2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一练习：第二章测评 .docx
第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019全国,理1)已知集合M=x|-4<x<2,N=x|x2-x-6<0,则MN=()A.x|-4<x<3B.x|-4<x<-2C.x|-2<x<2D.x|2<x<3解析由题意得N=x|-2<x<3,则MN=x|-2<x<2,故选C.答案C2.已知集合A=x|x2+x-20,B=xx+1x-20,则A(RB)=()A.(-1,2)B.(-1,1)C.(-1,2D.(-1,1解析由x2+x-20,得-2x1.A=-2,1,由x+1x-20,得x-1或x>2.B=(-,-1(2,+).则RB=(-1,2,A(RB)=(-1,1.答案D3.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是()A.t>sB.tsC.t<sD.ts解析t-s=4b-b2-4=-(b-2)20,故ts.答案D4.下列命题中,正确的是()A.若ac>bc,则a>bB.若a>b,c>d,则a-c>b-dC.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a<b,则a<b解析取a=-3,c=-1,b=-2,则ac=3,bc=2,ac>bc,但a<b,故A错;取a=3,b=-1,c=5,d=0,则a>b,c>d,但a-c=-2,b-d=-1,a-c<b-d,故B错;取a=3,b=-1,c=0,d=-2,则a>b,c>d,但ac=0,bd=2,ac<bd,故C错;因为0a<b,故(a)2<(b)2,即a<b,故D正确.答案D5.不等式2x+2<x+1的解集是()A.(-3,-2)(0,+)B.(-,-3)(-2,0)C.(-3,0)D.(-,-3)(0,+)解析不等式2x+2<x+1等价于x(x+3)x+2>0,即等价于x(x+3)(x+2)>0,得它的解集为(-3,-2)(0,+).答案A6.若不等式x2-(a+1)x+a0的解集是-4,3的子集,则a的取值范围是()A.-4,1B.-4,3C.1,3D.-1,3解析由x2-(a+1)x+a0得(x-a)(x-1)0,若a=1,不等式解集为1,满足1-4,3;若a<1,有ax1,即解集为a,1,若满足a,1-4,3,则-4a<1;若a>1,有1xa,即解集为1,a,若满足1,a-4,3,则1<a3,综上-4a3,即实数a的取值范围是-4,3.答案B7.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,则实数m的取值范围是()A.(-1,4)B.(-4,1)C.(-,-1)(4,+)D.(-,0)(3,+)解析1x+4yx+y4=2+y4x+4xy2+2y4x4xy=4,则x+y44,不等式x+y4<m2-3m有解,则m2-3m>4,解得m<-1或m>4,故选C.答案C8.某工厂年产量第二年增长率为a,第三年增长率为b,这两年年产量的平均增长率为x,则()A.xa+b2B.x>a+b2C.xa+b2D.x<a+b2解析设该工厂原年产量为1,由题意得(1+a)(1+b)=(1+x)2,x=(1+a)(1+b)-1(1+a)+(1+b)2-1=a+b2,当且仅当1+a=1+b即a=b时取等号.答案C9.当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-,6)B.(-,6C.6,+)D.(6,+)解析当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,即不等式m<x+9x恒成立,即m<x+9xmin.x+9x2x9x=6(当且仅当x=3时取“=”),因此x+9xmin=6,所以m<6.答案A10.已知实数a,b满足1a+b3,-1a-b1,则4a+2b的取值范围是()A.0,10B.2,10C.0,12D.2,12解析因为4a+2b=3(a+b)+(a-b),所以31-14a+2b33+1,即24a+2b10,选B.答案B11.若正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值为()A.4B.92C.5D.112解析正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,x+2y+x+2y22-80,当且仅当x=2y时取等号.设x+2y=t>0,t+14t2-80,t2+4t-320,即(t+8)(t-4)0,t4,故x+2y的最小值为4.答案A12.对实数a和b,定义运算“”:ab=a,a-b1,b,a-b>1.设函数y=(x2-2)(x-x2),xR.若函数y=c的图象与x轴恰有两个交点,则实数c的取值范围是()A.(-,-2-1,32B.(-,-2-1,-34C.-1,1414,+D.-1,-3414,+解析由题可知y=x2-2,-1x32,x-x2,x<-1或x>32,作出函数图象,如图所示,由图象可知,y=c与上述图象有两个交点时,c的取值范围为(-,-2-1,-34.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,则a的取值范围是.解析由题意,设y=x2+(a2-1)x+a-2,要使得关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,根据二次函数的图象与性质,则满足x=1时,y<0,即a2+a-2<0,即(a-1)(a+2)<0,解得-2<a<1,即实数a的取值范围是-2<a<1.答案-2<a<114.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,cR)的解集为x|3<x<4,则c2+5a+b的最小值为.