2018_2019学年高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示学案北师大版必修.doc
6平面向量数量积的坐标表示内容要求1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)知识点1平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(2)模、夹角、垂直的坐标表示：【预习评价】1已知向量a(4,7)，向量b(5,2)，则ab的值是()A34B27C43D6解析ab(4,7)(5,2)45726.答案D2设向量(1,0)，(1,1)，则向量，的夹角为()A.B. C. D.解析cos ，0，.答案C知识点2直线的方向向量(1)定义：与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m(1，k)【预习评价】1直线2x3y10的一个方向向量是()A(2，3)B(2,3)C(3,2)D(3,2)答案D2过点A(2,1)且与向量a(3,1)平行的直线方程为_答案x3y50题型一平面向量数量积的坐标运算【例1】已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.解(1)设ab(，2)ab10，cos 010，解得2.a(2,4)(2)(ac)b(224(1)b0b0.规律方法进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算【训练1】已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c，a(bc)解(1)ab(1,3)(2,5)123517.(2)ab(1,3)(2,5)(3,8)，2ab2(1,3)(2,5)(2,6)(2,5)(0,1)，(ab)(2ab)(3,8)(0,1)30818.(3)(ab)c17c17(2,1)(34,17)，a(bc)a(2,5)(2,1)(1,3)(2251)9(1,3)(9,27)题型二平面向量的夹角问题【例2】已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取得最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cosACB.解(1)点C是直线OP上的一点，向量与共线，设t(tR)，则t(2,1)(2t，t)，(12t,7t)，(52t,1t)，(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28.当t2时，取得最小值，此时(4,2)(2)由(1)知(4,2)，(3,5)，(1，1)，|，|，358.cosACB.规律方法利用数量积求两向量夹角的步骤【训练2】已知向量ae1e2，b4e13e2，其中e1(1,0)，e2(0,1)(1)试计算ab及|ab|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值解(1)ae1e2(1,0)(0,1)(1，1)，b4e13e24(1,0)3(0,1)(4,3)，ab413(1)1，|ab|.(2)由ab|a|b|cos ，cos .【例3】设平面向量a(1,1)，b(0,2)求a2b的坐标和模的大小解a(1,1)，b(0,2)，a2b(1,1)2(0,2)(1，3)，|a2b|.【迁移1】若c3a(ab)b，求|c|.解abx1x2y1y22，c3(1,1)2(0,2)(3，1)，|c|.【迁移2】若kab与ab共线，求k的值解a(1,1)，b(0，2)，kabk(1,1)(0，2)(k，k2)ab(1,1)(0，2)(1，1)kab与ab共线，k2(k)0.k1.【迁移3】若kab的模等于.求k的值解kabk(1,1)(0，2)(k，k2)kab的模等于.，化简得k22k30，解得k1或k3.即当k1或k3时满足条件规律方法1.已知向量a(x，y)求其模，主要利用公式|a|求解2形如(manb)(kaeb)(m，n，k，eR)的坐标运算，有两条途径：其一，展开转化为a2，ab，b2的坐标运算；其二，先求manb与kaeb的坐标，再运算.课堂达标1已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A.B. C. D.解析|a|，|b|，ab5.cos .又0，a与b的夹角为.答案B2已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，则m_解析由题意，得233m0，m2.答案23若a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的射影是_解析ab13，|b|，|a|cos .答案4已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|_.解析a(2,4)，b(1,2)，ab2(1)426，ca6b，c2a212ab36b220126365128.|c|8.答案85已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值解(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cos .(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，又(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.课堂小结1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.应用该条件要注意：由ab可得x1x2y1y20；反过来，由x1x2y1y20可得ab.2向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.基础过关1已知向量a(5,6)，b(6,5)，则a与b()A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向解析ab56650，ab.答案A2已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()AB.C D.解析由a(3,2)，b(1,0)，知ab(31,2)，a2b(1,2)又(ab)(a2b)0，3140，.答案A3平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|等于()A.B2C4D12解析a(2,0)，|b|1，|a|2，ab21cos 601.|a2b|2.答案B4已知a(3，)，b(1,0)，则(a2b)b_.解析a2b(1，)，(a2b)b1101.答案15若平面向量a(1，2)与b的夹角是180，且|b|4，则b_.解析由题意可设ba(，2)，<0，则|b|22425280，4，b4a(4,8)答案(4,8)6已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)ab，ab0，即1(2x3)x(x)0，解得x1或x3.(2)ab，1(x)x(2x3)0，解得x0或x2.又|ab|，|ab|2或2.7已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角解设a与b的夹角为，ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以ab0，即120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，所以ab0，且a与b不反向由ab0，得120，故，由a与b共线得2，故a与b不可能反向所以的取值范围为.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos 0，且cos 1，所以ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向得2.所以的取值范围为(2，)能力提升8.如图所示，矩形ABCD中，AB4，点E为AB的中点，若，则|()A.B2C3D2解析以A为坐标原点，建立坐标系则A(0,0)，E(2,0)，C(4，x)，D(0，x)(x0)(2，x)，(4，x)，24(x)x0，x2.(2，2)，|2.答案B9已知(3,1)，(0,5)，且，则点C的坐标是()A.B.C. D.解析设C的坐标为(x，y)，则(x3，y1)，(3,4)，(x，y5)由，得解得x3，y.答案B10已知点A(1,2)，B(3,4)，C(2,2)，D(3,5)，则向量在向量上的投影为_解析由题意知(2,2)，(1,3)，设和的夹角为，则向量在向量上的投影为|cos .答案11设a(2，x)，b(4,5)，若a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_解析为钝角，cos <0，即ab85x<0，x<.ab时有4x100，即x，当x时，a(2，)b，a与b反向，即.故a与b的夹角为钝角时，x<且x.答案x<且x12在ABC中，(2,3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值解(2,3)，(1，k)，(1，k3)若A90，则213k0，k；若B90，则2(1)3(k3)0，k；若C90，则1(1)k(k3)0，k.故所求k的值为或或.13(选做题)设向量a，b满足|a|1，|b|1，且a与b具有关系|kab|akb|(k0)(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b夹角为60，求k的值解(1)因为|kab|akb|，所以(kab)23(akb)2，因为|a|b|1.所以k212kab3(1k22kab)，所以ab.因为k210，所以ab0，即a与b不垂直(2)因为a与b夹角为60，且|a|b|1，所以ab|a|b|cos 60.所以.所以k1.
