离散数学集合论部分综合练习 .docx
精品名师归纳总结离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分 3 次，分别是集合论部分、图论部分、数理规律部分的综合练习，这 3 次综合练习基本上是根据考试的题型支配练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出把握的薄弱学问点，重点复 习，争取尽快把握。本次是集合论部分的综合练习。一、单项挑选题1如集合 A= a，b ，B= a，b， a， b ，就（）A AB，且 ABB AB，但 ABC.A B，但 ABDAB，且 AB2如集合 A2 ， a， a ，4 ，就以下表述正确选项 A a， a AB a AC 2ADA3如集合 A a， a ，1 ， 2 ，就以下表述正确选项 A a， aAB 2AC aADA4如集合 A= a，b，1 ， 2 ，B=1 ， 2 ，就（） ABA，且 BABBA，但 BAA1, aB ,1, aC,1, a, 1, a D 1, a, 1, a C.B BA，但 BADB A，且 BA 5设集合 A = 1, a ，就 PA = 6如集合 A 的元素个数为 10，就其幂集的元素个数为（）A 1024B10C100D17集合 A=1, 2,3,4,5,6,7,8 上的关系 R=< x，y>|x+y=10 且 x,yA ，就 R的性质为（）A自反的B对称的 C传递且对称的D反自反且传递的8设集合 A = 1 ，2，3，4，5，6 上的二元关系 R =a , ba , bA , 且 a +b= 8 ，就 R 具有的性质为（）A自反的B对称的 C对称和传递的D反自反和传递的9. 假如 R1和 R2是 A 上的自反关系，就 R1R2，R1R2，R1- R2 中自反关系有（）个A 0B2 C1D 310. 设集合 A=1 , 2 , 3 , 4 上的二元关系R = 1 , 1，2 , 2，2 , 3， 4 , 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S = 1 , 1， 2 , 2， 2 , 3， 3 , 2，4 , 4 ，就 S是 R 的（）闭包A自反B传递C对称D以上都不对11设集合 A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 上的偏序关系的哈斯图如图一所示，如 A 的子集 B = 3 , 4 , 5 ，1就元素 3 为 B 的（）23A下界 B最大下界45C最小上界 D以上答案都不对图一12设 A=1, 2,3,4,5,6,7,8 ，R 是 A 上的整除关系， B=2,4, 6 ，就集合 B的最大元、最小元、上界、下界依次为 A 8、2、8、2B无、 2、无、2C 6、2、6、2D 8、1、6、113设 A= a,b ，B=1,2 ， R1，R2， R3 是 A 到 B 的二元关系，且 R1=< a，2>, <b，2> ，R2=< a， 1>, <a，2>,<b，1> ，R3=< a，1>, <b，2> ，就（） 不是从 A 到 B 的函数A R1 和 R2 BR2C R3D R1 和 R3二、填空题1. 设集合 A 有 n 个元素，那么 A 的幂集合 PA的元素个数为2. 设集合 A a，b，那么集合 A 的幂集是 应当填写： , a,b, a, b 3设集合 A=0, 1, 2, 3 ， B=2, 3, 4, 5 ， R是 A 到 B 的二元关系，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rx, yxA且yB且x, yAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 R的有序对集合为4设集合 A=0,1,2 ，B=0,2,4, R 是 A 到 B 的二元关系，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rx, yxA且yB且x, yAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 R的关系矩阵 MR5. 设集合 A= a,b,c ，A 上的二元关系R=< a,b>,<c.a> ，S=< a,a>,<a,b>,<c,c>就R S 1 =6. 设集合 A=a,b,c， A 上的二元关系 R=< a, b>, <b, a>, < b, c>, <c, d> ，就二元关系 R具有的性质是7如 A=1,2 ，R=< x,y>|xA,yA,x+y=10，就 R 的自反闭包为8. 设集合 A=1, 2 ，B= a, b ，那么集合 A 到 B 的双射函数是9. 设 A= a， b， c ，B=1 ，2 ，作 f：AB，就不同的函数个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、判定说明题 （判定以下各题，并说明理由）1. 设 A、B、C 为任意的三个集合，假如 A B=AC，判定结论 B=C 是否成立？并说明理由2. 假如 R1和 R2是 A 上的自反关系，判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1结论：“ R- 1、R R 、RR 是自反的” 是否可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212成立？并说明理由3. 如偏序集 <A， R>的哈斯图如图一所示， 就集合 A 的最大元为 a，最小元不存在4. 如偏序集 <A，R>的哈斯图如图二所示，图一就集合 A 的最大元为 a，最小元不存在 5设 N、R 分别为自然数集与实数集， f：NR， fx=x+6，就 f 是单射四、运算题图二1. 设集合 A a, b, c ，B= b, d, e ，求（1）BA。 （ 2） AB。 （3）AB。 （4）BA2设 A= a, b, 1, 2 ，B= a, b, 1, 1 ，试运算（1）（ A B） （ 2）（ AB） （ 3）（ AB） （AB）3设集合 A=1,2,1,2，B=1,2,1,2 ，试运算（1）（ A B）。 （2）（ AB）。 （3）A×B4 设 A=0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， R=< x ， y>|xA， yA 且 x+y<0 ， S=< x， y>|xA，yA 且 x+y 3 ，试求 R，S，R S，R-1，S-1 ，rR5设 A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，R 是 A 上的整除关系， B=2,4, 6 （1）写出关系 R的表示式。（ 2）画出关系 R 的哈斯图。（3）求出集合 B 的最大元、最小元6. 设集合 A a, b, c, d 上的二元关系 R的关系图ad如图三所示（1） 写出 R的表达式。bc（2） 写出 R的关系矩阵。图三（3）求出 R27设集合A=1 ，2，3，4 ， R=< x, y>|x,yA。 |x y|=1 或 xy=0 ，试（1）写出（3）说明R的有序对表示。 （2）画出 R的关系图。R满意自反性，不满意传递性五、证明题1. 试证明集合等式： ABC= ABAC2. 试证明集合等式 ABC=ABAC3. 设 R是集合 A 上的对称关系和传递关系，试证明：如对任意aA，存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bA，使得<a, b>R，就 R 是等价关系 4. 