2022年第三章-直线与方程 .pdf

精品资料欢迎下载第三章 直线与方程3.1 倾斜角与斜率基础知识（1）直线的倾斜角直线与x轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为倾斜角的范围（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在. 记作tank0(90 )当直线l与x轴平行或重合时, 00,0tan00k当直线l与x轴垂直时 , 090,k不存在 . 经过两点1112212(,),(,)P xyP xyxx（）的直线的斜率公式是2121yykxx每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法：已知直线上两点，根据斜率公式212121()yykxxxx求斜率；已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据tank来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x yB xyC xy，若123ABBCxxxkk或，则有 A、B、C三点共线。（5）直线平行与垂直 两条直线平行：对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有2121 / kkll特别地， 当直线的斜率都不存在时，的关系为平行 两条直线垂直：如果两条直线斜率存在，设为，则有1-2121kkll注： 两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1 ，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1 。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时，互相垂直 . 基础题目1下列命题正确的是（ A ）0000018009012,l l12,kk12,l l12ll与12,l l12,k k12,l l12,l l12ll与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页精品资料欢迎下载（A）若直线的斜率存在，则必有倾斜角 与它对应（B）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应（C）直线的斜率为k，则这条直线的倾斜角为arctank（D）直线的倾斜角为，则这条直线的斜率为tan 2过点M(2, a), N(a, 4) 的直线的斜率为，则a等于（ B ）（A）8 （B）10 （C）2 （D）4 3过点A(2, b)和点B(3, 2) 的直线的倾斜角为，则b的值是（ A ）（A）1 （B）1 （C） 5 （D）5 4如图，若图中直线l1, l2, l3的斜率分别为k1, k2, k3，则（ B ）（A）k1k2k3（B）k3k1k2 （C）k3k2k1（D）k1k3k25已知三点A(2, 3), B(4, 3), C(5, 2m)在同一直线上，则m的值为 12 . 6 已知y轴上的点B与点A( , 1) 连线所成直线的倾斜角为120，则点B的坐标为（0，-2 ） . 7已知A(2, 3), B(3, 2)，过点P(0, 2) 的直线l与线段AB没有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（-5/2,5/3） . 3.2 直线的方程基础知识（1）直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式11()yyk xx11(,)x y为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式ykxbk为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式是直线在轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线21433112121yyxxyyxx11221212(,),(,)x yxyxxyy经过两点且(,)1xyabax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页精品资料欢迎下载一般式0AxByC22(0)AB,A B C为系数无限制，可表示任何位置的直线问题：过两点111222(,),(,)P xyPxy的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】(1) 若1212xxyy且，直线垂直于x轴, 方程为1xx；(2) 若1212xxyy且，直线垂直于y轴, 方程为12yy；(3) 若1212xxyy且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. 用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0ab，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度. 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。xyaykx或（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P Pxyxy若点的坐标分别是，1212122( , )2xxxPPM x yyyy且线段的中点的坐标为3.3 直线的交点坐标与距离（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0lA xB yC, 2222:0lA xB yC两条直线的交点坐标就是方程组11122200AxB yCA xB yC的解。若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P xyPxy间的距离公式22122121|()()PPxxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页精品资料欢迎下载特别地，原点(0,0)O与任一点( ,)P x y的距离22|OPxy点到直线的距离：点00(,)oP xy到直线0AxByC的距离0022|AxByCdAB两条平行线间的距离：两条平行线1200AxByCAxByC与间的距离1222|CCdAB注: 1 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。