二次函数的图像及其性质 .docx

精品名师归纳总结26.2二次函数的图像【学习目标】1、会做函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象，并能比较它们的异同。懂得a,c 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标。2、明白抛物线 y=ax2 上下平移规律。3、娴熟把握二次函数的性质。4、应用二次函数解决实际问题.【主要概念】二次函数的图像是一条关于xb对称的曲线，这条曲线叫抛物线2a.抛物线的主要特点：有开口方向。有对称轴。有顶点.【2】二次函数图像的画法五点法：1、先依据函数解读式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点对称轴M ，并用虚线画出2、求抛物线yax2bxc 与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点C 的对称点 D. 将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像 .当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D.由 C、M 、 D 三点可粗略的画出二次函数的草图.假如需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像.【3】二次函数的性质函数yax2二次函数bxca, b,c是常数， a0a>0a<0yy图像0x0x性质（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延长。（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延长。【1】二次函数的图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）对称轴是 x=b，顶点坐标是（2ab ，（ 2 ） 对 称 轴 是x=2ab， 顶 点 坐 标 是2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4acb 2）。4 a（b ，2 a4acb 2）。4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b时， y 随 x2a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b时， y 随2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 增 大 而 减 小。 在 对 称轴 的 右 侧 ， 即当bx 的增大而增大。在对称轴的右侧，即当b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x>时， y 随 x 的增大而增大，简记左2ax>时， y 随 x 的增大而减小，简记2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结减右增。（ 4 ）抛物线有最低点，当x=b时， y 有最2a左增右减。（ 4）抛物线有最高点，当x=b时， y 有最2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小值，y最小值4acb 24 a大值，y最大值4 acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2【4】二次函数 yaxbxca,b,c是常数， a0 中，a、b、c 的含义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上a <0 时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=b2ac 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0， c）【5】二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此一元二次方程中的b24ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 >0 时，图像与 x 轴有两个交点。 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点。 当 <0 时，图像与 x 轴没有交点 .【5】二次函数的平移可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、将抛物线解读式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 保持抛物线yax2 的势状不变，将其顶点平移到h ，k处，详细平移方法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=ax 2向上k>0【或向下 k<0】平移 |k |个单位y=ax 2+k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向右h>0【或左 h<0】平移|k|个单位y=ax-h2向右h>0 【或左 h<0 】平移 |k|个单位向上k>0 【或下 k<0 】平移|k|个单位向上k>0 【或下 k<0】平移 |k|个单位向右h>0【或左 h<0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移。k 值正上移，负下移”特殊记忆 -同左上加 异右下减说明： 函数中 ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左， a b 值异号，图像顶点必在 Y轴右侧异右 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减【6】二次函数各种形式之间的变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 次 函 数 yax2bxb4acb 2c 用 配 方 法 可 化 成 ： ya xh 2k 的 形 式 ， 其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h， k.2a4 a2二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yax2 。 yax2k 。 ya xh。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ya xh 2k 。 yax 2bxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【7】二次函数解读式的表示方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、一般式：2yaxbxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、顶点式：yaxh2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、两根式：yaxx1 xx2 （ a0 ， x1 ，x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：任何二次函数的解读式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b24ac0 时，抛物线的解读式才可以用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交点式表示二次函数解读式的这三种形式可以互化.【8】二次函数图象的对称: 二次函数图象的对称一般有五种情形，可以用一般式或顶点式表达关于 x 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yaxbxc 关于 x 轴对称后，得到的解读式是yax2bxc 。