浙江专用版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法数列的概念与简单表示法 .docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（浙江专用） 2021 版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.1数列的概念与简洁表示法老师用书1数列的定义依据肯定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原就类型满意条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*递增数列an 1 >an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按项与项间的大小关系递减数列an 1 <an常数列an1 an其中 n N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分类摇摆数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式假如数列 an 的第 n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式【学问拓展】1如数列 an 的前 n 项和为 Sn，通项公式为an，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 anS1，n 1，Sn Sn 1，n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在数列 an 中，如 an 最大，就an an 1，an an 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 an 最小，就an an 1，an an 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3数列与函数的关系数列是一种特别的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列【摸索辨析】判定以下结论是否正确 请在括号中打“”或“×”(1) 全部数列的第n 项都能使用公式表达×(2) 依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 31,1,1,1，不能构成一个数列×可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列×nnn 1(5) 假如数列 a 的前 n 项和为 S，就对任意n N* ，都有 an 1n S S.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是由于用这些数目的点可以排成一个正三角形 如下列图 就第 7 个三角形数是A 27B 28C 29D 30答案B解析由图可知，第7 个三角形数是1 23 4 5 6 7 28.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112已知数列 1，1，1，以下各数中是此数列中的项的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结×21112×313×4nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 35 B.42 C.48 D.54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案B23数列 an 中， an n 11n，就此数列最大项的值是答案30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解析a n2 11n n 1122121，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*2 nN ，当 n 5 或 n6 时， an 取最大值30. 4已知数列 an 的前 n 项和 Sn n 1，就 an.2， n1，答案2n 1，n2解析当 n 1 时， a1 S1 2，当 n2时，n nn 1aS S n21 n 1 2 1 2n 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 an2， n1，2n 1， n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型一由数列的前几项求数列的通项公式例 112016·杭州模拟 数列 1,3,6,10，的一个通项公式是22A ann n 1B an n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C annn2D annn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 数列 an 的前 4 项是2n 13， 1， 2710，917，就这个数列的一个通项公式是an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案1C2n2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析1 观看数列1,3,6,10，可以发觉1 1，3 1 2，6 1 2 3，10 12 3 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第 n 项为 1 2 3 4 n nnnn2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an2.2×1 12×2 12×3 12×4 12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 数列 an 的前 4 项可变形为2，1 12，2 12，3 12，故 an2.4 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及详细策略可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(1) 常用方法：观看 观看规律 、比较 比较已知数列 、归纳、转化 转化为特别数列 、联想 联想常见的数列 等方法(2) 详细策略：分式中分子、分母的特点。相邻项的变化特点。拆项后的特点。各项的符号特点和肯定值特点。化异为同，对于分式仍可以考虑对分子、分母各个击破，或寻kk 1*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结找分子、分母之间的关系。对于符号交替显现的情形，可用 1或 1，k N 处理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据数列的前几项，写出以下各数列的一个通项公式1 1,7 ， 13,19 ，。20.8,0.88,0.888，。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13，214，5138，16，2932，6164，.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解1 数列中各项的符号可通过 1表示， 从第 2 项起， 每一项的肯定值总比它的前一项n的肯定值大6，故通项公式为an 1 6 n 5 8181812 数列变为 9 1 10 ， 9 1 102 ， 9 1 103 ，81故 an 9 1 10n .(3) 各项的分母分别为21, 22, 23, 24，易看出第2,3,4项的肯定值的分子分别比分母小3. 2 3因此把第1 项变为2，12342 32 32 32 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原数列化为1，2，22n3，4，22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 an 1n2 3n.