浙江省2019高考数学优编增分练：解答题突破练五函数与导数.doc

(五)函数与导数1(2018浙江省台州中学模拟)设函数f(x)ax2bxc(a0)，曲线yf(x)过点(0,2a3)，且在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)用a分别表示b和c；(2)当bc取得最小值时，求函数g(x)f(x)ex的单调区间解(1)f(x)2axb，由题意得则b2a，c2a3.(2)由(1)得bc2a(2a3)42，故当a时，bc取得最小值，此时有b，c，从而f(x)x2x，f(x)x，g(x)f(x)exex，所以g(x)(x24)ex，令g(x)0，解得x12，x22.当x(，2)时，g(x)<0，故g(x)在(，2)上为减函数；当x(2,2)时，g(x)>0，故g(x)在(2,2)上为增函数；当x(2，)时，g(x)<0，故g(x)在(2，)上为减函数由此可见，函数g(x)的单调递减区间为(，2)，(2，)，单调递增区间为(2,2)2(2018浙江省温州六校协作体联考)已知函数f(x)ekx(kx)(k0)(1)当k2时，求yf(x)在x1处的切线方程；(2)对任意xR，f(x)恒成立，求实数k的取值范围解(1)当k2时，f(x)e2x(2x)f(x)2e2x(2x)e2xe2x(32x)，f(1)e2，又f(1)e2，所求的切线方程为ye2e2(x1)即ye2x.(2)方法一ekx(kx)，当xk时，0，即k>0，对任意xR，k(kx)ekx恒成立，设g(x)ekxkxk2，g(x)kekxkk(1ekx)，当x<0时，g(x)<0，当x>0时，g(x)>0，g(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数，g(x)ming(0)1k20，又k>0，0<k1.方法二对任意xR，f(x)恒成立f(x)max，xR.f(x)kekx(kx)ekxekx(k2kx1)，当k<0，xk时，f(x)0；x<k时，f(x)<0，f(x)在上是减函数，在上是增函数又当x时，f(x)，而<0，与f(x)恒成立矛盾，k<0不满足条件；当k>0，xk时，f(x)0；x>k时，f(x)<0，f(x)在上是增函数，在上是减函数f(x)maxf，k210，即1k1，又k>0，0<k1，综上所述，实数k的取值范围是(0,13设函数f(x)xln xax2(b1)x，g(x)exex.(1)当b0时，函数f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)若yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，且函数h(x)f(x)g(x)在x(1，)时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a的取值范围解(1)当b0时，f(x)xln xax2x，f(x)ln x2ax，f(x)xln xax2x有2个极值点就是方程ln x2ax0有2个不同的解，即y2a与m(x)的图象的交点有2个m(x)，当x(0，e)时，m(x)>0，m(x)单调递增；当x(e，)时，m(x)<0，m(x)单调递减m(x)有极大值，又x(0,1时，m(x)0；当x(1，)时，0<m(x)<.当a时，y2a与m(x)的图象的交点有0个；当a(，0或a时，y2a与m(x)的图象的交点有1个；当a时，y2a与m(x)的图象的交点有2个综上，实数a的取值范围为.(2)函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，f(1)0且f(1)0，f(x)ln x2axb，b2a且a1.h(x)xln xax2(b1)xexex在x(1，)时，其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当x>1时，h(x)f(x)g(x)>0恒成立，即ln xex2ax2ae>0恒成立，令t(x)ln xex2ax2ae，t(x)ex2a，设(x)ex2a，(x)ex，x>1，ex>e，<1，(x)>0，(x)在(1，)上单调递增，即t(x)在(1，)上单调递增，t(x)>t(1)1e2a，当a且a1时，t(x)0，t(x)ln xex2ax2ae在(1，)上单调递增，t(x)>t(1)0成立，当a>时，t(1)1e2a<0，t(ln 2a)2a2a>0，存在x0(1，ln 2a)，满足t(x0)0.t(x)在(1，)上单调递增，当x(1，x0)时，t(x)<0，t(x)单调递减，t(x0)<t(1)0，t(x)>0不恒成立实数a的取值范围为(，1).4已知函数f(x)x1aex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x2>4.(1)解f(x)1aex，当a0时，f(x)>0，则f(x)在R上单调递增当a<0时，令f(x)>0，得x<ln，则f(x)的单调递增区间为，令f(x)<0，得x>ln，则f(x)的单调递减区间为.(2)证明由f(x)0得a，设g(x)，则g(x).由g(x)<0，得x<2；由g(x)>0，得x>2.故g(x)ming(2)<0.当x>1时，g(x)<0，当x<1时，g(x)>0，不妨设x1<x2，则x1(1,2)，x2(2，)，x1x2>4等价于x2>4x1，4x1>2且g(x)在(2，)上单调递增，要证x1x2>4，只需证g(x2)>g(4x1)，g(x1)g(x2)a，只需证g(x1)>g(4x1)，即>，即证(x13)x11<0；设h(x)e2x4(x3)x1，x(1,2)，则h(x)e2x4(2x5)1，令m(x)h(x)，则m(x)4e2x4(x2)，x(1,2)，m(x)<0，m(x)在(1,2)上单调递减，即h(x)在(1,2)上单调递减，h(x)>h(2)0，h(x)在(1,2)上单调递增，h(x)<h(2)0，x11<0，从而x1x2>4得证5已知函数f(x)，g(x)mx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(3)当a1时，求证：当x>1时，(x1)f(x)>2.(1)解f(x)的定义域为(0，)，且f(x).由f(x)>0得1ln xa>0，即ln x<1a，解得0<x<e1a，f(x)在(0，e1a)上单调递增，在(e1a，)上单调递减(2)解a0，f(x)，f(x)g(x) mxm，令u(x)，u(x)，由u(x)>0得0<x<，u(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，u(x)maxu()，m.(3)证明(x1)f(x)>2，等价于>.令p(x)，则p(x)，令(x)xln x，则(x)1，x>1，(x)>0，(x)在(1，)上单调递增，(x)>(1)1>0，p(x)>0，p(x)在(1，)上单调递增，p(x)>p(1)2，>，令h(x)，则h(x)，x>1，1ex<0，h(x)<0，h(x)在(1，)上单调递减，当x>1时，h(x)<h(1)，>>h(x)，即(x1)f(x)>2，x>1.6已知函数f(x)x3|ax3|2，a>0.(1)求函数yf(x)的单调区间；(2)当a(0,5)时，对于任意x10,1，总存在x20,1，使得f(x1)f(x2)0，求实数a的值解(1)f(x)x3|ax3|2(a>0)则f(x)当，即a3时，函数yf(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，；当<，即0<a<3时，函数yf(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.(2)由题意知，对于任意x10,1，总存在x20,1，使得f(x1)f(x2)0，等价于当x0,1时，f(x)minf(x)max0，由(1)得当3a<5时，yf(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf2，f(x)maxmaxf(0)，f(1)max1，a41，所以210，解得a3；当0<a<3时，yf(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1，f(x)maxmaxf(0)，f(1)max1,2a，当1<a<3时，f(x)max1，则110，得a3(舍去)；当0<a1时，f(x)max2a，则12a0，即3a，其中3a2，而<2，所以无解，舍去综上所述，a3.