2022年第三章直线与方程知识点总结与题型 .pdf

1 第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1.当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 . 当直线l与x轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0. 则直线l的倾斜角的范围是0. 2. 倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值， 即tank. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P xyP xy，则有斜率公式2121yykxx. 特别地是，当12xx，12yy时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当12xx，12yy时，直线与y轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角 =90时，斜率不存在， 即直线与y轴平行或者重合 . 当=90时，斜率k=0；当090时，斜率0k，随着的增大，斜率k也增大；当90180时，斜率0k，随着的增大，斜率k也增大 . 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题 . 两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l、2l，其斜率分别为1k、2k，有：（1）12/ll12kk； （2）12ll121kk. 2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时， 则它们平行，都垂直于x轴； . 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l过点000(,)Pxy, 且斜率为k，其方程为00()yyk xx. 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为ykxb. 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线 . 若直线l过点000(,)P xy且与x轴垂直 ,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00 xx，或0 xx. 4.注意：00yykxx与00()yyk xx是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P xy，后者才是整条直线 . 直线的两点式方程1. 两点式：直线l经过两点111222(,),(,)P xyPxy，其方程为112121yyxxyyxx，2. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为1xyab. 3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线. 4. 线段12P P中点坐标公式1212(,)22xxyy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 直线的一般式方程1.一 般 式 ：0AxByC， 注 意A、 B不 同 时 为0. 直 线 一 般 式 方 程0 (0)AxByCB化为斜截式方程ACyxBB，表示斜率为AB，y轴上截距为CB的直线 . 2. 与直线:0lAxByC平行的直线，可设所求方程为10AxByC；与直线0AxByC垂直的直线，可设所求方程为10BxAyC. 3. 已 知 直 线12,l l的 方 程 分 别 是 ：1111:0lA xB yC（11,A B不 同 时 为0） ，2222:0lA xB yC（22,AB不同时为 0） ，则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120llA AB B；（2）1212211221/0,0llA BA BACA B；（3）1l与2l重合122112210,0A BA BACA B； （4）1l与2l相交12210A BA B. 如果2220A B C时，则11112222/ABCllABC；1l与2l重合111222ABCABC；1l与2l相交1122ABAB. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立， 得到二元一次方程组11122200A xB yCA xB yC. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合. 2. 方程111222()()0A xB yCA xB yC为直线系，所有的直线恒过一个定点， 其定点就是1110AxB yC与2220A xB yC的交点 . 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P xy，222(,)Pxy，则两点间的距离为：22121212|()()PPxxyy. 特别地，当12,P P所在直线与x轴平行时，1212| |PPxx；当12,P P所在直线与y轴平行时，1212| |PPyy；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P xy到直线:0lAxByC的距离公式为0022|AxByCdAB. 2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0lAxByC，22:0lAxByC之间的距离公式1222|CCdAB，推导过程为：在直线2l上任取一点00(,)P xy， 则0020AxByC， 即002AxByC. 这时点00(,)P xy到直线11:0lAxByC的距离为001122222|AxByCCCdABAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 对应练习一. 选择题1.( 安徽高考 ) 过点(1,0) 且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是（）A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 2. 过点( 1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为（）A. 012yx B. 052yxC. 052yx D. 072yx3. 已知过点( 2,)Am和(,4)B m的直线与直线012yx平行， 则m的值为 （）A. 0 B. 8 C. 2 D. 104.( 安徽高考 ) 直线过点（ -1 ，2） ，且与直线2x-3y+4=0 垂直，则直线的方程是（）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5. 设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sincos0则 a,b 满足（）A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 6. 