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型二由 an 与 Sn 的关系求通项公式21例212021 ·余姚模拟 如数列 an 的前n 项和Sn 3 an 3 ，就 an 的通项公式an.n1答案 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解析由 Sn 3an1，得当 n2时， Sn 12an 11，两式相减，整理得an 2an 1，又当 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33321n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 时， S1 a1a13， a11，an 是首项为1，公比为 2 的等比数列，故an 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. 12 已知以下数列 an 的前 n 项和 Sn ，求 an 的通项公式2n Sn2n 3n。 Sn 3 b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解a1 S1 23 1，当 n2时， anSn Sn 1 2 n2 3n 2 n 1 23 n 1 4n 5， 由于 a1 也适合此等式，an 4n 5. a1S13 b，nn 1当 n2时， anSn Sn 13 b 3 bn 12·3.当 b 1 时， a1 适合此等式。 当 b 1 时， a1 不适合此等式n 1当 b 1 时， an2·3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b 1 时， an3 b， n 1，n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2·3， n2.思维升华已知 Sn，求 an 的步骤1 当 n 1 时， a1 S1。2(2) 当 n2时， an Sn Sn 1。 3 对 n 1 时的情形进行检验，如适合n2的通项就可以合 并。如不适合就写成分段函数形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 已 知 数 列 an 的 前n项 和Sn 3n 2n 1 ， 就 其 通 项 公 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为(2) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn， a1 1， Sn 2an 1，就 Sn 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1A 23B 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 3 n D.212n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案1 an2， n 1，6n 5， n22B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解析1 当 n 1 时， a1 S13×1 2×1 12。当 n2时，a22n Sn Sn 1 3n 2n 1 3 n 1 2 n 1 1 6n5，明显当n 1 时，不满意上式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故数列的通项公式为an2， n 1，6n 5， n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由 anSn1 Sn，得Sn Sn Sn，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1 113即 Sn 1 2Sn n1 ，又 S1 a1 1，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以数列 Sn 是首项为1，公比为的等比数列，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3所以 Sn 2n1，应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型三由数列的递推关系求通项公式例 3依据以下条件，确定数列 an 的通项公式11 a12， an 1 an ln1 。nn2 a11， an 1 2 an。3 a11， an 1 3an 2.1解1 an 1 an ln1 ，n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 anan 1 ln1 n ln 1 n2 ， n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an an an1 an1 an2 a2a1 a1nn 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ln n 1 ln n ln 22 ln 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 ln···n 1n 2· 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 lnn n2 *又 a12 适合上式，故an 2 lnn n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2 an 12an ，an an1 2n1 n2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ananan 1···a2· a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1an 2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2·2·· 2·1 2 2n 1n 212 3 n1n n 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a11 适合上式，故an 2n n 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 an 13an 2， an 1 13 an 1 ， 又 a11， a1 12，故数列 an 1 是首项为2，公比为3 的等比数列，n1n1 an12·3，故 an2·3 1.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(1) 当显现 an an 1 m 时，构造等差数列。2 当显现 an xan 1 y 时，构造等比数列。3an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当显现 an an1 f n 时，用累加法求解。4 当显现f n 时，用累乘法求解an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1(1) 已知数列 an 满意 a 1，an· an n2且 n N* ，就 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n1*(2) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn 2an 1 n N ，就 a5 等于 A 16 B 16 C 31 D 321答案1 n2Bn 1解析1 annan1 n2 ，n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 1an 2， a2 n1a1. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以上 n 1 个式子相乘得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123an a1·2· ··n 1na11n n.