（整理版）专题补充学习空间向量法解决立体几何问题.doc
专题补充学习-空间向量法解决立体几何问题一知识回忆：1、空间向量的坐标运算：空间直角坐标系的x轴是横轴对应为横坐标，y轴是纵轴对应为纵轴，z轴是竖轴对应为竖坐标.令，那么,， (用到常用的向量模与向量之间的转化：)2、空间两点的距离公式：.专题提纲一、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量；2、平面的法向量。二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。ABZYXO:把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是n:如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量. 3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,假设na且nb,那么n.换句话说,假设n·a = 0且n·b = 0,那么n . nba4.求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 【例题赏析】 例1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. AAABCDOA1B1C1D1zxybaba1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. 假设ab,即a=b,那么ab. 假设ab,即a·b = 0,那么ab【例题赏析】 例2：平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证: C C1BDA1B1C1D1CBADnaL(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L . nLa假设an,即a =n,那么 L 假设an,即a·n = 0,那么L .【例题赏析】 例3:棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (I)A1E 平面DBC1; (II)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy(3)平面与平面的位置关系平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2 n1n1n2n2假设n1n2,即n1=n2,那么 假设n1n2,即n1 ·n2= 0,那么【例题赏析】例4:正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,那么两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.【例题赏析】 例5:如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,那么对角线DB1与CM所成角的余弦值为_. BC A MxzyB1C1D1A1CDMA(2)直线与与平面所成的角假设n是平面的法向量, a是直线L的方向向量,那么L与所成的角= -<a,n>或= <a,n>- (下列图) .naa n 于是,因此【例题赏析】例6:正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO3二面角BAo设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等选取法向量竖坐标z同号时相等或互补选取法向量竖坐标z异号时互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可防止了二面角的平面角的作图麻烦.BAo、二面角 是锐二面角BAo、二面角 是钝二面角BAo【例题赏析】例7:在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90°，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.ADSBxyCzAHBn(2)点到平面的距离A为平面外一点(如图), n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH. = = . 于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.【例题赏析】例9 :在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90°, 求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1AB 空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题 。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。