22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yaxhk 关于 x 轴对称后，得到的解读式是关于 y 轴对称yaxhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yaxbxc 关于 y 轴对称后，得到的解读式是yaxbxc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22yaxhk 关于 y 轴对称后，得到的解读式是2ya xhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yaxbxc 关于原点对称后，得到的解读式是yaxbxc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xhk 关于原点对称后，得到的解读式是2yaxhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于顶点对称2yaxbxc 关于顶点对称后，得到的解读式是2yax2bxcb 。22a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya xhk 关于顶点对称后，得到的解读式是ya xhk 关于点m ，n对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xhk 关于点m ，n对称后，得到的解读式是2ya xh2m2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【学问点填空】1、二次函数的图像：表达式顶点坐标对称轴最值图像yax2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya xm 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax 2 +c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yaxh) 2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=ax2+bx+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小学问点总结a) 开口方向由a 的确定：当 a0，开口向上。当a 0，开口向下。b) 开口大小由 a 的肯定值确定： |a|越大开口越大。c) 对称轴是直线x 等于顶点的横坐标，最值是y 等于顶点的纵坐标。d) 已知图像如何判定a、b、c 的符号详细规章如下： a 由图像开口确定（开口向上a 0，开口向下a0）， c 由图像与y 轴的交点确定（交y 正半轴 c0，交 y负半轴 c 0），b 由对称轴和 a 共同来确定 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：二次函数 y=ax2+bx+ca0的图像与系数a、b、c、 b 2系数的符号图像特点a 的符号a>0.抛物线开口向a<0抛物线开口向4 ac 的关系 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 的符号b>0.抛物线对称轴在 y 轴的 侧b=0抛物线对称轴是轴b<0抛物线对称轴在 y 轴的 侧c 的符号c>0.抛物线与 y 轴交于C=0抛物线与 y 轴交于c<0抛物线与 y 轴交于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 24 ac 的符号b 24 ac >0.抛物线与 x 轴有个交点b 24 ac =0抛物线与 x 轴有个交点b 24 ac <0抛物线与 x 轴有个交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【经典例题】【例 1】求作函数y1 x224 x6 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】 y1 x 224x61 x 228 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x 224 2- 41 x 224 2 - 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 x4 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x-7-6-5-4-3-2-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y502335-20222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】求作函数yx 24x3 的图象 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】 yx 24x3 x24x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x227 x2 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先画出图角在对称轴x2 的右边部分，列表x-2-1012y76543可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2【例 3】求函数 yx6x9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】yx26 x2x 26x97 x3 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由配方结果可知：顶点坐标为3，7 ，对称轴为 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10当 x3 时，ymin7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数在区间， 3上是减函数，在区间3， 上是增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 4】求函数 y5x 23x1图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2a23534acb2，104a4 5413229520可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数图象的顶点坐标为 3 ,1029) ，对称轴为 x292020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结50当 x3时，函数取得最大值10329ymaz20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数在区间 , 上是增函数，在区间103, 上是减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 5】假如f xx 2bxc 对于任意实数 t 都有f 3t f 3t ，那么（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（A ）f 3f 1f 4（B ）f 1f 3f 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（C）f 3f 4f 1（D ）f 4f 3f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】f 3t f 3t 对于一切的 tR 均成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 的图像关于 x3 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a10抛物线开口向上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 3 是 f x 的最小值 .1343 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 3f 4f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【 例 6 】 如 果f xx 2bxc 对 于 任 意 实 数 t 都 有 f 2t f 2t ， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1 f 1 .