2020版数学新优化浙江大一轮试题：第二章 函数 考点规范练8 .docx

考点规范练8对数与对数函数考点规范练第8页基础巩固组1.已知a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是()A.a=b<cB.a=b>cC.a<b<cD.a>b>c答案B解析因为a=log23+log23=log233=32log23>1,b=log29-log23=log233=a,c=log32<log33=1,所以a=b>c.2.已知函数y=loga(x+b)(a,b为常数,其中a>0,且a1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a>1,b>1B.a>1,0<b<1C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<1答案D解析函数y=loga(x+b)单调递减,所以0<a<1.同时由loga(1+b)<0,logab>0,可得1+b>1,b<1,即0<b<1,故选D.3.(2018全国3高考)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b答案B解析a=log0.20.3>0,b=log20.3<0,ab<0.又a+b=lg0.3lg0.2+lg0.3lg2=lg3-1lg2-1+lg3-1lg2=(lg3-1)(2lg2-1)(lg2-1)lg2而lg 2-1<0,2lg 2-1<0,lg 3-1<0,lg 2>0,a+b<0.a+bab=1b+1a=log0.32+log0.30.2=log0.30.4<log0.30.3=1.ab<a+b.故选B.4.已知函数f(x)=2x,x4,f(x+1),x<4,则f(2+log23)的值为()A.24B.16C.12D.8答案A解析3<2+log23<4,f(2+log23)=f(3+log23)=23+log23=83=24,故选A.5.函数y=log13(x2-4x+3)的单调递增区间为()A.(3,+)B.(-,1)C.(-,1)(3,+)D.(0,+)答案B解析令u=x2-4x+3,则原函数可以看作函数y=log13u与u=x2-4x+3的复合函数.令u=x2-4x+3>0,可解得x<1或x>3.从而可知函数y=log13(x2-4x+3)的定义域为(-,1)(3,+).函数u=x2-4x+3的图象的对称轴为x=2,且开口向上,函数u=x2-4x+3在(-,1)上是减函数,在(3,+)上是增函数.函数y=log13u在(0,+)上是减函数,函数y=log13(x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+),单调递增区间为(-,1).6.设函数f(x)=lg(x2-x)-lg(x-1),且f(x0)=2,则x0=.答案100解析x2-x>0,x-1>0,x>1,f(x)=lg(x2-x)-lg(x-1)=lg x,又f(x0)=2,x0=100.7.若函数f(x)=log2(-x2+ax)的图象过点(1,2),则a=;函数f(x)的值域为.答案5-,log2254解析因为函数f(x)=log2(-x2+ax)的图象过点(1,2),所以f(1)=log2(a-1)=2,解得a=5.所以f(x)=log2(-x2+5x)=log2-x-522+254log2254.所以函数f(x)的值域为-,log2254.8.函数f(x)=log2xlog24x的最小值为.此时x的值是.答案-1212解析f(x)=log2xlog24x=12log2x(2+log2x),令log2x=t,tR,则y=12t(2+t)=12t2+t,当t=-1时,函数取到最小值为-12,此时x=12.能力提升组9.若a=loge,b=2cos73,c=log3sin 176,则()A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b答案A解析a(0,1),b=212=2,c<0,所以b>a>c,选A.10.(2017课标高考)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2).当x(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.11.(2018浙江嵊州高三二模)函数f(x)=lna+bxa-bx(a,bR,且ab0)的奇偶性()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,但与b有关D.与a无关,且与b无关答案D解析因为f(-x)=lna-bxa+bx=lna+bxa-bx-1=-lna-bxa+bx=-f(x),所以函数的奇偶性与a,b都无关.故选D.12.若函数f(x)是R上的单调函数,且对任意实数x,都有ff(x)+22x+1=13,则f(log23)=()A.1B.45C.12D.0答案C解析函数f(x)是R上的单调函数,且ff(x)+22x+1=13,f(x)+22x+1=t(t为常数),f(x)=t-22x+1.又f(t)=13,t-22t+1=13.令g(x)=x-22x+1,显然函数g(x)在R上单调递增,而g(1)=13,t=1.f(x)=1-22x+1f(log23)=1-22log23+1=12.