最新向量组的正交性PPT课件.ppt
二、向量的夹角。二、向量的夹角。三、向量的正交性：三、向量的正交性：1.定义定义2.正交。与则称向量），若（, 02.定义定义3.即满足两两正交，维非零向量个如果mnm,21)( , 0jiji），（简称为正交组。为正交向量组,21m则称向量组, 0, .由定义知 若则与任何向量都正交).1 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (21neee为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。1111222），（），（11222231111333），（），（），（），（111122221111mmmmmmmmm），（），（），（），（），（），（等价；与mmi,)(2121为正交组。mii,)(21正交向量组。为单位化，即得到单位再将m,21正交化正交化 单位化单位化施密特正交化过程施密特正交化过程Schimidt例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组123(1,1,1,1),(1, 1,0,4),(3,5,1, 1)正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化， 111,1,1,11222111(,)(,) 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取132333121122(,)(,)(,)(,) 8143,5,1, 11,1,1,10, 2, 1,34141,1, 2,0再再单位化单位化， 22212130, 2, 1,30,14141414e33311121,1, 2,0,06666e得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下11111 1 1 11,1,1,1,22 2 2 2ea1a3a2b1;11ab 2211121222111,(,)(,),1cabbba bcabbbb为在上的投影向量 即;222cab c2b2,2133平面上的投影向量平面上的投影向量的的在平行于在平行于为为bbacc312331231323132223313212,(,)(,),12bbcab bcca ba bcccbbbb由于故等于分别在上的投影向量及之和 即c31c32.333cab b3七、正交矩阵：七、正交矩阵：1.定义定义4：1()TTnAA AEAAAn若 阶方阵 满足或，则称 为 阶正交矩阵。2.性质：性质： . 1)( AnAi阶正交矩阵为若也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若1)(AAnAiiT也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若BAABnBAiii,)(3.正交矩阵的判定正交矩阵的判定:组。向量组为单位正交向量的行（列）为正交矩阵定理：矩阵AaAnnij仅证列向量组的情形。),(21nAEAAAT为正交矩阵nTnTTTAA2121100010001E)(0),( , 1),(jijiii为单位正交向量组。即n,21方法一、用定理。方法一、用定理。方法二、用定义。方法二、用定义。正交吗？AA,9/79/49/49/49/19/89/49/89/1nTnTnTnnTTTnTTT212221212111正交正交?,9/79/49/49/49/19/89/49/89/11AATA?,7444184811AATTABBAB91911TABAAB8119191111正交吗？AA,744418481不正交不正交 性质性质 正交变换保持向量的长度不正交变换保持向量的长度不变变证证明明,为为正正交交变变换换设设Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 则则有有定义定义 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为称为正正交变换交变换Pxy P八、正交变换：八、正交变换： 这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。型的几何特征。性质性质 正交变换保持向量的内积不正交变换保持向量的内积不变变1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化 ;11TAA ;2EAAT ;3单单位位向向量量的的列列向向量量是是两两两两正正交交的的A .4单单位位向向量量的的行行向向量量是是两两两两正正交交的的A小 结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与 ,1 , 1, 1 , 11 ,1 , 1, 1, 12 3 , 1 , 1 , 23 正交正交Ex:),( 则由题意可得则由题意可得设所求向量为设所求向量为dcbax 解解 . 032, 0, 0, 1 2222dcbadcbadcbadcba)263,261, 0 ,1322(: x解解之之可可得得).263,261, 0 ,1322( x或或
