中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题 .docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2021 年中考数学二轮复习考点解密开放探干脆问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、 答案不唯独的一类问题这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探究才能以及思维的发散性，但难度适中依据其特点大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类探究型问题是指命题中缺少肯定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题依据其特点大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的学问掩盖面较大，综合性较强，敏捷挑选方法的要求较高，再加上题意新奇，构思精致，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，第一对于基础学问肯定要复习全面，并力求扎实牢靠。其次是要加强对解答这类试题的练习，留意各学问点之间的因果联系，挑选合适的解题途径完成最终的解答由于题型新奇、综合性强、结构特殊等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1利用特别值（特别点、特别数量、特别线段、特别位置等）进行归纳、概括，从特别到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法），即假设结论成立,依据假设进行推理，看是推导出冲突仍是能与已知条件一样3分类争论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，就需要按可能显现的情形做到既不重复也不遗漏，分门别类加以争论求解，将不同结论综合归纳得出正确 结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而详细操作时，应更留意数学思想方法的综合运用三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论动身，逆向追索，逐步探求例 1：（ 2021 江苏淮安）在四边形ABCD 中， AB=DC ， AD=BC .请再添加一个条件，使四边形 ABCD 是矩形 .你添加的条件是.写出一种即可 分析 ： 已知两组对边相等，假如其对角线相等可得到 ABD ABC ADC BCD ，进而得到， A= B= C= D=90°，使四边形ABCD是矩形解： 如四边形ABCD 的对角线相等，就由 AB=DC ，AD=BC可得ABD ABC ADC BCD ，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等评注 ： 此题属开放型题，考查的是矩形的判定，依据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者依据条件探究相应的结论并且符合条件的结论往往出现多样性，这些问题都是结论开放问题这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特点， 进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -取舍例 2：（ 2021 天津）已知一次函数的图象经过点（次函数的解析式可以为0，1），且满意y 随 x 的增大而增大，就该一分析： 先设出一次函数的解析式，再依据一次函数的图象经过点（0， 1）可确定出b 的值，再依据 y 随 x 的增大而增大确定出k 的符号即可解： 设一次函数的解析式为：y=kx+b（k 0），一次函数的图象经过点（0， 1）， b=1 ， y 随 x 的增大而增大， k 0，故答案为y=x+1 （答案不唯独，可以是形如y=kx+1， k 0 的一次函数） 评注： 此题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（ k0）中， k 0，y 随 x 的增大而增大，与y 轴交于（ 0， b），当 b 0 时，（ 0，b）在 y 轴的正半轴上考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必需仔细观看与摸索，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探究条件和结论，并进行证明或判定例 3：（ 2021.玉溪）如图，在平行四边形ABCD中， E 是 AD 的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由分析 ：先连接 BE ，再过 D 作 DF BE 交 BC 于 F，可构造全等三角形ABE 和 CDF 利用 ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE BF ，BE DF ，又可得一个平行四边 形，那么利用其性质，可得DE=BF ，结合 AD=BC ，等量减等量差相等，可证AE=CF ，利用 SAS 可证三角形全等解： 添加的条件是连接BE，过 D 作 DF BE 交 BC 于点 F，构造的全等三角形是ABE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -与 CDF理由：平行四边形ABCD ，AE=ED ，在 ABE 与 CDF 中，AB=CD ， EAB= FCD ，又 DE BF，DF BE，四边形BFDE 是平行四边形， DE=BF ， 又 AD=BC ， AD DE=BC BF， 即 AE=CF ， ABE CDF（答案不唯独，也可增加其它条件）评注 ：此题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等学问考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅供应一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性例 4：（ 2021 年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树的震灾区捐款1800 元已知 2 班比 1 班人均捐款多4 元， 2 班的人数比1 班的人数少10% 请你依据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程 解决的问题，并写出解题过程分析： 此题的等量关系是：两班捐款数之和为1800 元。 2 班捐款数 -1 班捐款数 =4 元。 1班人数 =2 班人数× 90%，从而提问解答即可 解： 解法一：求两个班人均捐款各多少元？设 1 班人均捐款x 元，就 2 班人均捐款（x+4）元，依据题意得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1800x·90%=1800x+4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解得 x=36经检验 x=36 是原方程的根 x+4=40答： 1 班人均捐36 元， 2 班人均捐 40 元解法二：求两个班人数各多少人？设 1 班有 x 人，就依据题意得18001800x+4=90x%解得 x=50 ，经检验x=50 是原方程的根 90x % =45答： 1 班有 50 人， 2 班有 45 人评注： 对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求同学的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但同学简单犯想当然的错误，表达不够精确， 如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应当留意防范（二）探究型问题考点五：动态探究型：此类问题结论明确，而需探究发觉使结论成立的条件的题目例 5：（ 2021.