（整理版）全国高中数学联赛试题及详细解析2.doc

全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、 选择题此题总分值36分，每题6分此题共有6小题，每题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个不管是否写在括号内，一律得0分。1使关于的不等式有解的实数的最大值是 A B C D2空间四点A、B、C、D满足那么的取值 A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个将M中的元素按从大到小的顺序排列，那么第个数是ABCD二、填空题此题总分值54分，每题9分此题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。的多项式表为关于的多项式其中那么 .是定义在上的减函数，假设成立，那么的取值范围是 。的各位数字之和等于7，那么称为“桔祥数.将所有“桔祥数从小到大排成一列假设那么 .三、解答题此题总分值60分，每题20分满足：证明：1对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。14.将编号为1,2，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S到达最小值的放法的概率.注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，那么认为是相同的放法上的一点A1,1作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.全国高中数学联赛试题二及参考答案二、此题总分值50分设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.三、此题总分值50分对每个正整数n，定义函数其中x表示不超过x的最大整数， 试求：的值. 全国高中数学联赛解答一、 选择题此题总分值36分，每题6分此题共有6小题，每题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个不管是否写在括号内，一律得0分。1使关于的不等式有解的实数的最大值是 A B C D2空间四点A、B、C、D满足那么的取值 A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个【答案】A【解析】注意到由于那么=即只有一个值得0，应选A。3内接于圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、。那么的值为 A2 B4 C6 D8【答案】A【解析】如图，连，那么表示的曲线是A焦点在轴上的椭圆B焦点在轴上的双曲线C焦点在轴上的椭圆D焦点在轴上的双曲线【答案】C【解析】即又方程表示的曲线是椭圆。即曲线表示焦点在轴上的椭圆，选C。二、填空题此题总分值54分，每题9分此题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。的多项式表为关于的多项式其中那么 . 【答案】【解析】由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取有、满足，假设对于任意那么 。 【答案】【解析】设由，知，即又只有10.如图，四面体DABC的体积为，且满足那么 .【答案】【解析】即又等号当且仅当时成立，这时面ABC，.上，另外两个顶点在抛物线.【答案】80【解析】设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，那么CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为那么在上任取一点6，,5，它到直线的距离为.、联立解得或三、解答题此题总分值60分，每题20分满足：【解析】证明：1对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。证明：1由题设得且两边平方整理得-得由式及可知，对任意为正整数.14.将编号为1,2，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S到达最小值的放法的概率.注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，那么认为是相同的放法【解析】九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，那么本质不同的放法有种. 5分下求使S到达最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码，那么上式取等号当且仅当，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此.由上知，当每个弧段上的球号确定之后，到达最小值的排序方案便唯一确定.在1,2，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值到达最小的唯一排法，即有利事件总数是种，故所求概率上的一点A1,1作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，所求轨迹方程为解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点. 令那么因为CD为的中线，而是的重心.设因点C异于A，那么故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为全国高中数学联赛试题二及参考答案一、此题总分值50分如图，在ABC中，设AB>AC，过A作ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。证明：直线DE、DF分别通过ABC的内心与一个旁心。 2再证DF过ABC的一个旁心.连FD并延长交ABC的外角平分线于I1，连II1、B I1、B I，由1知，I为内心，IBI1=90°=EDI1，D、B、l1、I四点共圆，BI l1 =BDI1=90°ADI1=BAC+ADGADI=BAC+IDG，A、I、I1共线.I1是ABC的BC边外的旁心二、此题总分值50分设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.求函数、=的最小值.令那么且同理，+取等号当且仅当，此时，三、此题总分值50分对每个正整数n，定义函数其中x表示不超过x的最大整数， 试求：的值.例如如下：ji1234561*2*3*4*56*那么由此，记易得的取值情况如下：k123456789101112131415356678698881071010因此，全国高中数学联赛加试第2题的探讨本文对的全国高中数学联赛加试第2题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。题目：设正数a、b、c、x、y、z满足 ；，求函数的最小值。一几种迷茫思路的分析这道题目初看起来比拟平易，给人一种立刻想到直接使用Cauchy不等式的通畅思路的惊喜，殊不知，这是一个极大的误区，此题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。思路一：由Cauchy不等式知到此，在u0的情况下，力图使用函数的性质无法得到最小值。思路二：考虑到题目的条件是6个变量的3个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出x、y、z用a、b、c表达的式子：因为a、b、c；x、y、z都是正数，所以， 到此，似乎胜利的曙光就在眼前，立刻想到在区间内使用函数的性质，但也无法得到最小值，而此时的最大值正好与题目的最小值由于函数的对称性，可以猜想其最小值在A=B=C=600时到达吻合，实际上，这是一条无用的信息说明使用Cauchy不等式过当！，它是答题人再次陷入不能自拔的困境。俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用Cauchy不等式，需要再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。二赛题的解答为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。引理：在ABC 中，求证： 等号成立的条件是ABC为等边三角形。证明：用向量方法证明如下设是平面上的向量，且成角为-A, 成角为-B, 成角为-C,那么， ,所以 注意到，在ABC 中有熟知的等式：.从而得证。有了上面的引理，此题的解答就容易多了，下面看此题的解法。解：同思路二得到，以a、b、c为对应边可以构成一个锐角ABC， 令从而 等号成立的条件显然是A=B=C=600时到达，最后一个不等式是根据引理而得到的。所以，的最小值为.显然，在时，等号成立，所以的最小值为.三背景探索在ABC中，是否有： 请看证明：分两种情况1当ABC为钝角三角形时，此时不妨设A900， 于是 ，所以 , 再据 ，所以，即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。比照之后的表达与今年的这道竞赛加试第2题的解法，不难知道，今年的这道赛题无非是在的第2种情况的根底上增加了一个解方程组的程序并由此判断ABC为锐角三角形罢了，即今年的这道加试题可以看作是由解方程组初中知识的要求，判断三角形种类、与求最值高中知识的要求三个问题的简单合成串联。顺便指出，的证明曾经是上世纪1990年前后在文2等刊物上讨论过几年的一个结论。 四条件等式的几何解释