2018_2019学年高中数学第二章平面向量1从位移速度力到向量学案北师大版必修4.doc

1从位移、速度、力到向量内容要求1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景.2.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示的意义和方法知识点1向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量注意向量的两个要素：大小和方向，缺一不可解题时，注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小【预习评价】已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有，是向量的有.知识点2向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段以A为起点，以B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作|.(2)向量可以用有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)箭头所指的方向表示向量的方向(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，来表示，书写用，来表示【预习评价】两个向量能比较大小吗？有向线段是向量吗？提示两个向量不能比较大小，因为向量既有大小也有方向有向线段表示向量，但有向线段不是向量知识点3与向量有关的概念名称定义记法零向量长度为零的向量称为零向量0单位向量长度为单位1的向量叫作单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a与b相等，记作ab共线向量(平行向量)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线规定零向量与任一向量平行a与b平行或共线，记作ab【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的两个要素是大小与方向()(2)长度相等的向量是相等向量()(3)方向相同的向量是共线向量()题型一向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若ab，则a一定不与b共线；(2)若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；(3)在平行四边形ABCD中，一定有；(4)若向量a与任一向量b平行，则a0；(5)若ab，bc，则ac；解两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故(1)不正确(2)，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确(3)在平行四边形ABCD中，|，与平行且方向相同，故，(3)正确(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确(5)ab，则|a|b|且a与b方向相同；bc，则|b|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故ac，(5)正确规律方法对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可【训练1】下列说法正确的有_(填序号)若|a|b|，则ab或ab；向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；向量与是平行向量；任何两个单位向量都是相等向量解析错误由|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上正确向量和是长度相等，方向相反的两个向量错误单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同答案题型二向量的表示【例2】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛(1)试作出向量，；(2)求|.解(1)建立如图所示的直角坐标系，向量，即为所求(2)根据题意，向量与方向相反，故向量.又|，在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，|400(海里)规律方法1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可2起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆【训练2】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶了2千米才到达B地(1)在如图所示的坐标系中画出，；(2)求B地相对于A地的位置向量解(1)向量，如图所示(2)由题意知，AD綊BC，四边形ABCD为平行四边形，B地相对于A地的位置向量为“北偏东60，6千米”【例3】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示与，相等的向量解；.【迁移1】例3中与模相等的向量有多少？解由图知与的模相等的向量有23个【迁移2】例3中与向量的长度相等方向相反的向量有哪些？解与向量长度相等方向相反的向量有，.【迁移3】例3中与向量共线的向量有哪些？解与向量共线的向量有，.规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.课堂达标1下列说法错误的是()A若a0，则|a|0B零向量是没有方向的C零向量与任一向量平行D零向量的方向是任意的解析零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的答案B2如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是()A.B|C.> D.<解析|与|表示等腰梯形两腰的长度，故相等答案B3把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是_；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是_解析因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单位，所以终点构成的图形是两个点答案一条直线两个点4设O是正方形ABCD的中心，则，中，模相等的向量是_答案与，与5如图所示，以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中(1)写出与、相等的向量；(2)写出与模相等的向量解(1)，.(2)，.课堂小结1向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小2用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关3共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.基础过关1下列条件中能得到ab的是()A|a|b|Ba与b的方向相同Ca0，b为任意向量Da0且b0答案D2下列说法正确的是()A若ab，则a与b的方向相同或相反B若ab，bc，则acC若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D若ab，bc，则ac答案D3.如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是()A.与B.与C.与D.与解析，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD互相平分，.答案D4若对任意向量b，均有ab，则a为_答案零向量5在四边形ABCD中，且|，则四边形的形状为_解析，AB綊DC四边形ABCD是平行四边形，|，四边形ABCD是菱形答案菱形6在平面直角坐标系中，画出下列向量(1)|a|2，a的方向与x轴正方向的夹角为60，与y轴正方向的夹角为30；(2)|a|4，a的方向与x轴正方向的夹角为30，与y轴正方向的夹角为120；(3)|a|4，a的方向与x轴正方向的夹角为135，与y轴正方向的夹角为135.解7.如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与向量共线的向量；解(1)四边形ABDE和四边形ABCD都是平行四边形，AB綊ED，AB綊DC，.故与向量相等的向量是，.(2)由共线向量的条件知，与共线的向量有，.能力提升8若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1，其中正确的是()ABCD解析a为任一非零向量，故|a|0.答案B9下列命题中不正确的命题个数为()若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；对于任意|a|b|，且a与b的方向相同，则ab；向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反A1B2C3D4解析不正确因为向量是不同于数量的一种量它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向正确因为|a|b|，且a与b同向由两向量相等的条件可得ab.不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定答案C10给出以下5个条件：ab；|a|b|；a与b的方向相反；|a|0或|b|0；a与b都是单位向量其中能使ab成立的是_(填序号)解析相等向量一定是共线向量，能使ab；方向相同或相反的向量一定是共线向量，能使ab；零向量与任一向量平行，成立答案11已知在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，则|_.解析易知ACBD，且ABD30，设AC与BD交于点O，则AOAB1.在RtABO中，易得|，|2|2.答案212.如图，在四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC上的点，且.求证：.证明，|且ABCD，四边形ABCD是平行四边形，|，且DACB.又与的方向相同，.，四边形CNAM是平行四边形，.|，|，|.DNMB且与的方向相同，.13.(选做题)如图，A，B，C三点的坐标依次是(1，0)，(0,1)，(x，y)，其中x，yR.当x，y满足什么条件时，向量与共线(其中O为坐标原点)?解由点A、B的坐标分别是(1,0)，(0,1)得BAO45.当点C的坐标满足xy0时，点C与点O重合，则有|OC|0，即|0，所以0，这时与共线(零向量与任一向量都共线)；当点C的坐标满足xy0，且xy，即点C在第一、三象限角平分线上时，有ABOC，这时与共线综上可知，当xy时，与共线