2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一练习：第四章 习题课 指数函数、对数函数的综合应用 .docx
习题课指数函数、对数函数的综合应用课后篇巩固提升基础巩固1.函数f(x)=13x在-1,0上的最大值是()A.-1B.0C.1D.3解析函数f(x)=13x在区间-1,0上是减函数,则最大值是f(-1)=13-1=3.答案D2.函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是()A.(-,+)B.1,+)C.(-,1D.0,+)解析因为y=eu为增函数,u=|x-1|在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增,所以由复合函数“同增异减”法则可知函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是(-,1.故选C.答案C3.函数f(x)=log12(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+)B.(-,0)C.(2,+)D.(-,-2)解析令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.故函数f(x)的定义域为(-,-2)(2,+),当x(-,-2)时,t随x的增大而减小,y=log12t随t的减小而增大,所以y=log12(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-,-2)上单调递增.故选D.答案D4.已知函数f(x)=ax,x<0,(a-3)x+4a,x0满足对任意x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,则a的取值范围是()A.0,14B.(0,1)C.14,1D.(0,3)解析由于函数f(x)=ax,x<0,(a-3)x+4a,x0满足对任意的x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,所以该函数为R上的减函数,所以0<a<1,a-3<0,4aa0,解得0<a14.答案A5.已知y=loga(2-ax)在区间0,1上为减函数,则a的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.2,+)解析由题设知a>0,则t=2-ax在区间0,1上是减函数.因为y=loga(2-ax)在区间0,1上是减函数,所以y=logat在定义域内是增函数,且tmin>0.因此a>1,tmin=2-a>0,故1<a<2.答案B6.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间0,+)上是增函数,且f12=0,则不等式f(log4x)<0的解集是.解析由题意可知,f(log4x)<0-12<log4x<124-12<x<41212<x<2.答案12,27.一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据的内存为2 KB,如果每3 min自身复制一次,复制后所占据的内存是原来的2倍,那么开机后,该病毒占据64 MB(1 MB=210 KB)内存需要经过的时间为min.解析设开机t min后,该病毒占据y KB内存,由题意,得y=22t3=2t3+1.令y=2t3+1=64210,又64210=26210=216,所以有t3+1=16,解得t=45.答案458.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>0,且a1),g(x)=loga(4-2x).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,则有x+1>0,4-2x>0,解得-1<x<2.故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即loga(x+1)>loga(4-2x).当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;当0<a<1时,可得x+1<4-2x,解得x<1,由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).9.已知定义域为R的函数f(x)=1-2x2x+1+a是奇函数.(1)求a的值;(2)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.解(1)由f(x)是R上的奇函数,有f(x)=-f(-x)1-2x2x+1+a=-1-2-x2-x+1+a对于任意实数x恒成立,解得a=2,此时f(x)=12x+1-12.(2)我们先证明f(x)=12x+1-12的单调性:任取x1,x2R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=12x1+1-12-12x2+1-12=2x2-2x1(2x1+1)(2x2+1)>0.可见f(x)在R上单调递减.由此结合奇偶性,我们有f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,即f(t2-2t)<f(k-2t2),t2-2t>k-2t2,即3t-132-13-k>0.要使上述不等式对tR恒成立,则需-13-k>0,即k<-13.故k的取值范围为-,-13.能力提升1.函数y=xln |x|的大致图象是()解析函数f(x)=xln |x|的定义域(-,0)(0,+)关于原点对称,且f(-x)=-xln |-x|=-xln |x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0<x<1时,f(x)<0,排除选项A,C.故选D.答案D2.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间2,+)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.a4B.a2C.-4<a4D.-2a4解析函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间2,+)上是增函数,y=x2-ax+3a在2,+)上大于零且单调递增,故有a22,4-2a+3a>0,解得-4<a4,故选C.答案C3.已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x1时,f(x)=5x,则f23,f32,f13的大小关系是()A.f13<f23<f32B.f32<f13<f23C.f32<f23<f13D.f23<f32<f13解析y=f(x+1)是偶函数,y=f(x+1)的对称轴为x=0,y=f(x)的对称轴为x=1.又x1时,f(x)=5x,f(x)=5x在区间1,+)上是增函数,f(x)在(-,1)上是减函数.f32=f12,且23>12>13,f23<f12<f13,即f23<f32<f13.答案D4.已知函数y=logax(a>0,且a1),当x>2时恒有|y|1,则a的取值范围是.解析当a>1时,y=logax在区间(2,+)上是增函数,由loga21,得1<a2;当0<a<1时,y=logax在区间(2,+)上是减函数,且loga2-1,得12a<1.故a的取值范围是12,1(1,2.答案12,1(1,25.若函数y=12x-1+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围是.解析将函数y=12x的图象向右平移1个单位长度得到函数y=12x-1的图象(如图所示),当m<0时,将y=12x-1的图象向下平移|m|个单位长度就可以得到函数y=12x-1+m的图象.要使y=12x-1+m的图象不经过第一象限,则需m-2.答案m-26.已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a>0,a1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式abx2m+1在x(-,1时恒成立,求实数m的取值范围.解(1)由题意得ab=6,ba3=24,解得a=2,b=3,f(x)=32x.(2)设g(x)=abx=23x,则y=g(x)在R上为减函数,当x1时g(x)min=g(1)=23.abx2m+1在x(-,1上恒成立,g(x)min2m+1,即2m+123,m-16.故实数m的取值范围为-,-16.7.已知函数f(x-1)=lgx2-x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)lg(3x+1).解(1)令t=x-1,则x=t+1.由题意知x2-x>0,即0<x<2,则-1<t<1.所以f(t)=lgt+12-(t+1)=lgt+11-t.故f(x)=lgx+11-x(-1<x<1).(2)lgx+11-xlg(3x+1)x+11-x3x+1>0.由3x+1>0,得x>-13.因为-1<x<1,所以1-x>0.由x+11-x3x+1,得x+1(3x+1)(1-x),即3x2-x0,x(3x-1)0,解得x13或x0.又x>-13,-1<x<1,所以-13<x0或13x<1.故不等式的解集为-13,013,1.8.已知函数f(x)=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1.(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.分析设u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1.(1)函数f(x)的定义域为R,则真数u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1恒为正,若u(x)为二次函数,则图象的开口向上且判别式小于0,但需考虑a2-1=0时的情况.(2)若函数f(x)的值域为R,则真数u(x)能取到所有正实数.解设u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1.(1)函数f(x)=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为R,即u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1>0在R上恒成立.当a=1时,2x+1>0在R上不能恒成立,故舍去;当a=-1时,1>0恒成立;当a2-10,即a1时,则a2-1>0,=(a+1)2-4(a2-1)<0,即a>1或a<-1,a>53或a<-1,a>53或a<-1.实数a的取值范围是(-,-153,+.(2)f(x)的值域为R,u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1的函数值要取遍所有的正数,即(0,+)是u(x)值域的子集.当a=1时,符合题意;当a=-1时,不符合题意;当a1时,函数u(x)为二次函数,即函数u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1的图象与x轴有交点且开口向上,则a2-1>0,=(a+1)2-4(a2-1)0,即a>1或a<-1,-1a53,1<a53.综上可知,实数a的取值范围是1,53.
