2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 .docx

3.1数系的扩充和复数的概念31.1数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x22在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数梳理(1)复数定义：把集合Cabi|a，bR中的数，即形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母C表示知识点二两个复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi (a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.知识点三复数的分类(1)复数(abi，a，bR)(2)集合表示：1若a，b为实数，则zabi为虚数()2复数zbi是纯虚数()3若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()类型一复数的概念例1(1)给出下列几个命题：若zC，则z20；2i1虚部是2i；2i的实部是0；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集其中真命题的个数为()A0 B1C2 D3(2)已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(1)C(2)，5解析(1)令ziC，则i21<0，故不正确中2i1的虚部应是2，故不正确当a0时，ai0为实数，故不正确，只有，正确(2)由题意知a，b5.反思与感悟(1)复数的代数形式：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答跟踪训练1下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集其中正确说法的个数是()A0 B1 C2 D3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析对于复数abi(a，bR)，当a0且b0时，为纯虚数对于，若a1，则(a1)i不是纯虚数，故错误对于，若x2，则x240，x23x20，此时(x24)(x23x2)i0，不是纯虚数，故错误显然，正确故选B.类型二复数的分类例2求当实数m为何值时，z(m25m6)i分别是(1)虚数；(2)纯虚数考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)复数z是虚数的充要条件是m3且m2.当m3且m2时，复数z是虚数(2)复数z是纯虚数的充要条件是m3.当m3时，复数z是纯虚数引申探究1若本例条件不变，m为何值时，z为实数解由已知得，复数z的实部为，虚部为m25m6.复数z是实数的充要条件是m2.当m2时，复数z是实数2已知i是虚数单位，mR，复数z(m22m15)i，则当m_时，z为纯虚数答案3或2解析由题意知解得m3或2.反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数跟踪训练2当实数m为何值时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是(1)纯虚数；(2)实数考点复数的分类题点由复数的分类求未知数解(1)复数lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数，则解得m4.(2)复数lg(m22m7)(m25m6)i是实数，则解得m2或m3.类型三复数相等例3(1)已知x0是关于x的方程x2(2i1)x3mi0(mR)的实根，则m的值是_考点复数相等题点由复数相等求参数答案解析由题意，得x(2i1)x03mi0，即(xx03m)(2x01)i0，由此得m.(2)已知A1,2，a23a1(a25a6)i，B1,3，AB3，求实数a的值考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，所以即所以a1.反思与感悟(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不成立(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解跟踪训练3复数z1(2m7)(m22)i，z2(m28)(4m3)i，mR，若z1z2，则m_.考点复数相等题点由复数相等求参数答案5解析因为mR，z1z2，所以(2m7)(m22)i(m28)(4m3)i.由复数相等的充要条件得解得m5.1若xii2y2i，x，yR，则复数xyi等于()A2i B2iC12i D12i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由i21，得xii21xi，则由题意得1xiy2i，根据复数相等的充要条件得x2，y1，故xyi2i.2若复数zm21(m2m2)i为实数，则实数m的值为()A1 B2C1 D1或2考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案D解析因为复数zm21(m2m2)i为实数，所以m2m20，解得m1或m2.3下列几个命题：两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1ai(aR)是一个复数；虚数的平方不小于0；1的平方根只有一个，即为i；i是方程x410的一个根；i是一个无理数其中真命题的个数为()A3 B4 C5 D6考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析命题正确，错误4已知复数za2(2a3)i(aR)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(，1)(3，)解析由已知可得a2>2a3，即a22a3>0，解得a>3或a<1，因此，实数a的取值范围是a|a>3或a<15若log2(x23x2)ilog2(x22x1)>1，则实数x的值是_考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案2解析由题意知得x2.1对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1设a，bR，“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析因为a，bR，当“a0”时“复数abi不一定是纯虚数，也可能b0，即abi0R”而当“复数abi是纯虚数”，则“a0”一定成立所以a，bR，“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要不充分条件2以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是()A22i BiC2i D.i考点复数的概念题点求复数的实部和虚部答案A解析设所求新复数zabi(a，bR)，由题意知复数2i的虚部为2，复数i2i2i2(1)2i的实部为2，则所求的z22i.故选A.3若(xy)ix1(x，yR)，则2xy的值为()A. B2 C0 D1考点复数相等题点由复数相等求参数答案D解析由复数相等的充要条件知，解得xy0.2xy201.4下列命题中：若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；若(z1z2)2(z2z3)20，则z1z2z3.正确命题的个数是()A0 B1C2 D3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案A解析取xi，yi，则xyi1i，但不满足xy1，故错；错，故选A.5若sin 21i(cos 1)是纯虚数，则的值为()A2k(kZ) B2k(kZ)C2k(kZ) D.(kZ)考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案B解析由题意，得解得(kZ)，2k，kZ.6若复数zi是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为()A7 BC7 D7或考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案C解析复数zi是纯虚数，cos 0，sin 0，sin ，tan ，则tan7.7已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实数根n，且zmni，则复数z等于()A3i B3iC3i D3i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由题意知n2(m2i)n22i0，即解得z3i，故选B.二、填空题8设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案2解析由即m2.9已知z1(m2m1)(m2m4)i，mR，z232i.则m1是z1z2的_条件考点复数相等题点由复数相等求参数答案充分不必要解析当z1z2时，必有m2m13，m2m42，解得m2或m1，显然m1是z1z2的充分不必要条件10已知复数zm2(1i)m(mi)(mR)，若z是实数，则m的值为_考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案0或1解析zm2m2im2mi(m2m)i，所以m2m0，所以m0或1.11复数z(a22a3)(|a2|1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是_考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案(，1)(1，)解析若复数z(a22a3)(|a2|1)i是纯虚数，则a22a30，|a2|10，解得a1，当a1时，复数z(a22a3)(|a2|1)i不是纯虚数12已知log(mn)(m23m)i1，且nN*，则mn_.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案1或2解析由题意得由，得m0或m3.当m0时，由(mn)1，得0<n2，n1或n2.当m3时，由(mn)1，得0<n32，3<n1，即n无自然数解m，n的值分别为m0，n1或m0，n2.故mn的值为1或2.三、解答题13实数m为何值时，复数z(m22m3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)要使z是实数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m3.(2)要使z是虚数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.(3)要使z是纯虚数，m需满足0，m10，且m22m30，解得m0或m2.四、探究与拓展14定义运算adbc，如果(xy)(x3)i，求实数x，y的值考点复数相等题点由复数相等求参数解由定义运算adbc，得3x2yyi，故有(xy)(x3)i3x2yyi.因为x，y为实数，所以得得x1，y2.15已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i满足MNM，且MN，求整数a，b的值考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意，得(a3)(b21)i3i，或8(a21)(b2)i，或(a3)(b21)i(a21)(b2)i.由，得a3，b2，由，得a3，b2，中，a，b无整数解，不符合题意综上，a3，b2或a3，b2或a3，b2.