2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十八圆锥曲线中的最值范围证明问题大题练.doc

课时跟踪检测（十八） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）A卷大题保分练1(2018长春模拟)已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过E.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且2<3，求直线l的斜率k的取值范围解：(1)由解得所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k>0)，联立方程整理得y2y90，144>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又，所以y1y2，所以y1y2(y1y2)2，则，2，因为2<3，所以2<，即<，且k>0，解得0<k.故直线l的斜率k的取值范围是.2(2018陕西模拟)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求F2AB面积的最大值解：(1)由已知条件，得b，且3，ac3.又a2c23，a2，c1，椭圆的方程为1.(2)显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程消去x得，(3m24)y26my90.直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交y1y2，y1y2.SF2AB|F1F2|y1y2|y1y2|1244，令tm211，设f(t)t，易知t时，函数f(t)单调递减，t时，函数f(t)单调递增，当tm211，即m0时，f(t)取得最小值，f(t)min，此时SF2AB取得最大值3.3(2018郑州模拟)已知圆C：x2y22x2y10和抛物线E：y22px(p>0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OAOB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程解：(1)x2y22x2y10可化为(x1)2(y1)21，则圆心C的坐标为(1,1)F，|CF| ，解得p6.抛物线E的方程为y212x.(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为xmyt(t0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y212my12t0，(12m)248t48(3m2t)>0，y1y212m，y1y212t，由OAOB，得0，x1x2y1y20，即(m21)y1y2mt(y1y2)t20，整理可得t212t0，t0，t12，满足>0，符合题意直线l的方程为xmy12，故直线l过定点P(12,0)当CPl，即线段MP经过圆心C(1,1)时，动点M到动直线l的距离取得最大值，此时kCP，得m，此时直线l的方程为xy12，即13xy1560.4(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)(1)证明：k<；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0<m<，故k<.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m<0.又点P在C上，所以m，从而P，|，于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|x1x2|.将m代入得k1，所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以该数列的公差为或.B卷深化提能练1(2018胶州模拟)已知椭圆：1(a>b>0且a，b2均为整数)过点，且右顶点到直线l：x4的距离为2.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与椭圆交于点A，B，l2与椭圆交于点C，D.求四边形ACBD面积的最小值解：(1)由题意，得1，且|4a|2，若a2，则b23；若a6，则b2(舍去)，所以椭圆的方程为1.(2)由(1)知，点F的坐标为(1,0)当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，可得|AB|4，|CD|3或者|AB|3，|CD|4，此时四边形ACBD的面积S436.当l1，l2的斜率均存在时，设直线l1的斜率为k，则k0，且直线l2的斜率为.直线l1：yk(x1)，l2：y(x1)联立得(34k2)x28k2x4k2120.由直线l1过椭圆内的点，知>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.以代替k，得|CD|.所以四边形ACBD的面积S|AB|CD|，当且仅当k21，即k1时等号成立由于<6，所以四边形ACBD面积的最小值为.2设椭圆C：1(a>b>0)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x2y2.若抛物线y24x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；(2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点证明：AOB为定值解：(1)因为抛物线y24x的焦点(1,0)与椭圆C的一个焦点重合，所以c1.又椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以bc1，故椭圆C的方程为y21，“相关圆”E的方程为x2y2.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x，A，B，则AOB.当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x22(kxm)22，即(12k2)x24kmx2m220，16k2m24(12k2)(2m22)8(2k2m21)>0，即2k2m21>0，因为直线l与“相关圆”E相切，所以，即3m222k2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2m20，所以，所以AOB.综上，AOB，为定值3已知椭圆C1：1(a>b1)的离心率为，其右焦点到直线2axby0的距离为.(1)求椭圆C1的方程；(2)过点P的直线l交椭圆C1于A，B两点证明：以AB为直径的圆恒过定点解：(1)由题意，e，e2，a22b2.所以ab，cb.又，a>b1，所以b1，a22，故椭圆C1的方程为y21.(2)证明：当ABx轴时，以AB为直径的圆的方程为x2y21.当ABy轴时，以AB为直径的圆的方程为x22，由可得由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0,1)下证Q(0,1)符合题意当AB不垂直于坐标轴时，设直线AB方程为ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(12k2)x2kx0，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2(1k2)x1x2k(x1x2)(1k2)k0，故，即Q(0,1)在以AB为直径的圆上综上，以AB为直径的圆恒过定点(0,1)4(2018沈阳模拟)已知椭圆1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，直线ykx与椭圆交于A，B两点(1)若AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1(2，1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围解：(1)由题意得c3，根据2a2c16，得a5.结合a2b2c2，解得a225，b216.所以椭圆的方程为1.(2)由得x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x20，x1x2，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2BF2，因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28，所以有8，结合b29a2，解得a212，所以离心率e.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为1，由题可知A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，所以k1k2，又，即k2，由2<k1<1可知，<k2<.即直线PB的斜率k2.