空题 （每小题 2 分，共 10 分） (2) 极限xyxyyx11lim)2,0(),( . 12. 分子有理化(3) 设二元函数xyez，则 dz . xyxydzye dxxe dy二、选择题 （每小题 2 分，共 10 分）(1) 设函数22),(yxxyyxf，则极限),(lim)0,0(),(yxfyx() (A) 0. (B) 1.(C) 2 .(D) 不存在 . 当点( , )P x y 沿曲线 ykx 趋向 (0,0) 时，222200lim( , )limxxy kxkxfx yxk x21kk显然，当k 取值不同是，极限也不相同。所以22( ,)(0,0)limx yxyxy不存在 (2) 二元函数),(yxf在点),(00yx处的全微分存在是它在该点连续的( )(A) 充分条件 .(B) 必要条件 .(C) 充分必要条件 .(D) 既非充分也非必要条件. 如果函数在一点可微分 , 则函数在该点连续三、计算题 （每小题 8 分，共 40 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页精品资料欢迎下载(1) 设33xyyxz，求xz，yz，yxz2和22yz. 解: 233,zx yyx323,zxy xy22233,zxyx y226.zxyy(2) 设),(yxzz是由方程yzzxln所确定的隐函数，求xz和yz. 解 I ：用隐函数求导公式yzzxzyxFln,，,1zxF,1yyFzzxzF12,112zxzzzxzxz)(1122zxyzzzxyyz解 II ：将z看作yx,的函数，两边对x求导，得：xzzzxzxz12即zxzxz，同理两边对y求导得)(2zxyzyz解 III：将方程两边求全微分，得：ydyzdzzxdzzdx2，解出dz得：dyzxyzdxxzzdz2zxzxz，)(2zxyzyz将 z 看作yx,的函数，继续求导，即得二阶偏导数：3222xzzxz，322222xzyxzyz，322xzyxzyxz四、应用题 （每小题 10 分，共 20 分）(1) 求旋转抛物面22yxz上垂直于直线035201zyxzyx的切平面方程 . 解: 令22( , , )F x y zxyz,任取旋转抛物面上一点( , , )M x y z ，该点的法向量(,)(2 ,2 , 1)xyznFF Fxy, 已知直线的方向向量111(3, 4,1)125ijks精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页精品资料欢迎下载因为所求平面的法向量与已知直线的方向向量平行, 221341xy, 所以3,2,2xy代入22yxz,得925444z, 所以所求的切平面方程为3253()4(2)()024xyz或253404xyz. 注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求1. 把, y z看成是 x的函数，在方程组102530 xyzxyz中对x求导，得101250dydzdxdxdydzdxdx，解得4313dydxdzdx则方向向量4 1(1, ).3 3s2. 令( , , )1F x y zxyz，( , , )253G x y zxyz，直线的方向向量11 11 11(,)(3, 4,1)2551 12T， (2) 求函数1yxz在条件822yx下的最大值与最小值 .解令22( , , )1(8),F x y zxyxy，于是由2212012080 xyFxFyFxy解得22,.22xxyy即 (2,2) ,( 2, 2) 为可能的极值点，可能的极值(2,2)5z, (2,2)3z,从而所求函数的最大值是(2,2)5z，最小值是(2,2)3z.五、综合题 （每小题 10 分，共 20 分） (2) 设)(xf是定义在), 0上的连续函数，D 是由圆222Ryx和直线tanxy，0y所围成的区域在第一象限部分（0R，20）. 记DdxdyyxfRF)(),(22，求RF2.解: 区域 D 用极坐标表示(, ) |0,0,RDdxdyyxfRF)(),(222()Dfd d200()Rdfd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页精品资料欢迎下载FR200()RdfdR20()f RRdRF220()f RRd2().f RR0607高数 A 一、填空题 （每小题 4 分，共 32 分）一、填空题（本题共5 小题，每小题4 分，满分20 分）1. 函数22arccos),(yxzzyxf的定义域为_. 2222( , , ) |,0 x y zzxyxy5. 曲面224yxz上点 P(1,1,2) 处的切平面方程为 . 切平面的法向量(1,1,2)( 2 , 2 , 1)|( 2, 2, 1)nxy切平面方程2(1)2(1)20 xyz或2260 xyz. 二、单项选择题（本题共 5 小题，每题4 分，满分20 分）1. 