如果直线 ax+2y+2=0与直线 3x-y-2=0 平行，则系数 a= A、 -3 B、-6 C、23 D、327. 点 P（-1 ，2）到直线 8x-6y+15=0 的距离为（）A 2 B 21 C 1 D 278. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点，则该点的坐标是A（-2 ，1） B （2，1） C （1，-2 ） D （1，2）9. （上海文， 15）已知直线12:(3)(4)10,: 2(3)230,lkxk ylkxy与平行，则k得值是（）A. 1或 3 B.1或 5 C.3或 5 D.1或 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 10、若图中的直线 L1、L2、L3的斜率分别为 K1、K2、K3则（） A、K1K2K3 B、K2K1K3 C、K3K2K1 D、K1K3K211.（05 北京卷） “m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线 (m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的 ( ) （A）充分必要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件12、与直线 2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 13. 若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限，则()A. ab0，bc0 B. ab0，bc0 C. ab0，bc0D. ab0，bc0 14. （2005 北京文） “m=21”是“直线 (m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y 3=0相互垂直”的 ( ) A. 充分必要条件 B.充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件15. 如果直线l 经过两直线 2x - 3y + 1 = 0和 3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x垂直，则原点到直线l 的距离是 ( ) A. 2 B. 1 2C. 22L1L2x o L3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为 ( ) A. 52，54- B. 54，52-C. 52，54D. 54，52-二、填空题1. 点(1, 1)P到直线10 xy的距离是 _. 2. 已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则 a 的值为（）3. 经过两直线 11x+3y7=0 和 12x+y19=0 的交点，且与 A（3，2） ，B（1，6）等距离的直线的方程是。4. （全国文 16）若直线m被两平行线12:10:30lxylxy与所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是15o30o45o60o75o其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 三. 解答题1. 已知两条直线12:12,:2416lxm ym lmxy. m为何值时 , 12:ll与（1）相交（2）平行（3）垂直2. 求经过直线0323:, 0532:21yxlyxl的交点且平行于直线032yx的直线方程 . 3. 求平行于直线20,xy且与它的距离为2 2的直线方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 4. 已知直线l1 : mx + 8y + n = 0与 l2 : 2x + my - 1 = 0 互相平行，求 l1，l2之间的距离为5时的直线 l1的方程 . 5. 已知三角形 ABC的顶点坐标为 A（-1，5） 、B（-2，-1 ） 、C（4，3） ，M是 BC边上的中点。（1）求 AB边所在的直线方程；（2）求中线 AM的长（3）求 AB边的高所在直线方程。6. 求与两坐标轴正向围成面积为2 平方单位的三角形，并且两截距之差为3 的直线的方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 一、选择题1设直线0axbyc的倾斜角为，且sincos0，则,a b满足（）A1baB1baC0baD0ba2过点( 1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为（）A012yx B052yxC052yx D072yx3已知过点( 2,)Am和(,4)B m的直线与直线012yx平行，则m的值为（）A0 B8 C2 D104已知0,0abbc，则直线axbyc通过（）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D 第二、三、四象限5直线1x的倾斜角和斜率分别是（）A045 ,1B0135 , 1C090，不存在D 0180，不存在6若方程014)()32(22mymmxmm表示一条直线，则实数m满足（）A0mB23mC1mD1m，23m，0m二、填空题1点(1, 1)P到直线10 xy的距离是 _. 2 已知直线, 32:1xyl若2l与1l关于y轴对称，则2l的方程为 _; 若3l与1l关于x轴对称，则3l的方程为 _; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 若4l与1l关于xy对称，则4l的方程为 _; 3若 原 点 在 直 线l上 的 射 影 为) 1,2(， 则l的 方 程 为_ 。4点( , )P x y在直线40 xy上，则22xy的最小值是 _. 5直线l过原点且平分ABCDY的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)BD，则直线l的方程为 _ 。三、解答题1已知直线AxByC0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；（4）系数满足什么条件时是x轴；（5）设P xy00，为直线AxByC0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A xxB yy000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 2 求 经 过 直 线0323:,0532:21yxlyxl的 交 点 且 平 行 于 直 线032yx的直线方程。3 经过点(1,2)A并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。4过点( 5, 4)A作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页