临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点 A 重合，三角扳的一边交CD 于点 F另一边交CB 的延长线于点G（ 1）求证： EF=EG 。（ 2）如图 2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD的对角线AC 上，其他条件不变，（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请赐予证明：如不成立请说明理由：（ 3）如图 3，将（ 2）中的 “正方形 ABCD” 改为 “矩形 ABCD” ，且使三角板的一边经过点B ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其他条件不变，如AB=a 、BC=b ，求 EFEG的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：（ 1）由 GEB+ BEF=90°， DEF+ BEF=90°，可得 DEF= GEB ，又由正方形的性质，可利用SAS 证得 Rt FED RtGEB ，就问题得证。（2）第一点E 分别作 BC、 CD 的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS 证得 Rt FEI RtGEH ，就问题得证。（3）第一过点E 分别作 BC 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N，易证得EM AB ，EN AD ，就可证得CEN CAD ， CEM CAB ，又由有两角对应相等的三角形相像，证得GME FNE ，依据相像三角形的对应边成比例，即可求得答案解：（ 1）证明： GEB+ BEF=90° ， DEF+ BEF=90°， DEF= GEB ， 又 ED=BE ， Rt FED Rt GEB ， EF=EG 。（ 2）成立证明：如图，过点E 分别作 BC、 CD 的垂线，垂足分别为H 、I，就 EH=EI ，HEI =90°， GEH+ HEF=90° ， IEF+ HEF =90°， IEF= GEH ，Rt FEI Rt GEH ，EF=EG 。（ 3）解：如图，过点E 分别作 BC 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N，就 MEN=9°0， EM AB ， EN AD CEN CAD ， CEM CAB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - NECE , EMCE ，ADCAABCA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 NEEMADABNEADb，即，EMABa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 IEF+ FEM= GEM+ FEM=9°0 ， GEM= FEN， GME= FNE=90°， GME FNE ， EFEN，EGEM EFb EGa评注： 此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相像三角形的判定与性质此题综合性较强，留意数形结合思想的应用考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探究发觉与之相应的结论的题目例 6：（ 2021 福建省三明市）在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上， AB=2， AP=1将直角尺的顶点放在 P 处，直角尺的两边分别交AB， BC 于点 E， F ，连接 EF（如图）（ 1）当点 E 与点 B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图） ，求 PC 的长。（ 2）探究：将直尺从图中的位置开头，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点 A 重合时停止在这个过程中，请你观看、猜想，并解答： tan PEF 的值是否发生变化？请说明理由。直接写出从开头到停止，线段EF 的中点经过的路线长分析 ：（ 1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明APB DCP ，利用相像比求PC。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2） tan PEF 的值不变过F 作 FG AD，垂足为G，同（ 1）的方法证明APB DCP ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得相像比PFGFPEAP2=2，再利用锐角三角函数的定义求值。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如图 3，画出起始位置和终点位置时，线段EF 的中点 O1， O2，连接 O1O2，线段 O1O2即为线段EF 的中点经过的路线长，也就是BPC 的中位线解：（ 1）在矩形ABCD 中， A= D =90°，AP=1， CD=AB=2，就 PB=5 ， ABP+ APB=90°，又 BPC=90°， APB+ DPC =90°， ABP= DPC ， APB DCP ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 APPBCDPC15即，2PC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PC=25 。（ 2） tan PEF 的值不变理由：过F 作 FG AD，垂足为G， 就四边形ABFG 是矩形， A= PFG =90°， GF =AB=2， AEP+ APE=90°，又 EPF =90°， APE+ GPF =90°， AEP= GPF ， APE GPF ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PFGFPEAP2=2，1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Rt EPF 中， tan PEF = PFPE=2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 tan PEF 的值不变。（ 3）线段 EF 的中点经过的路线长为5 评注 ： 此题考查了相像三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形关键是利用互余关系证明相像三角形考点七：规律探究型：规律探究问题是指由几个详细结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的详细的结论进行全面、细致的观看、分析、比较，从中发觉其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明或加以运用.例7 ：（ 2021四 川 成 都 ） 设11S1 =1111222, S2 =1112232, S3 =1113242,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn =122nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 SS1S2.Sn ，就 S 用含 n 的代数式表示，其中n 为正整数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 由1n2 n12n1 2n2n n1 22n22n1 nn11 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn12nn2 n1 2 nn1 2 nn，求1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn ，得出一般规律解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 Sn1nn2 n1 22n nn112n 22 n n1 2 nn2n22n121 nn n n111 22，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn S1nn1111n n1n111112231，n1111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n11n1n1 21n 22nn1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故答案为：n 22nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注： 此题考查了二次根式的化简求值关键是由Sn 变形，得出一般规律，查找抵消规律考点八：存在探究型：此类问题在肯定的条件下，需探究发觉某种数学关系是否存在的题目例 8： （ 2021 辽宁大连）如图15，抛物线yax2+bx+c 经过 A（ 1， 0）、B（3， 0）、C（ 0， 3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线 BC 相交于点M ，连接 PB（ 1）求该抛物线的解析式。