考虑二元函数点处在),(),(00yxyxf的下面 4 条性质：,连续,两个偏导数连续,可微,两个偏导数存在若用QP表示可由性质 P 推出性质Q，则有 A ( A) ; (B ) ; (C) ; (D) . 2. 坐标原点 (0,0) 是函数xyyxz532的 B (A) 既是驻点也是极值点；(B) 驻点但非极值点；(C) 极值点但非驻点；(D) 既非驻点也非极值点 . 2250ACB,所以(0,0) 是驻点但非极值点三 、计算题一（本题共两小题，满分15 分）1.已知xzyxz求,tanln、xyz2；解: 2sec11cot,tanxzxyxxyy yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页精品资料欢迎下载221(cot)zzxy xx yyy y22311cotcsc.xxyyyy2.已知10222zyxzyx，求dxdydxdz和. 解: 注意( ),( ).yy xzz x 在方程组222101xyzxyz中对 x求导，得102220dydzdxdxdydzxyzdxdx，解得.dyxzdxzydzyxdxzy0708高数 A一、填空题（本题共5 小题，每小题4 分，满分20 分）1.极限._sin11lim)0,0(),(xyxyyx( ,)(0,0)111lim.sin()2sin()(11)x yxyxyxyxyxy2.曲面3xyzez上点 P(2,1,0) 处的切平面方程为 . 设( , , )3zF x y zezxy, 切平面的法向量(2,1,0)( , ,e1)|(1 ,2,0)zny x切平面方程(2)2(1)0 xy或240 xy. 二、单项选择题（本题共5 小题，每题4 分，满分20 分）1. 设233yxxz, 则它在点 (1,0) 处( B ). ( A) 取得极大值 ; (B ) 无极值 ; (C) 取得极小值 ; (D) 无法判定是否有极值. 解: 2(1,0)(1,0)|33|0 xzx,(1,0)(1,0)|2|0yzy. (1,0)(1,0)|6 |6,xxzx(1,0)|2yyCz(1,0)|0 xyBz, 2120,ACB, 所以函数在点(1,0) 处无极值 .三 、计算题（本题共两小题，满分14 分）1. (7 分) 设函数),(yxxyfz其中f具有二阶连续偏导数,求22xz. 1(7 分) 解:21ffyxz 3分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页精品资料欢迎下载2212112222ffyfyxz 7分2.(7 分) 设函数zzyx2222，求yxzyzxz2,.解: 令),(zyxFzzyx2222, 1分22,2,2zFyFxFzyx 2分,1zxFFxzzx,1zyFFyzzy 4分将z看作yx,的函数 ,继续求导 ,得32)1(zxyyxz7 分0809A 一、填空题（每小题2 分，满分10 分）1.极限._11lim)0, 1(),(xyxyyx( ,)(1,0)1 1limx yxyxy1.211xyxy2.曲面22yxz在点 (1,1,2) 处的切平面方程为 .设22( , , )F x y zxyz,切平面的法向量(1,1,2)(2 ,2 , 1)|(2,2, 1)nxy切平面方程2(1)2(1)(z2)0 xy或2220 xyz. 二、选择题（每题2 分，满分10 分）1. 函数),(yxf在),(00yx可微是它在该点两个一阶偏导数都存在的( A ). ( A) 充分条件 ; (B ) 必要条件 ; (C) 充要条件 ; (D) 非充分亦非必要条件. 2. 设xyz在点 (0,0) 处( C ). ( A) 取得极大值 ; (B ) 取得极小值 ; (C) 无极值 ; (D) 无法判定是否有极值. 三 、求偏导数或全微分（每小题8 分，满分24 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页精品资料欢迎下载1.设函数44224zxyx y,求 dz 和22xz. 解: 3248,zxxyx3248,zyx yy3232(48)(48),dzxxydxyx y dy232222(48)128.zxxyxyxx2. 设,23,ln2yxvyxuvuz，求yzxz,.解：22223323ln2yyxxyxyxxz，223223223ln2yyxxyxyxyz3 设),(yxzz由(,)zf xyz xyz确定，f有一阶连续偏导，求,zzxy解: 设( , , )(,).F x y zzf xyz xyz则12(),xFfyzf1212(),1()yzFfxzfFfxyf1212,1()xzFyzffzxFxyff1212.1()yzFxzffzyFxyff六、 （8 分） 求函数)4)(6(),(22yyxxyxf的极值解：解方程组22( ,)(62 )(4)0,( ,)(6)(42 )0 xyfx yxyyfx yxxy求得以下五组解30066;,20404xxxxxyyyyy于是驻点(0,0);(0,4);(6,0);(6,4);(3,2), 又22( , )28 ;( , )4(3)(2);( , )212 ,xxxyyyfx yyy fx yxyfx yxx所以1. 