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n1 时也满意此等式，an n.2 当 n 1 时， S1 2a1 1， a1 1.当 n2时， Sn 1 2an1 1， anSnSn 1 2an 2an 1， an 2an 1.an 是等比数列且a1 1，q 2，44故 a5a1×q 2 16.题型四数列的性质 命题点 1数列的单调性n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4已知 ann，那么数列 an 是 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A递减数列B递增数列C常数列D摇摆数列答案B2*解析an 1 n 1，将 an 看作关于n 的函数， n N ，易知 an 是递增数列命题点 2数列的周期性例 52021 ·镇海中学模拟 在数列 an 中，如存在非零整数T，使得 am T am对于任意的正整数 m 均成立，那么称数列 an 为周期数列，其中T 叫做数列 an 的周期如数列 xn 满意 xn1 | xn xn 1| n2， n N ，如 x1 1，x2 a aR，a0 ，当数列 xn 的周期最小时，该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列的前2 016项的和是 A 672C 1 342B 673D 1 344答案D解析由于 x11， x2a a R，a0 ， xn 1 | xnxn 1| n2， n N ，所以 x3| a 1|. 又由于数列 xn 的周期为3，所以x1 1，x4 | x3 x2| | a 1| a| x1 1，解得a 1 或 a 0. 由于 a0，所以a 1，所以 x2 1， x3 0，即 x1 x2 x3 2. 同理可得x4 1， x5 1，x6 0，x4x5 x6 2， ，x2 014 x2 015 x2 016 2，所以 S2 016 x1 x2 x2 016 1 10 ×672 1 344 ，应选 D.命题点 3数列的最值n例 6数列 an 的通项 ann2 90，就数列 an 中的最大项是 A 310B 19110C. 19D. 60答案C90解析令 f x x x x>0 ，运用基本不等式得f x 2 90，当且仅当x 310时等号成111*1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结立由于ann90，所以n90 290，由于 n N ，不难发觉当n 9 或 n 10 时， an19 n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最大思维升华1 解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，依据an 1 an 的符号判定数列 an 是递增数列、递减数列仍是常数列an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用作商比较法，依据 an0 或 an 0 与 1 的大小关系进行判定an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结合相应函数的图象直观判定(2) 解决数列周期性问题的方法先依据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再依据周期性求值(3) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12021 ·台州模拟 数列 an 满意 an 112an，0 an ，213a1 5，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2an 1， an1，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列的第2 015 项为22 设 an 3n 15n 18，就数列 an 中的最大项的值是1613A. 3B. 3C 4D 02答案1 52D31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析1 由已知可得，a22× 1 ，55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12a32× ，55245a42× ，543可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a52× 1 ，55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 为周期数列且T 4，2 a2 015 a503×4 3 a3 .5n5 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 an 32 4，由二次函数性质，得当n 2 或 3 时， an 最大，最大值为0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13解决数列问题的函数思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n10典例1 数列 an 的通项公式是an n1 ·11，就此数列的最大项是第项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2*2 如 an n kn 4 且对于 n N ，都有 an 1>an 成立，就实数k 的取值范畴是思想方法指导1 可以将数列看成定义域为正整数集上的函数。2 数列的最值可以依据单调性进行分析解析1 an 1 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n210n 111 n 110 n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 119 nn× 11 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n<9 时， an1 an>0，即 an 1>an。 当 n9 时， an 1 an 0，即 an 1 an。 当 n>9 时， an1 an<0，即 an 1<an，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -该数列中有最大项，且最大项为第9、10 项22 由 an 1>an 知该数列是一个递增数列， 又由于通项公式an n kn4，*所以 n 1 2 k n 1 4>n2 kn 4， 即 k> 1 2n，又 n N ，所以 k> 3. 答案19或 102 3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24631数列， ， ，578，的第10 项是 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16182022A 17 B 19 C 21 D 23答案C解析所给数列出现分数形式，且正负相间， 求通项公式时， 我们可以把每一部分进行分解：n12n20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结符号、分母、分子很简洁归纳出数列 an 的通项公式an 1· 2n 1，故 a10 21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知数列的通项公式为n n 8n 15，就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 3 不是数列 an 中的项B 3 只是数列 an 中的第 2 项C 3 只是数列 an 中的第 6 项D 3 是数列 an 中的第 2 项和第 6 项答案D22解析令 an 3，即 n 8n 15 3，整理得n 8n 120，解得 n 2 或 n 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32021 ·宁波中学月考 已知数列 an 满意 a11， an 12ann为正奇数，ann为正偶数，就其前可