（ 2）抛物线上是否存在一点Q，使 QMB 与 PMB 的面积相等，如存在，求点Q 的坐标。如不存在，说明理由。（ 3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使 RPM 与 RMB 的面积相等，如存在，直接写出点R 的坐标。如不存在，说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -yPCMABOx图 15分析：（ 1）利用待定系数法求解。（ 2）如想求Q 点坐标， Q 到 MB 的距离应当等于P 到MB 的距离， 所以 Q 点应当在经过 P 点且平行于 BM 的直线上， 或者在这条直线关于 BM 对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求 Q 点。（ 3）设出 R 点坐标，分别用其横坐标表示出 RPM 与 RMB 的面积， 利用相等列出方程即可求出 R 点坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标解：（1） yx 22 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） y x1 24 P（1， 4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC： yx3 ， M （ 1， 2）P（ 1，4）。 PB： y2 x6 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 PQ BC 时：设 PQ1： yxb P（1， 4）在直线PQ 上 41b 。 b5 PQ1： yx5yx5yx 22x3x11x22解得，y14y 23 Q1 ：（ 2， 3）。将 PQ 向下平移 4 个单位得到yx1yx1yx 22x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x31721解得317x21，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y11712117y12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 Q 2 ：（17 ，211723）。 Q3 ：（17 ，2117 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yPCMAOBx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）存在，设R 的坐标为（x ，x 2 P（ 1， 4）， M （ 1， 2）2x3 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S PQRPM42212x1x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结RNx 21S PQR22x32x1x3x1x 23 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1x 23x解得 x121 ， x 221（舍）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x21 时， y121 242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 R（21 ， 2）yPCER MFNxAOGMB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -评注： 求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成。在表示面积问题时，对于边不在特别线上的通常要分割四、真题演练1（ 2021 山东潍坊）一个y 关于 x 的函数同时满意两个条件：图象过2，1点。当 x0时 y 随 x 的增大而减小，这个函数解析式为 写出一个即可 2（ 2021 山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条件： ，可使它成为矩形ADoBC（第 14 题）3（ 2021.泰州） “一根弹簧原长10cm，在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，就弹簧的总长度y（cm）与所 挂物体质量x（ kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x （ 0x）5 ”王刚同学在阅读上面材料时发觉部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：（只需写出1 个）3（4（ 2021 广西百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O，M 、N 分别是 OD 、OC 上异于 O、C、D 的点（ 1）请你在以下条件DM =CN ， OM =ON， MN 是 OCD 的中位线， MN AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更中意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是（ 2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次部分练习部分1（ 2021.贺州） 写出一个正比例函数，使其图象经过其次、四象限：y= x（答案不唯独）分析： 先设出此正比例函数的解析式，再依据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k 的符号，再写出符合条件的正比例函数即可解答： 解：2（ 2021.湖南张家界） 在 ABC 中，AB=8 ，AC=6 ，在 DEF 中， DE=4 ，DF=3 ，要使 ABC与 DEF 相像，就需添加的一个条件是（写出一种情形即可） 分析：解答： 解：就需添加的一个条件是：BC ： EF=2： 1在 ABC 中， AB=8 ， AC=6 ，在 DEF 中， DE=4 ，DF=3 ， AB ： DE=2： 1， AC ：DF=2 ： 1， BC： EF=2： 1 ABC DEF 故答案为：3（ 2021 江苏连云港中考题）如关于x 的方程x2 mx 3 0 有实数根，就m 的值可以为 任意给出一个符合条件的值即可4（ 2021 广东湛江）如图，点B， C， F ，E 在同直线上，1= 2， BC=EF ， 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（填 “是 ”或“不是 ”） 2 的对顶角， 要使 ABC DEF ，仍需添加一个条件，可以是 （只需写出一个）5（ 2021 福建省漳州市，19,8 分） 如图， B= D，请在不增加帮助线的情形下，添加一个适当的条件，使ABC ADE ，并证明（ 1）添加的条件是。（ 2）证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6（ 2021 浙江杭州中考题）给出以下命题