（整理版）广州育才中学高三数学各类题型综合训练系列.doc

不等式 1. f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，假设m、n1，1，m+n0时0 (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)假设f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围 2 设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围 3. 解关于x的不等式1(a1) 4. 设函数f(x)=ax满足条件 当x(，0)时，f(x)1；当x(0，1时，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围 5. ，求关于不等式的解集。6. 解关于。求证：1；2。8.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假假设定价上涨，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。（1） 假设时的值；（2） 假设 ，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围。在R上是增函数，。（1） 求证：如果；（2）（3） 解不等式。上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？假设存在，求出适合条件的所有实数m；假设不存在，说明理由。11. 设数列满足 证明：对一切正整数成立；令判断与的大小，并说明理由.12. 设使,，求证：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在0，1内有两个实根.13. 函数,数列满足:证明:;().14. 函数,数列满足:,(1)证明:数列是单调递减数列.2证明：15. 假设关于的不等式的解集是，求不等式的解集都是正实数,求证:17、设，解关于的不等式 作直线交正半轴于两点.(1)假设取到最小值,求直线的方程(2)假设的面积取到最小值,求直线的方程正实数满足，且1求证：; 2求证：,数列满足:,(1)设证明: 2证明：21. 1设a>0，b>0且，试比拟aabb与abba的大小。2函数，试比拟与的大小22. 实数a,b,c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)=ax2+bx+c(1)如果，证明：(2)如果，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。23. 函数满足以下条件：对任意的实数x1，x2都有 和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和()证明，并且不存在，使得；()证明；()证明.24. 己知，12，证明：对任意，的充要条件是；3讨论：对任意，的充要条件。25. 某城市末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？答案：1. (1)证明 任取x1x2，且x1，x21，1，那么f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=·(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2)解 f(x)在1，1上为增函数， 解得 x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 2. 解 M1，4有两种情况 其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围 设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时，1a2，M=1，4(2)当=0时，a=1或2 当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4 (3)当0时，a1或a2 设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得 2a，M1，4时，a的取值范围是(1，) 3. 解 原不等式可化为 0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解 由于原不等式的解为(，)(2，+) 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解 由于,假设a0，,解集为(，2)；假设a=0时，解集为；假设0a1，,解集为(2，)综上所述 当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2 4. 解 由得0a1，由f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立 在x(0，1恒成立 整理，当x(0，1)时，恒成立，即当x(0，1时，恒成立，且x=1时，恒成立，在x(0，1上为减函数，1，m恒成立m0 又，在x(0，1上是减函数，1 m恒成立m1当x(0，1)时，恒成立m(1，0) 当x=1时，即是m0 、两式求交集m(1，0,使x(0，1时，f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，m的取值范围是(1，0) 6、假设；假设；假设。7.证明：1， ， 2首先易证8.解：该商品定价上涨成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是因而有：29.（1） 证明：当 仿1的证明可证成立，又与（2） 根据2，所解不等式等价于。10.解：易知， 因此，满足条件的实数m存在，它可取内的一切值。11. 解析：证法一：当时，不等式成立，假设时，成立当时，时，成立由可知，对一切正整数成立.证法二：由递推公式可得上述各式相加并化简得又时，成立，故解法一：故解法二：故.因此12. 解析：()因为,所以又,消去,得,由消去,得所以()抛物线的顶点坐标为又两边乘以得,又而所以方程在区间与内分别有一实根,即方程在有两个实根13. 解析：先用数学归纳法证明当时,由以知,结论成立.假设当时,结论成立,即.因为时.所以在上是增函数.又在上连续,从而即故当时,结论成立.由可知对一切正整数都成立.又因为时,所以.综上所述.()设函数由知当时,从而.所以在上是增函数,又在上连续,且.所以当时,成立,所以即,故14. 解析：此题以函数、数列为载体，考查不等式证明的根本方法，在证明的过程中，要对所证的不等式适当变形、合理放缩.(1)证明:由题意得所以数列是单调递减数列2证明：由(1)的证明过程可知，所以 故15.解：由不等式的解集是得是方程的两个根，故又所以 不等式即或 所以不等式的解集是. 16、证明：因为都是正实数， 上述各式相加，得： 17、解：设那么原不等式化为当时，所以当时，所以当时，所以综上所述：即 当时，由得2当时，由得 所以，当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是 18、解：设直线的方程为：那么，1当且仅当且时，即时取等号.此时，直线的方程是： 2当且仅当且时，即时取等号.此时，直线的方程是：. 19、证明：1由得，得，所以 2由得，得，所以，又 20、证明：1因为,数列满足:,所以=所以 ： 2由1得所以即 21. 解：(1)根据同底数幂的运算法那么，可考虑用比值比拟法。当a>b>0时，,那么，于是aabb>abba当b>a>0时，,那么，于是aabb>abba综上所述，对于不相等的正数a,b，都有aabb>abba解(2)作差=当时，得=。2当时，当时，得=。当时，得>。当时，得<。综上所述：当或时=。当且时>。当且时<。22. 解：1所以2由于f(0)=c,f(1)=a+b+c,当a>0时, 因为,所以假设c>0,f(0)=c>0,所以方程f(x)=0在内有解,假设c0,所以方程在内有解当a<0时,同理可证故时,方程f(x)=0在(0,1)内有解23. 证法一：I任取 和 可知 ，从而 . 假设有式知不存在II由 可知 由式，得 由和式知， 由、代入式，得 III由式可知 用式 用式证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数以及它们的抽象函数值。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消元把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元设想，供参考。题设中两个主要条件是关于与的齐次式。而点、是函数图象上的两个点，是连接这两点的弦的斜率。假设欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，那么可以借助斜率进行“整体消元。设为不相等的两实数，那么由题设条件可得：和。令，那么对任意相异实数，有及，即。由此即得；又对任意有，得函数在R上单调增，所以函数是R上的单调增函数。如果，那么，因为，所以。即不存在，使得。于是，的结论成立。考虑结论：因为，故原不等式为；当时，左右两边相等；当时，且，那么原不等式即为：，令，那么原不等式化为，即为。因为，那么，所以成立，即中结论成立。再看结论：原不等式即，即，注意到，那么，那么原不等式即为即，令，那么原不等式即化为，即，因为，那么，所以成立，即的结论成立。在一般的“消元方法中，此题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是与，许多尖子学生证明了的结论而不能解决。借助斜率k“整体消元的想法把、中的不等关系都转化为相同的不等关系，然后由条件推证，有独到之处。24. 证明：1依题意，对任意，都有2充分性：必要性：对任意3即 而当25. 解：设末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得