2019-2020学年新一线同步数学人教B版必修一练习：第三章测评 .docx

第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列函数与函数y=x相同的是()A.y=x2B.y=3t3C.y=x2D.y=x2x解析y=3t3=t,tR.答案B2.函数f(x)=x|x|的图像是()解析由于f(x)=x|x|=1,x>0,-1,x<0,所以其图像为C.答案C3.函数f(x)=x+1+12-x的定义域为()A.-1,2)(2,+)B.(-1,+)C.-1,2)D.-1,+)解析由x+10,2-x0,解得x-1,且x2.答案A4.函数f(x)=x+1,-1<x<0,2x,x0,若实数a满足f(a)=f(a-1),则f1a=()A.4B.6C.-6D.8解析由分段函数的定义可知其定义域为(-1,+),a>0.当0<a<1时,f(a)=f(a-1),即2a=a,解得a=14,f1a=f(4)=8;当a1时,f(a)=f(a-1),即2a=2(a-1),不成立,故选D.答案D5.函数f(x)=1-x2,x1,x2-x-3,x>1,则f(f(2)的值为()A.-1B.-3C.0D.-8解析f(2)=22-2-3=-1,f(f(2)=f(-1)=1-(-1)2=0.答案C6.已知二次函数f(x)=m2x2+2mx-3,则下列结论正确的是()A.函数f(x)有最大值-4B.函数f(x)有最小值-4C.函数f(x)有最大值-3D.函数f(x)有最小值-3解析由题知,m2>0,所以f(x)的图像开口向上,函数有最小值f(x)min=4m2(-3)-4m24m2=-4,故选B.答案B7.若函数f(x)(xR)是奇函数,则()A.函数f(x2)是奇函数B.函数f(x)2是奇函数C.函数f(x)x2是奇函数D.函数f(x)+x2是奇函数解析f(-x)2)=f(x2),则函数f(x2)是偶函数,故A错误;f(-x)2=-f(x)2,则函数f(x)2是偶函数,故B错误;函数f(-x)(-x)2=-f(x)x2,则函数f(x)x2是奇函数,故C正确;f(-x)+(-x)2f(x)+x2,且f(-x)+(-x)2-f(x)-x2,则函数f(x)+x2是奇函数错误,故D错误.故选C.答案C8.已知偶函数f(x)在区间0,+)内单调递增,则满足f(2x-1)<f13的x的取值范围是()A.13,23B.13,23C.12,23D.12,23解析函数f(x)是偶函数,f(2x-1)<f13等价于f(|2x-1|)<f13.又f(x)在区间0,+)内单调递增,|2x-1|<13,解得13<x<23.答案A9.函数f(x)=cx2x+3x-32满足f(f(x)=x,则常数c等于()A.3B.-3C.3或-3D.5或-3解析f(f(x)=ccx2x+32cx2x+3+3=c2x2cx+6x+9=x,即x(2c+6)x+9-c2=0,所以2c+6=0,9-c2=0,解得c=-3.故选B.答案B10.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为()A.31B.17C.-17D.15解析令g(x)=ax3+bx,则g(x)为奇函数,因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所以g(-7)=-17-7=-24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.答案A11.f(x)=(3a-1)x+4a(x<1),-ax(x1)是定义在(-,+)内的减函数,则a的取值范围是()A.18,13B.18,13C.0,13D.-,13解析由题意可得3a-1<0,-a<0,-a3a-1+4a,解得18a<13,故选A.答案A12.若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+)内是减函数,又f(3)=0,则f(x)+f(-x)2x<0的解集为()A.(-3,3)B.(-,-3)(3,+)C.(-,-3)(0,3)D.(-3,0)(3,+)解析f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),f(x)+f(-x)2x=2f(x)2x=f(x)x<0,即f(x)<0,x>0或f(x)>0,x<0.f(x)为偶函数且在(0,+)内为减函数,f(x)在(-,0)内是增函数.由f(3)=0知f(-3)=0,f(x)<0,x>0可化为f(x)<f(3),x>0,x>3;f(x)>0,x<0可化为f(x)>f(-3),x<0,-3<x<0.综上,f(x)+f(-x)2x<0的解集为(-3,0)(3,+).答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(2)=12,则a=.解析函数f(x)为奇函数,且f(2)=12,f(-2)=-f(2)=-12.又由当x<0时,f(x)=x2+ax,则f(-2)=4-2a=-12,解得a=8.答案814.若函数f(x)=ax+1x+2在x(-2,+)内单调递减,则实数a的取值范围是.解析f(x)=ax+1x+2=a+1-2ax+2.y=1x+2在x(-2,+)内是减函数,1-2a>0,a<12.答案a<1215.对任意两个实数x1,x2,定义maxx1,x2=x1,x1x2,x2,x1<x2,若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则maxf(x),g(x)的最小值为.解析f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,当x2-2-(-x)=x2+x-20时,x1或x-2,此时,f(x)g(x),当-2<x<1时,x2+x-2<0,即f(x)<g(x),所以maxf(x),g(x)=-x,-2<x<1,x2-2,x1或x-2,可结合分段函数的图像得最小值为f(1)=-1.答案-116.函数f(x)同时满足:对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;对于定义域上的任意x1,x2,当x1x2,恒有f(x1)-f(x2)x1-x2<0.