2022年第一节模糊数学基本知识数学建模 .pdf

学习必备欢迎下载第一节模糊数学基本知识一、模糊子集及其运算在经典集合论中，一个元素对于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，绝不允许模棱两可。 这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范围， 它只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。但是，在现实世界中，并非所有事物和现象都具有明确的界限。譬如，“高与矮”，“好与坏”，“美与丑”，这样一些概念之间就没有绝对分明的界限。严格说来，这些概念就是没有绝对的外延，这些概念被称之为模糊概念，它们不能用一般集合论来描述，而需要用模糊集合论去描述。( 一)模糊子集及其表示方法1. 模糊子集(1) 隶属函数：在经典集合论中，一个元素x 和一个集合 A之间的关系只能有Ax或者Ax这两种情况。 集合可以通过其特征来刻划， 每一个集合 A都有一个特征函数 CA(x) ，其定义如下：(1) 式所表示的特征函数的图形，如图9-1 所示。由于经典集合论的特征函数只允许取 0 与 1 两个值，故与二逻辑值 0，1相对应。模糊数学是将二值逻辑0，1拓广到可取 0 ，1 闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。因此，也必须把特征函数作适当的拓广，这就是隶属函数(x) ，它满足：0(x) 1 (2) (1) 式也可以记作 (x) 0 ，1 ，一般情形下，其图形如图9-2 所示。(2) 模糊子集的定义： 1965 年，查德首次给出了模糊子集的如下定义：设U是一个给定的论域 (即讨论对象的全体范围 ) ，A：x0 ，1 是 U到0 ，1 闭区间上的一个映射，如果对于任何xU ，都有唯一的 A(x) 0 ，1 与之对应，则该映射便给定了论域U上的一个模糊子集，A称做的隶属函数， A(x)称做 x 对的隶属度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载2. 模糊子集的表示方法通过上述关于模糊子集的定义可以看出，一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划。因此，模糊子集通常有以下几种表示方法：= 1，2， n (3) 在(3) 式中， i0 ，1(i=1 ，2，n) 为第 i 个元素 xi对的隶属度。(2) 查德表示方法：如果论域U是有限集时，采用查德记号可以将模糊子集表示为：应该注意，(4) 式的记号决不是分式求和， 而只是一个记号而已， 其“分母”表示论域 U中的元素，“分子”是相应元素的隶属度，当隶属度为0 时，那一项可以不写入。如果论域U是无限集时，采用查德记号可以将模糊子集表示为：在(5) 式中，“积分号”不是普通的积分，也不代表求和，而是表示各个元素与其隶属度对应关系的一个总括。(3) 如果给出了论域 U上的模糊子集的隶属函数的解析表达式， 则也就表示出了模糊子集。( 二)模糊子集的运算及其性质1. 模糊子集的运算论域U上两个模糊子集和B之间的相等、包含关系及并、交、补运算，分别规定如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载上述记号“”和“”是运算符号，简称为算子，“”表示取最大值，“”表示取最小值2. 模糊子集运算的基本性质对于模糊子集的运算，它具有如下几个基本性质。(1) 幂等律：=，AA=A(2) 交换律：=，=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载二、模糊子集的 -截集及其性质( 一)模糊子集的 -截集定义：设是论域 U上的一个模糊子集，其隶属函数为A，x 对的隶属度为 A(x) 。对于任 -0 ，1 ，称集合=xA(x) ，xU (6) 为的强 -截集；称集合为的弱 -截集。有时也将强-截集与弱 - 截集统称为 - 截集。( 二)模糊子集的 -截集的性质模糊子集的 - 截集，具有下述几个基本性质：(2) 对于任意 0，1，都有：(3) 对于任意 0，1，都有：(4) 对于任意 0 ，1 ，都有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载三、模糊关系与模糊变换( 一)模糊关系1. 模糊关系的概念模糊关系， 是一般关系的推广，其定义如下：设U和 V是两个普通集合， U与 V的直积U V=(x ，y) xU ，yV则称R(x，y) 为 x 与 y 具有关系 R的程度。一般地， R(x，y) 也可以记为 R(x,y) 。特别地，当 U=V时，则称 R为 U中的模糊关系。当 U和 V为有限集合时，模糊关系 R可以用矩阵表示为：在(9) 式中， rij=R(xi，yj) ，rij0 ，1 ，i=1 ，2，m ；j=1 ，2，n；m为 U中所含元素的个数， n 为 V中所含元素的个数。 (8) 式所示的矩阵称为模糊关系矩阵，简称模糊矩阵。因为模糊关系就是集合U与 V的直积 U V 上的模糊子集，所以它的相等、包含、并、交、补等运算与模糊子集的概念和运算性质完全相同，这里不再作重复。下面介绍U中几个重要的特殊关系。(1) 恒等关系 I ：(2) 零关系 O ：2. 模糊关系的合成及其性质(1) 模糊关系的合成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载W上的模糊关系，其隶属函数为：(2) 模糊关系合成的基本性质3. 模糊相似关系与模糊等价关系(1) 模糊相似关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载糊相似关系。(2) 模糊等价关系U ，VR(x，z) R(z，y) R(x，y) ，则称 R为 U中的模糊等价关系。( 二)模糊变换在(10) 式中，0rij1(i=1 ，2， m ；j=1 ，2， n) ；是一个给定的模糊向量=a1，a2，am (11) 在(11) 式中，0ai1(i=1 ，2， m)。则称与的合成运算为模糊变换。显然，在 (12) 式中，有 0bj 1(j=1 ，2， n)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页