第二章知识点总结高等代数2.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次章行列式学问点总结一行列式定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、n 级行列式aij（ 1）等于全部取自不同行不同列的n 个元素的乘积a1 j a2 janj（2）的代可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12na11a12a1na21na22a2 nan1an2ann数和，这里j1 j2j n 是一个n 级排列。当j1 j 2jn 是偶排列时，该项前面带正号。当j1 j2jn 是奇排列时，该项前可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面带负号，即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aija11a12a1na21a22a2nan1an 2j1 j2jnann1 j1 j2jna1 ja2 janj 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、等价定义a1 i1i2in aaa和 a1i1i 2in j1 j 2jn aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ij ni1 i2ini11i2 2i nnij ni1i2in 和j1 j2j ni1 j1i2 j2in jn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、由 n 级排列的性质可知，n 级行列式共有占一半。4、常见的行列式1）上三角、下三角、对角行列式n. 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a22a11a220a11a22a11a22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0annannann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）副对角方向的行列式a1n0a1 na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaan n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 12,n 12,n 112aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n2,n 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an103）范德蒙行列式：an1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a11a21an2a12a22an1 j i naia j 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a n 1a n 1an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nn2二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2、互换行列式的两行（列），行列式变号。3、行列式中某一行（列）中全部的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。即：某一行（列）中全部的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。4、如行列式中有两行成比例，就此行列式等于零。5、如某一行（列）是两组数之和，就这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原先行列式的对应的行（列）一样。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。三、行列式的按行（列）绽开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、子式1）余子式：在n 级行列式Daij中，去掉元素aij所在的第i 行和第 j 列后，余下的n-1 级行列式称为aij的余子式，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 M ij 。2）代数余子式：A1ij M称为 a的代数余子式。ijijij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3） k 级子式：在n 级行列式Daij中，任意选定k 行和 k 列 1kn ，位于这些行列交叉处的k2 个元素，按原先可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次序构成一个k 级行列式M ，称为 D 的一个 k 级子式。当 kn 时，在 D 中划去这 k 行和 k 列后余下的元素依据原来的次序组成的nk 级行列式 M称为 k 级子式 M 的余子式。2、按一行（列）绽开1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按第 i 行绽开Dai1 Ai1ai 2 Ai 2ain Ain i1,2, n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按第 j 列绽开Da1 j A1 ja2 j A2 janj Anj j1,2, n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ai 1 Aj 1ai 2 Aj 2ain Ajn0ij ; 或 a1i A1 ja2 i A2 jani Anj0, ij .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、按 k 行（ k 列）绽开拉普拉斯定理：在n 级行列式中，任意取定k 个行（ k 列） 1kn1 ，由这 k 行（ k 列）元素组成的全部的k 级可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。4、其他性质1）设 A 为 n 阶方阵，就AA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）设 A 为 n 阶方阵，就kAkn A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3）设A, B 为 n 阶方阵，就ABAB ，但ABAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA04）设 A 为 m 阶方阵，设B 为 n 阶方阵，就AB ，但 ABAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0BBa11a1nb11b1nc11c1 n其中cijan1an1bn1bn1cn1cn15）行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、行列式的运算ai 1b1 jai 2b2 jain bnj , i, j1,2,n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1、运算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。详细运算时需要依据等到式中行（或列）元素的特点来挑选相应的解题方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。用直接递推法的关键是找出一个关于Dn 1 的代数式来表示Dn ，依次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从 D1D2D3D4Dn ，逐级递推便可以求出Dn 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二： 数学归纳法。 第一步发觉和猜想。其次步证明猜想的正确性。其次步的关键是第一要得到Dn 关于Dn 1 和 Dn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的递推关系式。方法三： 加边法。 加边法是将所要运算的n 级行列式适当的添加一行一列（或 m 行 m 列） 得到一个新的n+1（或 m+1 ）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的n+1 （或 m+1 ）级行列式较易运算。其一般做法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a1n1a1ana11a1n100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an10a110an1a1n或an1an1an1b1a11b1an1a1nan1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特别情形取a1a2an1或 b1b2bn1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法四：拆行（列）法。将所给的行列式拆成两上或如干个行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有两种情形：一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项。二是所给行列式中行（列）没有两项和形式， 这时需作保持行列式值不变，使其化为两项和。方法五：析因子法。假如行列式D 中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多项式f x ，然后对行列式f x 实行某些变换， 求出f x 的互素的一次因式，使得f x 与这些因式的乘积g x 只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相差一个常数因子c，依据多项式相等的定义，比较f x 与的g x某一项系数，求出c 值，便可求得Dcg x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、行列式运算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式（非零元分布在两条线上，例如，等等）。注：“两条线”型行列式一般实行直接绽开降阶法运算，或用拉普拉斯定理绽开，降阶后的行列式或为三角形行列式， 或得到一个递推公式。类型二：“三条线”行列式（非零元分布在三条线上）。（ 1）“三对角”行列式（,）。注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一得到一个一般的递推公式DnpDn 1qDn2 ，然后可以用以下两种方法之一求出Dn 的表达式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先运算D1 , D2 , D3 等，找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于Dn 和Dn 1 的方程组，从而消去Dn 1 就可解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 Dn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）“爪型”行列式（）。注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式进行求解。（ 3） Hessenerg 型行列式 （）。类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解。类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式。注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解。类型五：可利用范德蒙行列式运算的行列式。类型六：其他形式行列式。五、克莱姆法就1、克莱姆法就：假如含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11x1 a21 x1an1 x1a12 x2 a22 x2an 2 x2a1n xn a2n xnann xnb1b2的系数行列式不等于零，即bna11Dan1a1n0 ，an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就方程组有唯独解：xD1 , xD2 , xDn12nDDD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 D j j1,2,n 是把系数行列式D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、含 n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11x1 a21x1a12 x2 a22 x2a1n xn a2n xn00只有零解的充要条件是系数行列式D0 。有非零解的充要条件是系数行列式D0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1 x1an2 x2ann xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载