则称函数f(x)为“理想函数”,则下列三个函数中:(1)f(x)=1x,(2)f(x)=x2,(3)f(x)=-x2,x0,x2,x<0,称为“理想函数”的有(填序号).解析由题意知“理想函数”为定义域上的奇函数且在定义域上单调递减.函数f(x)=1x是奇函数,其虽然在区间(-,0)和(0,+)内是减函数,但不能说其在定义域(-,0)(0,+)内是减函数,所以f(x)=1x不是“理想函数”;函数f(x)=x2是偶函数,且其在定义域R上先减后增,也不是“理想函数”;函数f(x)=-x2,x0,x2,x<0是“理想函数”.答案(3)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+1,求f(x)在xR上的表达式.解因为f(x)是定义域在R上的奇函数,所以f(0)=0,当x<0时,-x>0,由已知得,f(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-1,所以f(x)=x2-2x+1,x>0,0,x=0,-x2-2x-1,x<0.18.(12分)已知f(x)=1x-1,x2,6.(1)证明:f(x)是定义域上的减函数;(2)求f(x)的最大值和最小值.解(1)设2x1<x26,则f(x1)-f(x2)=1x1-1-1x2-1=x2-x1(x1-1)(x2-1).因为x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以f(x)是定义域上的减函数.(2)由(1)的结论可得,f(x)min=f(6)=15,f(x)max=f(2)=1.19.(12分)已知函数f(x)=mx+1nx+12(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=114.(1)求m,n的值;(2)当x1,+)时,判断f(x)的单调性并证明;(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.解(1)f(1)=m+1n+12=2,f(2)=2m+12n+12=114,m=1,n=2.(2)设1x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+12x1+12-x2+12x2+12=(x1-x2)1-12x1x2=(x1-x2)2x1x2-12x1x2.1x1<x2,x1-x2<0,x1x2>1,2x1x2>1,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x)在1,+)内单调递增.(3)1+2x21,x2-2x+4=(x-1)2+33,需要1+2x2>x2-2x+4,x2+2x-3>0,x<-3或x>1.20.(12分)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为3 600-3 00050=12,所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为f(x)=100-x-3 00050(x-150)-x-3 0005050,整理,得f(x)=-x250+162x-21 000=-150(x-4 050)2+307 050.所以当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050元,即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307 050元.21.(12分)已知f(x)对任意的实数m,n都有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.(1)求f(0);(2)求证:f(x)在R上为增函数;(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x1,+)恒成立,求实数a的取值范围.(1)解令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,f(0)=1.(2)证明任取x1,x2R且x1<x2,x2-x1>0,f(x2-x1)>1.f(m+n)=f(m)+f(n)-1,f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1),f(x2)>f(x1),f(x)在R上为增函数.(3)解f(ax-2)+f(x-x2)<3,即f(ax-2)+f(x-x2)-1<2,f(ax-2+x-x2)<2.f(1)=2,f(ax-2+x-x2)<f(1).又f(x)在R上为增函数,ax-2+x-x2<1,x2-(a+1)x+3>0对任意的x1,+)恒成立.令g(x)=x2-(a+1)x+3,当a+121时,g(1)>0,得a<3,a1;当a+12>1时,<0,即(a+1)2-34<0,-23-1<a<23-1,1<a<23-1.综上,实数a的取值范围为(-,23-1).22.(12分)已知二次函数f(x)的图像过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值是74.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间0,1上的最小值,其中tR;(3)在区间-1,3上,y=f(x)的图像恒在函数y=2x+m的图像上方,试确定实数m的范围.解(1)由题知二次函数图像的对称轴为x=32,又最小值是74,则可设f(x)=ax-322+74(a0).又图像过点(0,4),则a0-322+74=4,解得a=1,f(x)=x-322+74=x2-3x+4.(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其对称轴x=t.t0时,函数h(x)在0,1上单调递增,最小值为h(0)=4;当0<t<1时,函数h(x)的最小值为h(t)=4-t2;当t1时,函数h(x)在0,1上单调递减,最小值为h(1)=5-2t,所以h(x)min=4,t0,4-t2,0<t<1,5-2t,t1.(3)由已知:f(x)>2x+m对x-1,3恒成立,m<x2-5x+4对x-1,3恒成立,m<(x2-5x+4)min(x-1,3).g(x)=x2-5x+4在x-1,3上的最小值为-94,m<-94.