基础练习1. 直线32yx 1在y轴上的截距是（ B ）A.2 B.3 C.2 D.3 2. 已知直线l过点M（ 1，0） ，并且斜率为 1，则直线l的方程是（ B ）A.xy10 B.xy10 C.xy10 D.xy10 3. 下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ B ）A.x=3 B.y=5 C.2y=x D.x=4y1 4. 直线l过(a,b) 、(b,a)两点，其中a与b不相等，则（ D ）A.l与x轴垂直 B.l与y轴垂直 C.l过一、二、三象限 D.l的倾斜角为435. 若ac0且bc0，直线ax+by+c=0不通过（ C ）A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第二象限6. 已知定点A（0，1），点B 在直线x+y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是)21,21( . 7. 给定三点A(1,0) ，B(-1,0) ，C(1,2) ，那么通过点A 并且与直线BC 垂直的直线方程是_01yx_. 8. 过原点作一条直线，使它与直线x-y+12=0，2x+y+9=0围成的三角形面积为23面积单位，求这条直线的方程 . -所求的直线方程为xyxy212523或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页精品资料欢迎下载9. 已知直线l过点p(3,2) ，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，求AOB面积最小时l的方程 . -直线l的方程为01232yx10. 求经过P（3 -4 ），且横纵截距相等的直线方程.-xy3401yx11. 直线 L经过M（3 -2 ）点，且和X轴，Y轴正方向所围成的三角形的面积为4（平方单位），求L的方程.-042yx12. 求过直线 4x2y1=0与直线x2y+5=0的交点且与两点P1（0，4） 、P2(2,0) 距离相等的直线方程. -3x2y+1=0和4x+2y15=0 升级难题【例】 已知，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A B C D 答案： B 分析：由于直线l与线段 AB有公共点，故直线l的斜率应介于OA ，OB斜率之间解：由题意，由于直线l与线段 AB有公共点，所以直线l的斜率的取值范围是考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线l与线段 AB有公共点，应注意结合图象理解【例】 在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3， 1）距离为2 的直线共有（） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条答案： B 分析：由题意，A、B到直线距离是1 和 2，则以 A、B为圆心，以1、2 为半径作圆，两圆的公切线的条数即可解：分别以A、B为圆心，以1、2 为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想【例】 将直线 l1：y=2x 绕原点逆时针旋转60得直线l2，则直线 l2到直线 l3：x+2y3=0 的角为 （） A 30 B 60 C 120 D 150答案： A 分析：结合图象，由题意知直线l1l3互相垂直，不难推出l2到直线 l3：x+2y3=0 的角解：记直线l1的斜率为k1，直线 l3的斜率为k3，注意到k1k3=1，l1l3，依题意画出示意图，结合图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页精品资料欢迎下载分析可知，直线l2到直线 l3的角是 30考点：本题考查直线与直线所成的角，涉及到角公式【例】 方程1yx所表示的图形的面积为_。答案：2解：方程1yx所表示的图形是一个正方形，其边长为2【例】 设), 0(为常数kkkba，则直线1byax恒过定点答案：1 1(,)k k解：1byax变化为()1, ()10,axka ya xyky对于任何aR都成立，则010 xyky【例】 一直线过点( 3,4)M，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_答案：4160 xy，或390 xy解：设444(3),0,3;0,34;33412yk xyxxykkkk2413110,31140,4,3kkkkkk或【例】 已知 A（1，2） ，B（3，4） ，直线 l1：x=0，l2：y=0 和 l3：x+3y1=0、设 Pi是 li（i=1 ，2，3）上与 A、B两点距离平方和最小的点，则P1P2P3的面积是 _ 答案：分析：设出P1，P2，P3，求出 P1到 A，B两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2，P3的坐标，然后再解三角形的面积即可解：设 P1（0，b） ，P2（a，0） ，P3（ x0， y0）由题设点P1到 A ，B两点的距离和为显然当 b=3 即 P1（0， 3）时，点P1到 A，B两点的距离和最小，同理P2（2，0） ，P3（1，0） ，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页精品资料欢迎下载考点：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题【例】 已知直线（ a 2）y=（ 3a1）x1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是 _ _ 答案： 2 ，+）分析：由已知中直线（a2） y=（3a1）x 1 不经过第二象限，我们分别讨论a2=0（斜率不存在） ，a20（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a 的取值，进而综合讨论结果，得到答案解：若 a2=0，即 a=2 时，直线方程可化为x= ，此时直线不经过第二象限，满足条件；若 a20，直线方程可化为y=x，此时若直线不经过第二象限，则0，0，解得 a0 综上满足条件的实数a 的范围是 2 ，+）考点：本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当 k0 且 b0 时，直线不过第二象限得到关于a 的不等式组， 是解答本题的关键， 但解答时， 易忽略对a2=0 （斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+） 。