线面角的求法总结.docx
精品名师归纳总结线面角的三种求法1. 直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段, 垂线段, 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元 素,它可以起到联系各线段的作用。例 1 （ 如图 1 ）四周体 ABCS 中,SA,SB,SC两两垂直, SBA=45° , SBC=60°,M为AB 的中点,求（ 1） BC 与平面 SAB 所成的角。（ 2）SC 与平面 ABC 所成的角。解:（ 1） SC SB,SC SA,HMACBS图 1 SC平面 SAB故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影, SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60°。（2） 连结 SM,CM ,就 SMAB,又 SC AB, AB 平面 SCM,面 ABC 面 SCM过 S 作 SH CM 于 H,就 SH平面 ABC CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 SCH 为SC与平面 ABC 所成的角。sin SCH=SH SC SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为77（“垂线”是相对的, SC 是面 SAB 的垂线,又是面ABC的斜线 . 作面的垂线常依据面面垂直的性质定理, 其思路是： 先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的垂线,就得面的垂线。 ）2. 利用公式 sin =h 其中 是斜线与平面所成的角,h是 垂线段的长, 是斜线段的长,其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例 2 （ 如图 2）长方体 ABCD-A 1B1C1D1 ,AB=3 ,BC=2, A 1A= 4,求 AB 与面 AB 1 C1D所成的角。解：设点 B 到 AB 1C1D 的距离为 h, V B AB 1C1 =V A BB 1C1 13 S AB 1C1·h= 13SBB 1C1·AB ,易得 h=12 5设AB与 面 A B 1C1D 所成的角为 , 就sin=hAB=4 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DC2A3B4HCD11A 1B1图 2 AB 与面 AB 1C1D 所成的角为 arcsin 4 53. 利用公式 cos =cos 1·cos 2（如图 3） 如 OA 为平面的一条斜线, O为斜足, OB 为OA 在面 内的射影, OC为面 AOBC内的一条直线,其中 为OA 与OC所成的角,图31 为OA 与OB所成的角, 即线面角, 2为OB与OC所成的角, 那么 cos =cos 1·cos 2 （同学们可自己证明） ,它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例 3（如图 4） 已知直线 OA,OB,OC两两所成的角为60°, ,求直线 OA与 面 OBC 所成的角的余弦值。解： AOB= AOC OA 在面 OBC内的射影在 BOC的平分线 OD 上,就 AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角,可知 DOC=3°0,cosAOC=cos AOD· cos DOC cos60°=cosAOD· cos30° cos AOD=3 3 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为 3 3。A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O（一）复习：BDC图 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 直线和平面的位置关系。 （平行、相交和直线在平面内）2. 摸索：当直线 a 与平面的关系是 aA 时,如何反映直线与平面的相对位置关系了？（可以用实物来演示,明显不能用直线和平面的距离来衡量）（二）新课讲解：1. 平面的斜线和平面所成的角：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知,如图,AO 是平面的斜线, A 是斜足, OB 垂直于平面, B 为垂足,就直线 AB 是O斜线在平面内的射影。设 AC 是平面内的任意一条直线,且BCAC ,垂足为 C , 又设 AO 与 AB 所成角为1 , AB 与 AC 所成角为 2 , AO 与 AC 所成角为,就易知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB | | AO | cos1 , | AC | | AB | cos 2| AO | cos1 cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 | AC | | AO |cos,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以得到：coscos 1cos 2 ,1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 20, （如 22,就由三垂线定理可知,A22C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAAC ,即。与“ AC是平面内的任意一条直线,且BCAC ,垂足为 C ”2不相符）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易得：coscos 1又 , 10, 即可得： 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就可以得到：（ 1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。（ 2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角,叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。说明 ： 1如 a,就规定 a 与所成的角是直角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如a /或 a,就规定 a 与所成的角为 0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 直线和平面所成角的范畴为：090 。4 直 线 和 平 面 所 成 角 是 直 斜 线 与 该 平 面 内 直 线 所 成 角 的 最 小 值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ coscos 1cos2 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例题分析：例 1如图,已知 AB 是平面的一条斜线, B 为斜足, AO,O 为垂足, BC 为内A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的一条直线,ABC60 ,OBC45 ,求斜线 AB 和平面所成角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： AO,由斜线和平面所成角的定义可知,ABO 为 AB 和所成角,又 coscos 1 cos 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cosABOcos cosABC CBOcos60122 ,BOcos45222C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAO45 ,即斜线 AB 和平面所成角为 45 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2如图,在正方体AC1 中,求面对角线A1B 与对角面BB1D1D 所成的角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（法一）连结A1C1 与 B1D1 交于 O ,连结 OB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 DD1A1C1 , B1D1A1C 1, A1O平面BB1D1D ,D1C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1BO 是 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角,1O1A1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt A1BO 中,A1OA1B , 2A1BO30 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（法二）由法一得A1BO 是A1B 与对角面BB1D1D 所成的角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 cosA1BB1cos 452 , cos2B1BOB1 B BOD6C,3AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cosA1 BOcos cosA1 BB1 B1 BO223 ,623A1BO30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影,后求斜线与其射影的夹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角。另外,在条件答应的情形下,用公式coscos 1cos2 求线面角显得更加便利。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等,求AC 与平面 BCD 所成角的余弦值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：过 A 作 AO平面 BCD 于点 O ,连接CO, BO, DO ,A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABACAD , O 是正三角形 BCD 的外心,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设四周体的边长为 a ,就 CO3 a ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOC90 ,ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成角,33COB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cosACO,所以, AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为33D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五课堂练习：课本第45 页练习第 1, 2, 3 题。第 47 页习题 9.7 的第 1 题。六小结： 1线面角的概念。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 coscos 1cos2 及应用步骤：, 1,2 在图形中所表示的角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七作业：课本第45 页练习第 4 题、第 47 页习题 9.7 的第 2 题。补充： 1 如图, PA是平面的斜线,BAC 在平面内,且满意BAC90 ,又已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PABPAC60 ,求 PA 和平面所成的角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如图,已知 PA正方形 ABCD 所在平面,且 PC24, PBPD6 10 ,求 PC 和平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面 ABCD 所成的角。PPBADACBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载