用“ ”或“ ”填空 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】f 2t f 2t 对于一切的 tR 均成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 的图像关于 x2 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a10抛物线开口向下 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 21 2 ，f 1f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2【例 7】求函数 yx 22x5在给定区间 1,5上的最值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】 1、原函数化为 yx22x5x16可编辑资料 - 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- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 10】二次函数 yA a 0B c 0ax2bxc 的图象如下列图，就以下关系式中错误的是（）y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C b24ac 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D abc 0 1O1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】选 D1【例 11】抛物线 y=3x2 ， y=-3x2 ， y=3x2+3 共有的性质是第 11 题图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、开口向上B、对称轴是 y 轴C、都有最高点D、y 随 x 值的增大而增大【解】三个图象的顶点的横坐标都是0, 所以对称轴都是 y 轴. 选 B【例 12】将二次函数 y=3（ x+2 ）2-4 的图象向右平移 3 个单位，再向上平移1 个单位，所得的图象的函数关系式是A、y=3（ x+5 ） 2-5B、y=3 （x-1 ） 2-5 C、y=3（ x-1 ） 2-3D、y=3 （x+5 ） 2-3【解】 y=3（ x+2） 2-4 的图象向右平移3 个单位，得 y=3（ x+2-3 ）2-4=3x-12-4,再向上平移 1 个单位，得 y=3（ x-1 ）2-4+1=3x-12-3.选 C【例 13】图 1 是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，就a、b、c 满意图 1A、 a>0,b>0,c>0B、a>0,b<0,c>0 C、 a>0,b>0,c<0D、a>0,b<0,c<0【解】由开口向上可得a>0, 图象交 y 轴于负半轴 , 可得 c<0, 图象对称轴在y 轴的左侧 , 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x=-b<0. 由 a>0, 可得 b>0. 选 C2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 14】如图 2，正方形 ABCD边长是 16 cm， P 是 AB 上任意一点（与 A、B 不重合）， QPDP.设 AP=x cm， BQ=y cm.试求出 y 与 x 之间的函数关系式.图 2【解】 ABCD是正方形 , A= B=90° ,ADP+ APD=90° .又 QP DP, APD+ QPB=90° . ADP=QPB.有 ADP BPQ.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BQ =APPB .DA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y = 16x . y=-1 x2+x.x1616可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 15】如图，已知抛物线C1： ya x2 25的顶点为 P，与 x 轴相交于 A 、B 两点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（点 A 在点 B 的左边），点B 的横坐标是 1 1、求P点坐标及 a的值。2、如图（ 1），抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线C2 向右平移，平移后的抛物线记为C3， C3 的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C3 的解读式。3、如图（ 2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线C1 绕点 Q 旋转 180 °后得到抛物线C4抛物线 C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F的左边），当以点P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1yMBAOC1yABQxONEFx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P图（ 1图） 1C2C3PC4图（图2）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1yBAHOPMGxC2C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图1【解】 1、由抛物线 C1 ： y2a x25 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结顶点 P 的为（ -2， -5）点 B （ 1， 0）在抛物线 C1 上2 0a 1255解得， a 92、连接 PM，作 PH x 轴于 H ，作 MG x 轴于 G点 P、 M 关于点 B 成中心对称 PM 过点 B ，且 PB MB PBH MBGMG PH 5， BG BH 3C顶点 M 的坐标为（ 4， 5）y抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到，抛物线C3 由 C2 平移得到1N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线 C3 的表达式为 y5 x4 259AHB QG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180 °得到顶点 N 、P 关于点 Q 成中心对称由（ 2）得点 N 的纵坐标为 5设点 N 坐标为（ m， 5）作 PH x 轴于 H ，作 NG x 轴于 G作 PK NG 于 K旋转中心 Q 在 x 轴上 EF AB 2BH 6 FG 3，点 F 坐标为（ m+3 ， 0）H 坐标为（ 2， 0）， K 坐标为（ m，-5）， 依据勾股定理得PN2 NK2+PK2 m2+4m+104 PF2PH2+HF2 m2+10m+50 NF2 52+32 34当 PNF 90o时， PN2+ NF2 PF2，解得 m 44， Q 点坐标为（ 190）OEFxKPC4图2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33 ，当 PFN 90o时， PF2+ NF2 PN2，解得 m 10， Q 点坐标为（ 2，0）33 PN NK 10 NF ， NPF90o综上所得，当Q 点坐标为（ 19， 020）时，以点 P、N、 F 为顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的三角形是直角三角形）或（ ，33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 16】如图，直线 y35x+6 分别与 x 轴、 y 轴交于 A， B 两点，直线 yx 与44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点D.点 E 从点 A 动身，以每秒 1 个单位yD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的速度沿 x 轴向左运动过点E 作 x 轴的垂线，分别