【例】 过点( 5, 4)A作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。解：设直线为4(5),yk x交x轴于点4(5,0)k，交y轴于点(0,54)k，14165545, 4025102Skkkk得22530160kk，或22550160kk解得2,5k或85k25100 xy，或85200 xy为所求。【例】 直线313yx和x轴，y轴分别交于点,A B，在线段AB为边在第一象限内作等边ABC，如果在第一象限内有一点1(,)2P m使得ABP和ABC的面积相等，求m的值。解：由已知可得直线/CPAB，设CP的方程为3,(1)3yxcc则133,32113cABc，333yx过1(,)2P m得135 33,232mm【例】 已知点(1,1)A，(2, 2)B，点P在直线xy21上，求22PBPA取得最小值时P点的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页精品资料欢迎下载解：设(2 , )Pt t，则2222222(21)(1)(22)(2)101410PAPBtttttt当710t时，22PBPA取得最小值，即77(,)5 10P【例】 求函数22( )2248f xxxxx的最小值。解：2222( )(1)(01)(2)(02)f xxx可看作点( ,0)x到点(1,1)和点(2,2)的距离之和， 作点(1,1)关于x轴对称的点(1, 1)22min( )1310f x【例】在ABC中， 已知 BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0， A的平分线所在直线的方程为y=0 若点 B的坐标为（ 1，2） ，求点 C的坐标分析：根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标逐步解答解：点 A为 y=0 与 x2y+1=0 两直线的交点， 点A的坐标为（ 1，0） kAB=1又A的平分线所在直线的方程是y=0， kAC=1 直线 AC的方程是y=x1而 BC与 x 2y+1=0 垂直， kBC=2 直线 BC的方程是y2=2（x1） 由 y=x1，y=2x+4，解得 C（5， 6）考点：直线的点斜式方程。本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解【例】 直线 l 过点 P（2， 1） ，且分别与x ，y 轴的正半轴于A，B两点， O为原点（1）求 AOB面积最小值时l 的方程；（2）|PA|?|PB| 取最小值时l 的方程分析：（1）设 AB方程为，点 P（2，1）代入后应用基本不等式求出ab 的最小值，即得三角形OAB面积面积的最小值 （ 2）设直线l 的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入 |PA|?|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件解： （1）设 A（a，0） 、B（0，b ） ，a0，b0，AB方程为，点 P（2，1）代入得2，ab8 （当且仅当a=4，b=2 时，等号成立） ，故三角形OAB面积 S= ab4，此时直线方程为：，即 x+2y4=0（2）设直线l ：y1=k（ x2） ，分别令y=0，x=0，得 A（2，0） ，B（0，12k） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页精品资料欢迎下载则|PA|?|PB|=4，当且仅当k2=1，即 k=1 时，|PA|?|PB| 取最小值，又 k0， k= 1，这时 l 的方程为x+y3=0考点：本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及基本不等式的应用【例】 求倾斜角是直线y3x 1 的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1) 经过点 (3， 1) ；(2) 在y轴上的截距是5. 解：直线的方程为y3x1，k3，倾斜角 120，由题知所求直线的倾斜角为30，即斜率为33. (1) 直线经过点(3， 1) ，所求直线方程为y133(x3) ，即3x3y60. (2) 直线在y轴上的截距为5，由斜截式知所求直线方程为y33x5，即3x3y 150. 【例】 已知直线l：kxy12k0 (1) 证明：直线l过定点；(2) 若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程。解： (1) 证明：由已知得k(x2) (1y) 0， 无论k取何值，直线过定点( 2,1) 。(2) 令y0 得A点坐标为 ( 21k，0) ，令x0 得B点坐标为 (0,2k1)(k0) ，SAOB12| 21k|2k1| 12(2 1k)(2k1) 12(4k1k4) 12(4 4)4 当且仅当4k1k，即k12时取等号。即AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为12xy1 10 ， 即x2y40 【例】 已知函数，g（x）=x+a（a0）（1）求 a 的值，使点M （ f （x） ， g（x） ）到直线x+y1=0 的最短距离为；（2）若不等式在 x1 ， 4 恒成立，求a 的取值范围。分析：（1）先用点到直线的距离公式表示距离，利用换元法，进而利用二次函数的配方法即可求解；（2）将绝对值符号化去，从而转化为上恒成立，进而利用换元法转化为at22t+a20 在 t 1 ， 2 上恒成立，从而得解解： （1）由题意得M到直线的距离，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页精品资料欢迎下载令则 t 0 a 1时，即 t=0 时， a =30 a1 时， dmin=0，不合题意综上 a=3（2）由即上恒成立，也就是在1 ，4 上恒成立令，且 x=t2，t 1 ， 2 ，由题意at22t+a20 在 t 1 ， 2 上恒成立设 ?（t ） =at22t+a2，则要使上述条件成立，只需即满足条件的a 的取值范围是考点：本题以函数为载体，考查点线距离，考查恒成立问题，关键是掌握距离公式，熟练恒成立问题的处理策略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页