在),(00处(0,0)0,(0,0)24,(0,0)0 xxxyyyAfBfCf, 22240,ACB故(0,0)f不是极值；2. 在(0,4)处(0,4)0,(0, 4)24,(0, 4)0 xxxyyyAfBfCf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页精品资料欢迎下载22240,ACB故(0,0)f不是极值；3. 在(6,0)处(6,0)0,(6,0)24,(6,0)0 xxxyyyAfBfCf22240,ACB故(6,0)f不是极值；4. 在(6,4)处(6,4)0,(6,4)24,(6,4)0 xxxyyyAfBfCf22240,ACB故(6,0)f不是极值；5. 在(3,2)处(3,2)80,(3,2)0,(3,2)18xxxyyyAfBfCf21440,ACB故函数在(3,2)点取得极大值，极大值为36. 综上所述，函数的极大值为36，无极小值 . 0910高数 A 一、填空题 （每小题 3 分，共 18 分）1. 设0 xyzez，则xz. zzyzxexy. 3. 函数22yxz的全微分为 . 22xdxydy二、选择题 （每小题 3 分，共 18 分）4. 曲面3zyx在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为 B (A) 3；(B) 3；(C) 9；(D) 1. 三、计算题 （每小题 8 分，共 32 分）1. 设yxzyxz2sin，求. 解：yxyxzcos1；yxyxyxyyxzsincos1322四、应用题 （每小题 8 分，共 16 分）1.在已给的椭球面1222222czbyax内的一切内接长方体（各边分别平行于坐精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页精品资料欢迎下载标轴）中，求其体积最大者. 解： 此题是条件极值，约束条件是内接于椭球面 由椭球的对称性，不妨设),(zyx是该球面上位于第卦限的任一点，则约束条件为1222222czbyax，本题不易变为一元函数，采用拉格朗日数乘法解之。设内接长方体的相邻边长为)0,(2,2,2zyxzyx，其体积为：xyzV8. 构造拉格朗日函数xyzzyxL8),()1(222222czbyax求得( , , ),333abcx y z, xyzV8=338abc六、 （8 分）设函数 f (u)在(0,+ )内具有二阶偏导数，且)(22yxfz满足等式02222yzxz. 验证0)()(uufuf； 若,1)1 (,0)1 (ff求函数 f (u)的表达式 . 解： 设22yxu，则)()(1)()();(32222ufuxufuufuxxzufuxxz.2分同理，)()(1)()(32222ufuyufuufuyyz由02222yzxz0)(1)(ufuuf. .4分 设dudpufpuf)(,)(，则原方程化为：udupdppududp01积分得：uCp，即,)(uCuf .6分由, 1)1 (f得 C=1. 于是1|ln)(Cuuf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页精品资料欢迎下载代入0)1(f得： C1=0. 函数 f (u)的表达式为：|ln)(uuf. .8分1011高数 A 一、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）1、_)sin(lim)2,0(),(xxyyx. 2二、选择题 （每小题 3 分，共 15 分）1、设 可 导 函 数),(yxf满 足0),(),(0000yxfyxfyx则( B ) ),(00yxA、是),(yxf的 极值点),(00yxB、是),(yxf的 驻点),(00yxC、是),(yxf的 连续点、D),(yxf在),(00yx处可微分三、求下列函数的导数 （每小题 6 分，共 18 分）1、已知xyzarctan，求yzxz,解:22222221,1 ()1()yzyzxxxyyxxyyxyxx2、已知0 xyzez，求yzxz,解: 设( , , ).zF x y zexyz则,xFyz,zyzFxz Fexy , ,xzzFzyzxFexy.yzzFzxzyFexy3、已知),(22yxxyfz，求xz，yz解: 122,zyfxfxyz122.xfyf1112高数 A 一、填空题 （每小题 2 分，共 10 分）(1) 极限yxyyx)sin(lim)0, 0(),( . