高等数学复旦大学出版社课后习题集规范标准答案.doc
|1. 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.2. 解: (1)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是.(2)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是-3,0)(0,1).(3)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是.(4)要使函数有意义,必须 即 即或,(k为整数).也即 (k为整数).所以函数的定义域是, k为整数.3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-,+),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍-1,1上所有的值,所以函数的值域为-1,1.4. 解: ,5.解: 6.解: 7. 证:由解得,故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.8. 解: (1)由解得,所以函数的反函数为.(2)由得,所以,函数的反函数为.(3)由解得所以,函数的反函数为.(4)由得,又,故.又由得,即,故可得反函数的定义域为0,2,所以,函数的反函数为.9. 解: (1)是偶函数.(2)函数是奇函数.10. 解: (1)函数的定义域为(-,+), 当时,有,当时,有,故有.即函数有上界.又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.又由知,当且时,而当且时,.故函数在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+),且,使.取,则有,所以函数在定义域内是无界的.又当时,有故.即当时,恒有,所以函数在内单调递增.11. 解: (1)是由复合而成.(2)是由复合而成.(3)是由复合而成.(4)是由复合而成.12.证: (1)设,则,有故为偶函数.(2)设则,有故为奇函数.13.解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.设总费用为,则.14. 解: 当x能被20整除,即时,邮资;当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.综上所述有其中,分别表示不超过,的最大整数.15. 证: (1)由得解方程得,因为,所以,所以的反函数是(2)由得,得;又由得,所以函数的反函数为16. 解: 从而 .由得定义域为.17. 解: 当时,.,当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.18. 解: ,要使,只须.取,则当时,必有.当时,或大于1000的整数.,要使只要即即可.取,则当时,有.当时, 或大于108的整数.19. 证: ,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故.(2) ,要使只要,取,则当n>N时,恒有.故.(3) ,要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而.(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.20.证: ,由极限的定义知,当时,恒有.而 ,当时,恒有,由极限的定义知但这个结论的逆不成立.如但不存在.21. 解: 而,当时, .(2)记则有 即 而 故 即 .(3)即 而 故 .(4)而 故 .22. 证: (1),不妨设,则.故对所有正整数n有,即数列有上界.又显然有,又由得,从而即,即数列是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列有极限.设,则,于是,(不合题意,舍去),.(2) 因为,且,所以, 即数列有界又 由知与同号，从而可推得与同号，而 故, 即所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.设, 则，解得 (不合题意，舍去).所以 23. 证：(1),要使,只须,取，则当时，必有,故.(2),要使,只须,取，则当时，必有,故.(3) ,要使,只要取，则当时，必有,故.(4) ,要使,只须，取，则当时，必有故.(5) ,要使,只要取，则当时，必有,故 .24. 解：.由无穷大与无穷小的关系知， .(7)因为由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是 且 解得 .25.解： 而 而(14)令则当时，.所以(利用(13)题的结果).(16)令， 则而 所以26. 解：当时，是比高阶的无穷小量.27.解：当时，是与同阶的无穷小.当时，是与等价的无穷小.28. 解：(1)因为当时，所以(4)因为当时，,所以(5)因为当时，所以.(7)因为当时，,所以(8)因为当时，所以.(9)因为当时，,所以(10)因为当时，所以(11)因为当时，所以(12)因为当时，所以(13)因为而当时，故 又当x0进，所以(14)因为当时，故 所以29. 解：(6)令，则当时，.30. 解：(1)令，则于是：即 即 即.(2)令，则于是即 即 故即 .(3)令，则于是 即 从而 故即 .(4)令，则于是：即 即.31.解： 因为 所以不存在.(2)因为不存在，所以不存在.32. 解：(1)由初等函数的连续性知，在（0，1），（1，2）内连续，又 而，在处连续，又，由，知在处右连续，综上所述，函数在0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2 (2) 由初等函数的连续性知在内连续，又由知不存在，于是在处不连续.又由及知，从而在x=1处连续，综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下：图1-3 (3)当x<0时，当x=0时，当x>0时，由初等函数的连续性知在内连续，又由 知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下：图1-4(4)当|x|=1时，当|x|<1时，当|x|>1时，即 由初等函数的连续性知在(,1),(1,1),(1,+)内均连续，又由知不存在，从而在处不连续.又由 知不存在，从而在处不连续.综上所述，在(,1),(1,1),(1,+)内连续，在处间断.图形如下：图1-533. 解：是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；x=2是无穷间断点.当时，.为可去间断点，分别补充定义f(0)=1,，可使函数在x=0,及处连续.();为无穷间断点(3)当时，呈振荡无极限，x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).(4)x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)34. 解：补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.35. 解：(1)在上显然连续，而 且,当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续.(2)在内显然连续.而当，即时，在处连续，因而在上连续.36. 证：令，则在0,1上连续，且,由零点定理，使即即方程有一个小于1的正根.37.证：令，则在上连续，且 ,若，则就是方程的根.若，则由零点定理得.,使即即，即是方程的根，综上所述，方程至少有一个不超过的正根.38. 证：令,由在上连续知，在上连续，且若则都是方程的根，若，则，由零点定理知，至少,使,即，即是方程的根，综上所述，方程在内至少有一根.39.证：令,则在上连续，且若，则若,则,若,则,由零点定理，至少存在一点,使即.综上所述，至少存在一点，使. .40证:已知在上连续，则在上有最大值M和最小值m，于是,由介值定理知，必有，使.