解析由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知-ba=3+4=7,ca=34=12,b=-7a,c=12a,则c2+5a+b=144a2+5-6a=-24a+5-6a2(-24a)5-6a=45,当且仅当-24a=5-6a,即a=-512时取等号.答案4515.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少52t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是.解析由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-52t万亩,则税收收入为20-52t24 000t%.由题意20-52t24 000t%9 000,整理得t2-8t+150,解得3t5.当耕地占用税率为3%5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元.t的范围是3,5.答案3,516.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)2x+4y的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:z=(x+2y)2x+4y=2+4xy+4yx+818,乙:z=(x+2y)2x+4y22xy28xy=16.你认为甲、乙两人解法正确的是.请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确.答案甲答案不唯一.如:已知x>0,y>0,求z=(a+b)1a+1b的最小值.甲:z=(a+b)1a+1b=1+ba+ab+14,乙:z=(a+b)1a+1b2ab21a1b=4.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a,b为正数,且ab,比较a3+b3与a2b+ab2.解(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),a>0,b>0且ab,(a-b)2>0,a+b>0,(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.18.(12分)若bc-ad0,bd>0,求证:a+bbc+dd.证明bc-ad0,bd>0,bcad,1bd>0,bc1bdad1bd,即cdab,cd+1ab+1,c+dda+bb,即a+bbc+dd.19.(12分)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为x|x<1或x>b.(1)求a,b;(2)解不等式x-cax-b>0.解(1)由题意可知1,b为方程ax2-3x+2=0的两根,据根与系数的关系有1+b=3a,1b=2a,可得a=1,b=2.(2)由(1)可知,不等式x-cx-2>0,当c<2时,原不等式的解集为x|x<c或x>2;当c=2时,原不等式的解集为x|x2;当c>2时,原不等式的解集为x|x<2或x>c.20.(12分)已知函数f(x)=(m+1)x2-mx+1.(1)当m=5时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数m的取值范围.解(1)当m=5时,f(x)=6x2-5x+1,不等式f(x)>0即为6x2-5x+1>0,解得该不等式的解集为xx<13或x>12.(2)由题意得(m+1)x2-mx+1>0的解集为R.当m=-1时,该不等式的解集为(-1,+),不符合题意,舍去;当m<-1时,不符合题意,舍去;当m>-1时,=(-m)2-4(m+1)<0,解得2-22<m<2+22.综上所述,实数m的取值范围是(2-22,2+22).21.(12分)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住2022年冬奥会契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入16(x2-600)万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x5万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价.解(1)设每件定价为t元,依题意得8-t-2510.2t258,整理得t2-65t+1 0000,解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意知当x>25时,不等式ax258+50+16(x2-600)+15x有解,等价于x>25时,a150x+16x+15有解,由于150x+16x2150x16x=10,当且仅当150x=x6,即x=30时等号成立,所以a10.2.当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.22.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,aR.(1)若a=2,试求函数yx(x>0)的最小值;(2)对于任意的x0,2,不等式ya成立,试求a的取值范围.解(1)依题意得yx=x2-4x+1x=x+1x-4.因为x>0,所以x+1x2.当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以yx-2.故当x=1时,yx的最小值为-2.(2)因为y-a=x2-2ax-1,所以要使得“对于任意的x0,2,不等式ya成立”只要“x2-2ax-10在0,2上恒成立”.不妨设z=x2-2ax-1,则只要z0在0,2上恒成立.所以0-0-10,4-4a-10,解得a34.所以a的取值范围是34,+.