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页精品资料欢迎下载0 二、选择题 （每小题 2 分，共 10 分）(1) 函数),(yxf在点),(00yx处的全微分存在的充分条件是( )(A) ),(yxf在点),(00yx处的两个一阶偏导数都存在.(B) ),(yxf在点),(00yx处连续 .(C) ),(yxf在点),(00yx处的两个一阶偏导数都连续.(D) ),(yxf在点),(00yx处连续并且两个一阶偏导数都存在. (2) 设32yxz, 则它在点)0,0(处 ( ) (A) 取得极大值 .(B) 无极值 .(C) 取得极小值 .(D) 无法判定是否有极值 . 解：解方程组220,30 xyzxzy求得解0.0 xy于是驻点(0,0),又( ,)2;( ,)0;( ,)6 ,xxxyyyfx yfx yfx yy所以在),(00处(0,0)2,(0,0)0,(0,0)0 xxxyyyAfBfCf, 22240,ACB),(00可能是极值点 , 也可能不是极值点. 但是在),(00附近函数有大于0 的点也有小于0 的点 . 所以在),(00处无极值三、计算题 （每小题 10 分，共 40 分）(1) 设yxzsin2，求xz，yz，yxz2和22yz. (1) 解：yxxzsin2，yxyzcos2 5 分yxyxzcos22，yxyzsin222 10 分(2)求函数)2(),(22yyxeyxfx的极值 . 解：解方程组222( ,)(2241)0,( ,)(22)0 xxxyfx yexyyfx yey求得解1,21xy于是得唯一驻点1(, 1),2又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页精品资料欢迎下载22( ,)(4484);xxxfx yexyy22( ,)4(1),( , )2,xxxyyyfx yeyfx ye11(, 1)20,(, 1)0,(0,0)222xxxyyyAfeBfCfe, 2240,ACBe故函数在1(, 1)2点取得极小值，极小值为.2e五、应用题 （10 分）设),(vuf具 有 连 续 偏 导 数 ， 且 满 足uvvufvufvu),(),(. 求),()(2xxfexyx所满足的一阶微分方程，并求其通解.(2) 解：),(),(),(2)(22xxfxxfexxfexyvuxxxxexxxfe222),(2， 3 分)(xy满足的一阶微分方程是xexyy222. 5 分通解2222Cdxeexeydxxdx22Cdxxex3132Cxex. 10 分1213高数 A 一、填空题 （每小题 2 分，共 10 分） (2) 设二元函数xyez，则 dz . xyxyye dxxe dy二、选择题 （每小题 2 分，共 10 分）(1) 设函数22),(yxxyyxf，则极限),(lim)0,0(),(yxfyx(A) 0. (B) 1.(C) 2 .(D) 不存在 . D (2) 二元函数),(yxf在点),(00yx处的全微分存在是它在该点连续的(A) 充分条件 .(B) 必要条件 .(C) 充分必要条件 .(D) 既非充分也非必要条件. A三、计算题 （每小题 8 分，共 40 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页精品资料欢迎下载(1) 设33xyyxz，求xz，yz，yxz2和22yz. 解: 233,zx yyx323,zxy xy22233,zxyx y226 .zyy(2) 设),(yxzz是由方程yzzxln所确定的隐函数，求xz和yz. 解 I ：用隐函数求导公式yzzxzyxFln,，,1zxF,1yyFzzxzF12,112zxzzzxzxz)(1122zxyzzzxyyz解 II ：将z看作yx,的函数，两边对x求导，得：xzzzxzxz12即zxzxz，同理两边对y求导得)(2zxyzyz解 III：将方程两边求全微分，得：ydyzdzzxdzzdx2，解出dz得：dyzxyzdxxzzdz2zxzxz，)(2zxyzyz将 z 看作yx,的函数，继续求导，即得二阶偏导数：3222xzzxz，322222xzyxzyz，322xzyxzyxz五、综合题 （10 分）设)(xf是定义在),0上的连续函数， D 是由圆222Ryx和直线tanxy，0y所围成的区域在第一象限部分（0R，20）. 记DdxdyyxfRF)(),(22，求RF2. 解: 区域 D 用极坐标表示(, ) |0,0,R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页精品资料欢迎下载DdxdyyxfRF)(),(222()Dfd d200()RdfdFR200()RdfdR20()f RRdRF220()f RRd2().f RR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页