最新同济大学高等数学第六版第七章第一节微分方程的概念幻灯片.ppt
第七章 微分方程初步“Equation”方程方程包含有未知函数的等式包含有未知函数的等式代数方程代数方程微分方程微分方程微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之为微分方程的阶高阶导数的阶数称之为微分方程的阶. .分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程(ODE), (ODE), 偏微分方程偏微分方程(PDE).(PDE)., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:2:分类分类3 3: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类4 4: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为该微分方程的解该微分方程的解. . ,)(阶阶导导数数上上有有在在区区间间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、主要问题-求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. ., yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;cossin21xCxCy 通解通解解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .xyO过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)例例. .arcsin,0.yxzzzxyxyxy验证：满足方程：例例. .22(),0.zzfzf xyyxxy设 可微，验证：满足方程：例例. .222,rxyz设证明其满足方程：2222222.rrrxyzr例例. .验证下列函数均为满足方程验证下列函数均为满足方程22200d yydx的解，这里是常数.(1)(1)cosyx(2)(2)11cos()ycx c为任意常数(3)(3)sinyx(4)(4)22sin()ycx c为任意常数(5)(5)(6)(6)1212cossin( ,)ycxcx c c为任意常数sin()( ,)yAxBA B为任意常数微分方程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ; 初始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题； 积分曲线积分曲线四、小结本节基本概念：本节基本概念： 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6 作业：作业：22 结束语结束语