故选C.13.已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x0(a>0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.0,23B.23,34C.13,2334D.13,2334答案C解析由函数f(x)在R上单调递减,可得0<a<1,3-4a20,3af(0)=1,解得13a34.当x0时,由f(x)=0得x0=1a-1.a13,1a-12,即x0(0,2.如图,作出y=|loga(x+1)+1|(x0)的图象,由图知当x0时,方程|f(x)|=2-x只有一解.当x<0时,|f(x)|=2-x,即x2+(4a-3)x+3a=2-x只有一负实根,整理得x2+(4a-2)x+3a-2=0,=(4a-2)2-41(3a-2)=4(4a2-7a+3)=4(4a-3)(a-1).(1)当=0时,解得a=34或a=1.又a13,34,a=34.此时方程的解为x=-12,符合题意.(2)当>0时,解得a<34或a>1.又a13,34,a13,34.方程有一负根x0和一零根,则有x00=3a-2=0,解得a=23.此时x0+0=2-4a=-23<0,符合题意.方程有一正根x1和一负根x2,则有x1x2=3a-2<0,解得a<23.又a13,34,所以a13,23.由(1)(2)可知,a的取值范围为342313,23=13,2334.14.(2018温州高三3月调考)已知2a=3,3b=2,则a,b的大小关系是,ab=.答案a>b1解析a=log23>1,b=log32<1,所以a>b,ab=log23log32=1.15.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间m2,n上的最大值为2,则m+n=.答案52解析f(x)=|log2x|,且f(m)=f(n),mn=1.又0<m<n,则有0<m<1<n,从而有0<m2<m<1<n,则|log2m2|=2|log2m|=2|log2n|>|log2n|.f(x)=|log2x|在区间m2,n上的最大值为2,|log2m2|=2,即|log2m|=1,m=12(m=2舍去),n=2.m+n=52.16.(2018浙江杭师大附中高三5月模考)设函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足条件:存在a,bD,使f(x)在a,b上的值域是a2,b2,则称f(x)为“半缩函数”,若函数f(x)=log2(2x+t)为“半缩函数”,则实数t的取值范围是.答案0,14解析函数f(x)=log2(2x+t)为“半缩函数”,且满足存在a,b,使f(x)在a,b上的值域是a2,b2,因为f(x)在a,b上是增函数,所以有log2(2a+t)=a2,log2(2b+t)=b2,即2a+t=2a2,2b+t=2b2,所以a,b是方程2x-2x2+t=0的两个根,设m=2x2=2x,则m>0,此时方程为m2-m+t=0,即方程有两个不相等的实根,且根都大于零,所以(-1)2-4t>0,t>0,解得t的取值范围0<t<14.17.已知函数f(x)=loga1+x1-x(a>0,a1).(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(2)判断函数的单调性,并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的解集.解(1)由1+x1-x>0解得函数的定义域为x(-1,1).因为f(-x)=loga1-x1+x=loga1+x1-x-1=-loga1+x1-x=-f(x),所以函数为奇函数.(2)令t=1+x1-x=-x-1+2x-1=-1+-2x-1,因为t=-1+-2x-1在x(-1,1)上为单调增函数,根据复合函数单调性可判断,当a>1时,y=logat为增函数,此时f(x)=loga1+x1-x(a>0,a1)为增函数;当0<a<1时,y=logat为减函数,此时f(x)=loga1+x1-x(a>0,a1)为减函数.(3)因为a>1,所以1+x1-x>1,解得0<x<1,f(x)>0的x的解集为(0,1).18.已知函数f(x)=loga(3-ax).(1)当x0,2时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.解(1)a>0且a1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,x0,2时,t(x)最小值为3-2a,当x0,2,f(x)恒有意义,即x0,2时,3-ax>0恒成立.3-2a>0.a<32.又a>0且a1,a(0,1)1,32.(2)t(x)=3-ax,a>0,函数t(x)为减函数,f(x)在区间1,2上为减函数,y=logat为增函数,a>1,x1,2时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),3-2a>0,loga(3-a)=1,即a<32,a=32,故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1.