如非空集合 A 上的二元关系 R 和 S是偏序关系，试证明： R偏序关系S 也是 A 上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结参考解答一、单项挑选题1A2 B3 C4B5 C6A7 B8B9B10C11C12B13B二、填空题12n2, a,b, a, b 3<2, 2> ，<2, 3>，<3, 2> ，<3, 3>1104 0001105< a.c>,<b,c>6反自反的7<1,1>,<2,2>8<1, a >, <2, b > ，<1, b >, <2, a >98三、判定说明题 （判定以下各题，并说明理由）1. 解： 错设 A=1, 2 ，B=1 ， C=2 ，就 AB=AC，但 B C2. 解：成立由于 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，即 IAR1，IAR2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A由逆关系定义和 IR ，得 IR - 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1A1由 IAR1， IAR2，得 IAR1R2， IAR1R2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以， R- 1、RR 、RR 是自反的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112123. 解：正确对于集合 A 的任意元素 x，均有<x, a>R（或 xRa），所以 a 是集合 A 中的最大元 根据最小元的定义，在集合 A 中不存在最小元4. 解：错误集合 A 的最大元不存在， a 是极大元 5解：正确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 x1，x2 为自然数且 x1x2，就有 fx1=x1+6 x2+6=fx2，故 f 为单射四、运算题1解：（ 1）BA= a, b, c b, d, e= b（2）AB= a, b, c b, d, e= a, b, c, d, e （3）AB= a, b, c b, d, e= a, c（4）BA=ABBA= a, b, c, d, e b= a, c, d, e 2 解：（ 1）（ A B）= a, b, 2（ 2）（ AB）= a, b, 1, 2, a, b, 1（ 3）（ AB） （AB）= a, b, 2, a, b, 1 3 解：（ 1） A B =1,2（2）AB =1,2（3）A×B= <1,1> ，<1,2> ，<1,1,2>，<2,1> ， <2,2> ，<2,1,2> ， <1,1>，<1,2>， <1, 1,2> ， <2,1>，<2,2>,<2, 1,2>4解：R=,S=<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0> R S=，R-1=，S-1=S，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rR=IA812可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5解：（ 1）R=I<1,2>, <1,3>, , <1,12> ,<2,4>, <2,6>, <2,8>, <2,10>, <2,12>, <3,6>, <3,9> ,<3,12>, <4,8>, <4,12>, <5,10>, <6,12>（2） ）关系 R的哈斯图如图四（3） ）集合 B 没有最大元，最小元是： 2 6解： R< a, a>, <a, c>, <b, c>, <d,d>104692375111图四：关系 R 的哈斯图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1010001000000001M RR2 = < a, a>, <a, c>, <b, c>, <d,d> < a, a>, <a, c>, <b, c>, <d,d>=< a, a>, <a, c>,<d,d>7解： （1）R=<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>（2）关系图如图五（3）由于<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于 R，即 A 的每个元素构成的有序对均在 R 中，故 R 在A 上是自反的。因有<2,3>与<3,4>属于 R，但<2,4>不属于 R，所以 R在 A 上不是传递的。2134图五可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、证明题1 证明：设，如 x ABC，就 xA 或 x BC， 即 xA 或 xB 且 x A 或 xC即 xAB 且 x AC，即 xT=ABAC，所以 ABCABAC反之，如 x ABAC，就 xAB 且 x AC， 即 xA 或 xB 且 xA 或 x C，即 xA 或 xBC， 即 xABC，所以ABACABC因此 ABC=ABAC2证明：设 S=AB C，T=AB AC，如 x S，就 xA 且 xBC，即 xA 且 xB 或 xA 且 xC，也即 xAB 或 xAC，即 x T，所以 S T 反之，如 xT，就 xAB 或 x A C，即 xA 且 xB 或 xA 且 x C也即 xA 且 x BC，即 x S，所以 TS 因此 T=S3. 设 R是集合 A 上的对称关系和传递关系，试证明：如对任意aA，存在bA，使得<a, b>R，就 R 是等价关系 证明：已知 R 是对称关系和传递关系，只需证明R 是自反关系aA， bA，使得<a,b>R，由于 R是对称的，故 <b,a>R。 又 R是传递的，即当 <a,b>R，<b,a>R<a,a>R。由元素 a 的任意性，知 R 是自反的所以， R 是等价关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 如非空集合 A 上的二元关系 R 和 S是偏序关系，试证明： R偏序关系S 也是 A 上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： . x性。A,x, xR,x, xSx, xRS ，所以 RS 有自反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x, yA, 由于 R， S是反对称的，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x, yRSy, xRSx, yRx, ySy, xRy, xS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x, yRy, xR) x, ySy, xS) xyyxxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以， RS有反对称性 x, y, zA ，由于 R， S是传递的，x, yRSy, zRSx, yRx, ySy, zRy, zSx, yRy, zRx, ySy, zSx, zRx, zSx, zRS所以， RS 有传递性总之， R 是偏序关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载
