2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第二章 推理与证明2.2.1 .docx

2.2直接证明与间接证明22.1综合法和分析法学习目标1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题知识点一综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a>0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b>0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.答案利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论梳理(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(2)综合法的框图表示(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)知识点二分析法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b>0，求证：.证明：要证，只需证ab2，只需证ab20，只需证()20，因为()20显然成立，所以原不等式成立答案从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件梳理(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法(2)分析法的框图表示1综合法是执果索因的逆推证法()2分析法就是从结论推向已知()3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆()类型一综合法的应用例1在ABC中，三边a，b，c成等比数列求证：acos2ccos2b.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.因为左边(ac)(acos Cccos A)(ac)(ac)bbb右边，所以acos2ccos2b.反思与感悟综合法证明问题的步骤跟踪训练1已知a，b，c为不全相等的正实数求证：>3.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为3，又a，b，c为不全相等的正实数，而2，2，2，且上述三式等号不能同时成立，所以3>633，即>3.类型二分析法的应用例2设a，b为实数，求证：(ab)考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明当ab0时，0，(ab)成立当ab>0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式得证反思与感悟分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“”跟踪训练2已知非零向量a，b，且ab，求证：.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明abab0，要证，只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即证(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证类型三分析法与综合法的综合应用例3ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，即证3，即证1.即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，得b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.所以c2a2acb2成立，命题得证引申探究本例改为求证>.证明要证>，只需证ab(ab)c>(1ab)c，即证ab>c.而ab>c显然成立，所以>.反思与感悟综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练3已知a，b，c是不全相等的正数，且0<x<1.求证：logxlogxlogx<logxalogxblogxc.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明要证logxlogxlogx<logxalogxblogxc，只需证logx<logx(abc)，由已知0<x<1，只需证>abc，由公式>0，>0，>0.又a，b，c是不全相等的正数，>abc.即>abc成立logxlogxlogx<logxalogxblogxc成立.1命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程为：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”，其应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D类比法考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案B2设0<x<1，则a，bx1，c中最大的是()Aa BbCc D随x取值不同而不同考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案C解析0<x<1，bx1>2>a，(x1)>0，c>b>a.3要证<成立，只需证()A()2<()2B()2<()2C()2<()2D()2<()2考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案C解析根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，只需证<，即证()2<()2.4已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，且a2b2c2ab，则角C的值为_考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案解析cos C，0<C<，C.5已知a，b，c都为正实数，求证：.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证，只需证2，只需证3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需证2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以成立1综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语3在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用一、选择题1若实数x，y满足不等式xy>1，xy0，则()Ax>0，y>0 Bx<0，y<0Cx>0，y<0 Dx<0，y>0考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案A解析由得2要证a2b21a2b20，只需证()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案D解析要证a2b21a2b20，只需证a2b2(a2b2)10，即证(a21)(b21)0.3在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是()Ab2c2a2 Bb2c2>a2Cb2c2a2 Db2c2<a2考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案D解析由余弦定理的推论，得cos A，A为钝角，cos A<0，则b2c2<a2.4A，B为ABC的内角，A>B是sin A>sin B的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案C解析由正弦定理得2R(R为ABC的外接圆半径)，又A，B为三角形的内角，sin A>0，sin B>0，sin A>sin B2Rsin A>2Rsin Ba>bA>B.5设a，b>0，且ab，ab2，则必有()A1ab Bab<1<Cab<<1 D.<ab<1考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案B解析因为ab，故>ab，又因为ab2>2，故ab<1，2ab>1，即>1>ab.6若a，b，c，则()Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<a<c考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案C解析利用函数单调性设f(x)，则f(x)，当0<x<e时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f(x)<0，f(x)单调递减又a，b>a>c.7设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)单调递减若x1x2>0，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负 B恒等于零C恒为正 D无法确定正负考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数由x1x2>0，可知x1>x2，所以f(x1)<f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)<0.二、填空题8命题“函数f(x)xxln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程为“对函数f(x)xxln x取导得f(x)ln x，当x(0,1)时，f(x)ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案综合法9如果ab>ab，则正数a，b应满足的条件是_考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案ab解析ab(ab)a()b()()(ab)()2()只要ab，就有ab>ab.10设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案a>c>b解析a2c22(84)46>0，a>0，c>0，a>c.c>0，b>0，>1，c>b.a>c>b.11比较大小：设a>0，b>0，则lg(1)_lg(1a)lg(1b)考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案解析(1)2(1a)(1b)2(ab)0，(1)2(1a)(1b)，则lg(1)2lg(1a)(1b)，即lg(1)lg(1a)lg(1b)12.如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案对角线互相垂直(答案不唯一)解析要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可三、解答题13已知a>0，求证：a2.考点分析法及应用题点利用分析法解决不等式问题证明要证a2，只需证2a.因为a>0，所以只需证22，即a244a2222，从而只需证2 ，只需要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立四、探究与拓展14若不等式(1)na<2对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案解析当n为偶数时，a<2，而22，所以a<；当n为奇数时，a>2，而2<2，所以a2.综上可得，2a<.15在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明由A，B，C成等差数列，得2BAC.由于A，B，C为ABC的三个内角，所以ABC.由，得B.由a，b，c成等比数列，得b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，从而ac，所以AC.由，得ABC，所以ABC为等边三角形